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- 2021-06-16 发布
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2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(07)
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合M={m,﹣3},N={x|2x2+7x+3<0,x∈Z},如果M∩N≠∅,则m等于( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣2或﹣1 D.
2.(5分)已知函数f(x)=,则f(f(1))+f(log3)的值是( )
A.7 B.2 C.5 D.3
3.(5分)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50m B.50m C.25m D.m
4.(5分)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
②若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,则m⊥β.
其中错误命题的序号是( )
A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③
5.(5分)函数y=x•|cosx|的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.(5分)函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知向量,,若+2与垂直,则k=( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.﹣1
8.(5分)计算(x+)dx的值为( )
A. B.+ln2 C.+ln2 D.3+ln2
9.(5分)已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为( )
A.24﹣ B.24﹣ C.24﹣π D.24﹣
10.(5分)下列命题中为真命题的是( )
A.若
B.直线a,b为异面直线的充要条件是直线a,b不相交
C.“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D.若命题p:”∃x∈R,x2﹣x﹣1>0”,则命题p的否定为:”∀x∈R,x2﹣x﹣1≤0”
11.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,成等差数列,则=( )
A.﹣1或3 B.3 C.27 D.1或27
12.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1,x2∈R,且0≤x1<x2≤2,都有f(x1)<f(x2);
③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是( )
A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.(4分)已知向量,,且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1相切,则向量与的夹角为 .
14.(4分)已知2+=4×,3+=9×,4+=16×,…,观察以上等式,若9+=k×;(m,n,k均为实数),则m+n﹣k= .
15.(4分)设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2
的最大值为 .
16.(4分)定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,满足f(1﹣x)=f(1+x),f(﹣x)=﹣f(x),且f(x)在[0,1]上是增函数.下列结论正确的是 .(把所有正确结论的序号都填上)
①f(0)=0;
②f(x+2)=f(﹣x);
③f(x)在[﹣6,﹣4]上是增函数;
④f(x)在x=﹣1处取得最小值.
三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)设函数.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当时y=g(x)的最大值.
18.(12分)已知平面区域被圆C及其内部所覆盖.
(1)当圆C的面积最小时,求圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B,且满足CA⊥CB,求直线l的方程.
19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点,异面直线SA和BC所成角的大小是60°.
(Ⅰ)求证:直线SA∥平面BDE;
(Ⅱ)求直线BD与平面SBC所成角的正弦值.
20.(12分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(Ⅱ)设,若恒成立,求c的最小值.
21.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+﹣1450(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
22.(14分)已知函数f(x)=xe﹣x+(x﹣2)ex﹣a(e≈2.73).
(Ⅰ)当a=2时,证明函数f(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)若a>2时,当x≥1时,f(x)≥恒成立,求实数a的取值范围.
2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷(07)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合M={m,﹣3},N={x|2x2+7x+3<0,x∈Z},如果M∩N≠∅,则m等于( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣2或﹣1 D.
【解答】解:由集合N中的不等式2x2+7x+3<0,
因式分解得:(2x+1)(x+3)<0,
解得:﹣3<x<﹣,
又x∈Z,
∴x=﹣2,﹣1,
∴N={﹣2,﹣1},
∵M∩N≠∅,
∴m=﹣1或m=﹣2.
故选C
2.(5分)已知函数f(x)=,则f(f(1))+f(log3)的值是( )
A.7 B.2 C.5 D.3
【解答】解:由题意可得,f(1)=log21=0,f(f(1))=f(0)=90+1=2
f()=+1=+1=5
∴=7
故选A
3.(5分)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50m B.50m C.25m D.m
【解答】解:由题意及图知,∠BAC=30°,又BC=50m,∠BCA=45°
由正弦定理得AB==50m
故选A
4.(5分)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
②若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,则m⊥β.
其中错误命题的序号是( )
A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③
【解答】解:①若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m、n不想交,但可能平行也可能异面,故①不正确;
②∵m∥β,∴过m作平面与β相交,交线为n,则m∥n,∵m⊥α,∴n⊥α,∴根据面面垂直的判定,可得α⊥β,故②正确;
③∵n⊥α,m⊥α,∴m∥n,∵n⊥β,∴m⊥β,故③正确;
④α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,α∥β,则m⊥β,故④不正确.
综上,错误命题的序号是为①④,
故选A.
5.(5分)函数y=x•|cosx|的图象大致是( )
A. B. C. D.
【解答】解:设函数y=f(x)=x|cosx|,
则f(﹣x)=﹣x|cosx|=﹣f(x),即函数为奇函数,
故其图象关于原点对称,排除C,D,
又当x≥0时,f(x)=x|cosx|≥0,
故在x轴下方无图象,故排除B,
故选A
6.(5分)函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是( )
A. B. C. D.
【解答】解:函数y=的等价于,
表示圆心在(5,0),半径为3的上半圆(如图所示),
圆上点到原点的最短距离为2(点2处),最大距离为8(点8处),
若存在三点成等比数列,则最大的公比q应有8=2q2,即q2=4,q=2,
最小的公比应满足2=8q2,即q2=,解得q=
又不同的三点到原点的距离不相等,故q≠1,
∴公比的取值范围为≤q≤2,且q≠1,
故选:D
7.(5分)已知向量,,若+2与垂直,则k=( )
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.﹣1
【解答】解:∵=(,3),
又∵
∴==0
∴k=﹣3
故选A
8.(5分)计算(x+)dx的值为( )
A. B.+ln2 C.+ln2 D.3+ln2
【解答】解:(x+)dx==2+ln2﹣=ln2+;
故选B.
9.(5分)已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为( )
A.24﹣ B.24﹣ C.24﹣π D.24﹣
【解答】解:该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得,
其中长方体的体积为V1=4×3×2=24;
半个圆柱的体积为V2==,
则V=24﹣.
故选A.
10.(5分)下列命题中为真命题的是( )
A.若
B.直线a,b为异面直线的充要条件是直线a,b不相交
C.“a=1是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D.若命题p:”∃x∈R,x2﹣x﹣1>0”,则命题p的否定为:”∀x∈R,x2﹣x﹣1≤0”
【解答】解:对于A,只有当x>0时,结论成立;对于B,直线a,b不相交,直线a,b有可能平行;对于C,直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直时,a=±1;对于D,显然成立.
故选D.
11.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,成等差数列,则=( )
A.﹣1或3 B.3 C.27 D.1或27
【解答】解:∵各项均为正数的等比数列{an}中,公比为q,
∵成等差数列,
∴a3=3a1+2a2,可得a1q2=33a1+2a1q2,解得q=﹣1或3,
∵正数的等比数列q=﹣1舍去,
故q=3,
∴====27,
故选C;
12.(5分)已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1,x2∈R,且0≤x1<x2≤2,都有f(x1)<f(x2);
③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是( )
A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7)
【解答】解:定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1,x2∈R,且0≤x1<x2≤2,都有f(x1)<f(x2);
③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,
可知函数是周期为4的函数,x∈[0,2]函数是增函数,函数的对称轴为x=2,
f(4.5)=f(0.5),f(7)=f(3)=f(1),f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),
可得f(4.5)<f(7)<f(6.5).
故选:A.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.(4分)已知向量,,且直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1相切,则向量与的夹角为 60° .
【解答】解:∵直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1相切,
∴=1
解得
向量==
故两向量的夹角为60°
故答案为60°
14.(4分)已知2+=4×,3+=9×,4+=16×,…,观察以上等式,若9+=k×;(m,n,k均为实数),则m+n﹣k= 79 .
【解答】解:通过观察可得,n+=(n≥2,n∈N*),
所以由9+=k×,得n=m=92﹣1=80,k=92=81,
所以m+n﹣k=80+80﹣81=79.
故答案为:79.
15.(4分)设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为 52 .
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的四边形OABC,其中A(0,2),B(4,6),C(2,0),O为原点
设P(x,y)为区域内一个动点,则|OP|=表示点P到原点O的距离
∴z=x2+y2=|OP|2,可得当P到原点距离最远时z达到最大值
因此,运动点P使它与点B重合时,z达到最大值
∴z最大值=42+62=52
故答案为:52
16.(4分)定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,满足f(1﹣x)=f(1+x),f(﹣x)=﹣f(x),且f(x)在[0,1]上是增函数.下列结论正确的是 ①②④ .(把所有正确结论的序号都填上)
①f(0)=0;
②f(x+2)=f(﹣x);
③f(x)在[﹣6,﹣4]上是增函数;
④f(x)在x=﹣1处取得最小值.
【解答】解:因为定义在R上的函数f(x),对∀x∈R,函数满足f(﹣x)=﹣f(x),所以函数是奇函数,定义域是R,所以f(0)=0;①正确;
又函数满足f(1﹣x)=f(1+x),
所以函数关于x=1对称,可得f(x+2)=f(﹣x);②正确;
f(x+2)=f(﹣x);f(﹣x)=﹣f(x),可得f(x+4)=f(x),函数的周期是4,
f(x)在[﹣6,﹣4]上不是单调函数,③不正确;
f(x)在[0,1]上是增函数.函数又是奇函数,函数关于x=1对称[1,2]是减函数;
所以函数在[﹣1,0]也是增函数,[﹣2,﹣1]上是减函数,所以函数在x=﹣1球的最小值,④正确;
正确结果是:①②④.
故答案为:①②④.
三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)设函数.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当时y=g(x)的最大值.
【解答】解:(1)f(x)===
故f(x)的最小正周期为T==8
(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点(2﹣x,g(x)).
由题设条件,点(2﹣x,g(x))在y=f(x)的图象上,
从而==
当时,时,
因此y=g(x)在区间上的最大值为
18.(12分)已知平面区域被圆C及其内部所覆盖.
(1)当圆C的面积最小时,求圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B,且满足CA⊥CB,求直线l的方程.
【解答】解:(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)构成的三角形及其内部,且△OPQ是直角三角形,
由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C(2,1),半径r=|OC|==,
∴圆C的方程是(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.
(2)设直线l的方程是:y=x+b.∵CA⊥CB,∴圆心C到直线l的距离是=,
即,解之得,b=﹣1±.
∴直线l的方程是:y=x﹣1±.
19.(12分)如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点,异面直线SA和BC所成角的大小是60°.
(Ⅰ)求证:直线SA∥平面BDE;
(Ⅱ)求直线BD与平面SBC所成角的正弦值.
【解答】解:(I)如图,连接EO,
∵四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,O是AC与BD的交点,
∴O是AC的中点,
∵E是侧棱SC的中点,
∴EO是△ASC的中位线,
∴EO∥SA,
∵SA⊂面ASC,EO不包含于面ASC,
∴直线SA∥平面BDE.
(II)过点O作CB的平行线作x轴,过O作AB的平行线作y轴,以OS为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,
O是AC与BD的交点,SO⊥平面ABCD,E是侧棱SC的中点,
异面直线SA和BC所成角的大小是60°,
∴SA=4,SO=2,
∴B(2,2,0),C(﹣2,2,0),S(0,0,2),D(﹣2,﹣2,0),
∴,,,
设面SBC的法向量为,
则,,
∴,
∴,
设直线BD与平面SBC所成角为θ,
则sinθ=|cos<>|=||=.
20.(12分)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bn}的前三项.
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(Ⅱ)设,若恒成立,求c的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比,a1=1.
由题可知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2,+d,4+2d是等比数列{bn}的前三项,
∴(2+d)2=2(4+2d)⇒d=±2.
∵an+1>an,
∴d>0.
∴d=2,
∴an=2n﹣1(n∈N*).
由此可得b1=2,b2=4,q=2,
∴bn=2n(n∈N*).
(Ⅱ),①
∴.②
①﹣②,得=+2(++…+)﹣,
∴Tn=3﹣.
∴Tn+﹣=3﹣≤2,
∴满足条件恒成立的最小整数值为c=3.
21.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+﹣1450(万元),每件售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【解答】解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元,
①当0<x<80时,根据年利润=销售收入﹣成本,
∴L(x)=(0.05×1000x)﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250;
②当x≥80时,根据年利润=销售收入﹣成本,
∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣(x+).
综合①②可得,L(x)=;
(2)①当0<x<80时,L(x)=﹣x2+40x﹣250=﹣(x﹣60)2+950,
∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;
②当x≥80时,L(x)=1200﹣(x+)≤1200﹣2=1200﹣200=1000,
当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.
综合①②,由于950<1000,
∴年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.
22.(14分)已知函数f(x)=xe﹣x+(x﹣2)ex﹣a(e≈2.73).
(Ⅰ)当a=2时,证明函数f(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)若a>2时,当x≥1时,f(x)≥恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=xe﹣x+(x﹣2)ex﹣2,f(x)的定义域为R,
f′(x)=e﹣x﹣xe﹣x+ex﹣2+(x﹣2)ex﹣2=(x﹣1)(ex﹣2﹣e﹣x)=e﹣x(x﹣1)(ex﹣1﹣1)(ex﹣1+1).
当x≥1时,x﹣1≥0,ex﹣1﹣1≥0,所以f′(x)≥0,
当x<1时,x﹣1<0,ex﹣1﹣1<0,所以f′(x)≥0,
所以对任意实数x,f′(x)≥0,
所以f(x)在R上是增函数;
(II)当x≥1时,f(x)≥恒成立,即(x﹣2)e2x﹣a﹣x2+3x﹣1≥0恒成立,
设h(x)=(x﹣2)e2x﹣a﹣x2+3x﹣1(x≥1),则h′(x)=(2x﹣3)(e2x﹣a﹣1),
令h′(x)=(2x﹣3)(e2x﹣a﹣1)=0,解得,,
(1)当1<<,即2<a<3时,
x
(1,)
(,)
(,+∞)
h′(x)
+
0
﹣
0
+
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以要使结论成立,则h(1)=﹣e2﹣a+1≥0,h()=﹣e3﹣a+≥0,即e2﹣a≤1,e3﹣a≤,
解得a≥2,a≥3﹣ln,所以3﹣ln≤a<3;
(2)当=,即a=3时,h′(x)≥
0恒成立,所以h(x)是增函数,又h(1)=﹣e﹣1+1>0,
故结论成立;
(3)当,即a>3时,
x
(1,)
(,)
(,+∞)
h′(x)
+
0
﹣
0
+
h(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以要使结论成立,
则h(1)=﹣e2﹣a+1≥0,h()=﹣+2a﹣3≥0,即e2﹣a≤1,a2﹣8a+12≤0,
解得a≥2,2≤a≤6,所以3<a≤6;
综上所述,若a>2,当x≥1时,f(x)≥恒成立,实数a的取值范围是3﹣ln≤a≤6. …(12分)