高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-1-3-2　全集与补集 46页

　　　第 2 课时　全集与补集 必备知识 · 自主学习 导思 1. 全集的含义是什么 ? 2. 一个集合相对于某个全集的补集是由什么元素构成的 ? 用什么符号表示 ? 1. 全集 (1) 定义 : 在研究某些集合的时候 , 它们往往是某个给定集合的 _____, 这个给定的 集合叫作全集 . (2) 表示方法 : 常用符号 U 表示 . 子集 2. 补集 (1) 定义 (2) 本质 : 补集既是集合之间的一种关系 , 又是集合的基本运算之一 . 补集是一个相对的概念 , 只相对于相应的全集而言 . (3) 作用 : ① 依据定义求集合的补集 ;② 求参数的值或范围 ; ③ 补集思想的应用 . 3. 补集的性质 对任何集合 A, 有 A∪( ∁ U A)=__,A∩( ∁ U A)=____, ∁ U ( ∁ U A)=__. U A 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 同一个集合在不同的全集中补集不同 . ( 　　 ) (2) 不同集合在同一个全集中的补集也不同 . ( 　　 ) (3) 若 x∈U, 则 x∈A 或 x∈ ∁ U A, 二者必居其一 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 补集是相对于全集而言的 , 全集不同补集就不同 . (2)√. 结合 Venn 图可知 , 此说法正确 . (3)√. 根据补集的定义可知 , 此说法正确 . 2. 已知三个集合 U,A,B 及集合间的关系如图所示 , 则 ( ∁ U B)∩A= ( 　　 ) A.{3} B.{0,1,2,4,7,8} C.{1,2} D.{1,2,3} 【 解析 】 选 C. 由 Venn 图可知 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={3,5,6}, 所以 ( ∁ U B)∩A={1,2}. 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 已知全集 U= {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ，集合 A={1,2,3}, B={2,4}, 则 ( ∁ U A)∪B= ( 　　 ) A.{1 ， 2 ， 4} B. {2 ， 3 ， 4} C. {0 ， 2 ， 4} D. {0 ， 2 ， 3 ， 4} 【 解析 】 选 C. 因为 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 集合 A={1 ， 2 ， 3} ，所以∁ U A={0 ， 4} ，又 B={2 ， 4} ， 所以 (∁ U A)∪B={0 ， 2 ， 4}. 关键能力 · 合作学习 类型一　补集的运算 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 长春高一检测 ) 设全集 U ={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 集合 A={ x|x 2 +x-2 =0 }, 则 ∁ U A= 　　　　 .  2. 已知全集为 U, 集合 A={1,3,5,7}, ∁ U A={2,4,6}, ∁ U B={1,4,6}, 则集合 B= 　　 .  3. 若集合 A={x|-1≤x<1}, 当 S 分别取下列集合时 , 求 ∁ S A. (1)S=R.(2)S={x|x≤2}.(3)S={x|-4≤x≤1}. 　 【 解析 】 1. 因为 A={ x|x 2 +x-2=0 }={-2 ， 1} ， U={ -3,-2,-1,0,1,2,3 } ，所以 ∁ U A= { -3,-1,0,2,3 } . 答案 : {-3,-1,0,2,3} 2. 方法一 : 因为 A={1,3,5,7}, ∁ U A={2,4,6}, 所以 U={1,2,3,4,5,6,7}. 又 ∁ U B={1,4,6}, 所以 B={2,3,5,7}. 方法二 : 满足题意的 Venn 图如图所示 . 由 Venn 图可知集合 B={2,3,5,7}. 答案 : {2,3,5,7} 3.(1) 把集合 A 表示在数轴上如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|x<-1 或 x≥1}. (2) 把集合 S 和 A 表示在数轴上 , 如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|x<-1 或 1≤x≤2}. (3) 把集合 S 和 A 表示在数轴上 , 如图所示 . 由图知 ∁ S A={x|-4≤x<-1 或 x=1}. 【 解题策略 】 求补集的原则和方法 　 (1) 一个基本原则 . 求给定集合 A 的补集 , 从全集 U 中去掉属于集合 A 的元 素后 , 由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集 . (2) 两种求解方法 . ① 若所给的集合是有关不等式的集合 , 则常借助于数轴 , 把已知集合及全集分别表示在数轴上 , 然后再根据补集的定义求解 , 注意端点值的取舍 . ② 若所给的集合是用列举法表示 , 则用 Venn 图求解 . 【 补偿训练 】 　　　 1. 若全集 U={0,1,2,3} 且 ∁ U A ={2}, 则集合 A 的真子集共有 ( 　　 ) A.3 个　　　 B.5 个　　　 C.7 个　　　 D.8 个 【 解析 】 选 C. 因为 U={0,1,2,3} 且 ∁ U A={2}, 所以 A={0,1,3}, 所以集合 A 的真子集共有 7 个 . 2. 已知全集 U=R, 集合 A={x|x<-2 或 x>2}, 则 ∁ U A= 　　　　 .  【 解析 】 如图 , 在数轴上表示出集合 A, 可知∁ U A={x|-2≤x≤2}. 答案 : {x|-2≤x≤2} 类型二　集合并、交、补的综合运算 ( 数学运算 ) 　角度 1 　借助 Venn 图进行集合的基本运算  【 典例 】 1.(2020· 长春高一检测 ) 设 U=R,A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2}, 则图中阴影部分表示的集合为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2} 2. 全集 U={x|x<10,x∈N * },A⊆U,B⊆U,( ∁ U B)∩A={1,9},A∩B={3},( ∁ U A) ∩( ∁ U B)={4,6,7}, 求集合 A,B. 【 思路导引 】 1. 先判断 Venn 图中阴影部分表示的集合是由哪些元素构成的 , 再写出所求集合 . 2. 根据题意画出 Venn 图 , 写出集合 A,B. 【 解析 】 1. 选 A. 由 Venn 图可知 , 阴影部分表示的集合为属于 A 且不属于 B 的元素 构成 , 所以用集合表示为 A∩( ∁ U B). 因为 U=R,B={x∈R|x≥2} ， 所以 ∁ U B={x|x<2}, 又因为 A={1,2,3,4,5} ， 所以 A∩( ∁ U B)={1}. 2. 根据题意作出 Venn 图如图所示 . 由图可知 A={1,3,9},B={2,3,5,8}. 【 变式探究 】 本例 2 条件改为设全集 U={2,3,5,7,11,13,17,19},A∩( ∁ U B)={3,5},( ∁ U A) ∩B={7,19},( ∁ U A)∩( ∁ U B)={2,17}, 求集合 A,B. 【 解析 】 由题意画出 Venn 图 , 如图所示 , 故 A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}. 　角度 2 　借助数轴进行集合的基本运算  【 典例 】 (2020· 张家口高一检测 ) 已知全集 U={x|-3≤x≤5}, 集合 A={x|-3≤x<-2},B={x|-2≤x≤1}. (1) 求 A∩B,A∪B. (2) 求 ( ∁ U A)∩( ∁ U B),( ∁ U A)∪( ∁ U B). 【 思路导引 】 (1) 根据集合的交集和并集的定义 , 求 A∩B,A∪B. (2) 由集合补集的运算分别求 ∁ U A, ∁ U B, 进而画数轴求 ( ∁ U A)∩( ∁ U B),( ∁ U A)∪( ∁ U B). 【 解析 】 (1) 因为 A={x|-3≤x<-2},B={x|-2≤x≤1}, 所以 A∩B= ,A∪B={x|-3≤x≤1}. (2) 因为全集 U={x|-3≤x≤5}, 集合 A={x|-3≤x<-2},B={x|-2≤x≤1}, 所以 ∁ U A={x|-2≤x≤5}, ∁ U B={x|-3≤x<-2 或 12}. 又 B∪(∁ R A)=R,A∪(∁ R A)=R, 可得 A⊆B. 而 B∩(∁ R A)={x|02},N={x|1≤x≤3}, 如图 , 则阴影部分所表示的集合为 ( 　　 ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3} C.{x|x≤2 或 x>3} D.{x|-2≤x≤2} 【 解析 】 选 A. 由题意 , 知 M∪N={x|x<-2 或 x≥1}, 所以阴影部分所表示的集合为 ∁ U (M∪N)={x|-2≤x<1}. 3. 已知全集 U={-1,1,3}, 集合 A={a+2,a 2 +2}, 且 ∁ U A={-1}, 则 a 的值是 ( 　　 ) A.-1 B.1 C.3 D.±1 【 解析 】 选 A. 由 A∪(∁ U A)=U, 可知 A={1,3}. 又因为 a 2 +2≥2, 所以 a+2=1 且 a 2 +2=3. 解得 a=-1. 4. 已知 U={x|x>0},A={x|2≤x<6}, 则 ∁ U A= 　　　　 .  【 解析 】 如图 , 分别在数轴上表示两集合 , 则由补集的定义可知 , ∁ U A={x|0