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  • 2021-06-16 发布

2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题(解析版)

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‎2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定集合,由集合运算的定义求解.‎ ‎【详解】‎ 因为集合,所以,所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】使解析式有意义,因此必须有且.‎ ‎【详解】‎ 由,得,即,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域,即求使函数式有意义的自变量的取值范围.‎ ‎3.下列各角中,与终边相同的角是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据终边相同的角的公式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以与终边相同的角是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同角的公式,属于基础题.‎ ‎4.集合,则集合的真子集的个数为( )‎ A.7 B.8 C.15 D.16‎ ‎【答案】A ‎【解析】解对数不等式得,根据集合元素的个数可得真子集个数.‎ ‎【详解】‎ 由,得,又,‎ 所以集合,‎ 集合的真子集有个.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合真子集的个数,关键是要确定集合元素的个数,利用子集个数公式求得真子集个数,是基础题.‎ ‎5.若为钝角,则是( )‎ A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第三象限角 ‎【答案】C ‎【解析】若为钝角,则终边落在第二象限,对赋值,即可判断终边所在象限 ‎【详解】‎ 由题,若为钝角,则终边落在第二象限,‎ 当时,为第二象限角;‎ 当时,为第四象限角,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的判断,属于基础题 ‎6.若实数,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】与中间值 0和1比较后可得.‎ ‎【详解】‎ 因为对数函数是单调递减的,所以,同理,,所以,而,所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较对数的大小,对于同底数的对数,可以利用对数函数的单调性比较,不同底数的对数可以与中间值0,1等比较后得出结论.‎ ‎7.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得,再求值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为函数是幂函数,‎ 所以,解得或.‎ 又因为在上单调递增,所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 从而,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性,重点考查了求值问题,属基础题.‎ ‎8.已知函数是定义在 上的奇函数,则( )‎ A.-2 B.-1 C.2 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得,再由,列方程组求出,进而求出代入求函数值即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数是定义在上的奇函数,‎ 得,所以,,‎ 则.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质,特别的定义域关于原点对称不要忽略,是基础题.‎ ‎9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可 ‎【详解】‎ 若点在第一象限,则,,则 ‎,与题意不符,故排除A,B;若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C;‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题 ‎10.已知函数,若在上恒成立,则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】在上恒成立,则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上,只需最低点,即区间的两个端点满足即可,可得,求解即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为在上恒成立,‎ 所以解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式在给定区间恒成立,转为为二次函数图像特征,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫克/升)与过滤时间(单位:小时)之间的函数关系为(为常数,为原污染物总量).若前个小时废气中的污染物被过滤掉了,那么要能够按规定排放废气,还需要过滤小时,则正整数的最小值为( )(参考数据:取)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知条件得出,可得出,然后解不等式,解出的取值范围,即可得出正整数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意,前个小时消除了的污染物,因为,所以,所以,即,所以,‎ 则由,得,‎ 所以,‎ 故正整数的最小值为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数模型的应用,涉及指数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在区间内没有零点,可得,再结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,,‎ 所以.‎ 因为在区间内没有零点,‎ 所以.‎ 解得.‎ 因为,所以,‎ 因为.所以或.‎ 当时;‎ 当时,,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题,重点考查了三角函数图像的性质,属中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知角的终边经过点,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合三角函数的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:因为,‎ 则,‎ 所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义,属基础题.‎ ‎14.若函数,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出,再代入,求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的函数值的求解,是基础题.‎ ‎15.已知为第三象限角,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由同角三角函数的关系可将原式变形为,再结合三角函数象限角的符号求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:,‎ 又为第三象限角,则,‎ 故原式 ,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数象限角的符号问题,重点考查了同角三角函数的关系,属基础题.‎ ‎16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系,函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数,再结合函数的性质作图观察即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:由于定义在R上的偶函数满足,‎ 所以的图象关于直线对称,‎ 画出时,部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,‎ 由图可知:当时,有5个交点,‎ 又和都是偶函数,‎ 所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10,‎ 故答案为:10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质,重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化,属中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】(1)计算,或,再计算得到答案.‎ ‎(2)根据得到,故或,计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的计算,根据包含关系求参数,意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)-2 (2)‎ ‎【解析】(1)由三角函数的定义可得,再结合同角三角函数的商数关系即可得解.‎ ‎(2)由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由角的终边经过点,可知,‎ 则.‎ ‎(2)由已知有,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系,重点考查了运算能力,属基础题.‎ ‎19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;‎ ‎(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析,.(2)-1‎ ‎【解析】(1)由表格中数据,可得,即可求得,由可得,则,进而补全表格即可;‎ ‎(2)由图像变换原则可得,进而将代入求解即可 ‎【详解】‎ 解:(1)根据表中已知数据,可得,解得,‎ 又,所以,‎ 所以.‎ 数据补全如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎ (2)由(1)知,‎ 把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像,‎ 再把得到的图像向左平移个单位长度,得到的图像,即,‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力 ‎20.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若是上的单调函数,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)由奇函数的定义可求得解析式;‎ ‎(2)由分段函数解析式知,函数在上单调,则为单调增函数,结合二次函数对称轴和最值可得参数范围.即时要是增函数,且端点处函数值不小于0.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以,‎ 当时,,则,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(2)若是上的单调函数,且,‎ 则实数满足,‎ 解得,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性,分段函数在整个定义域上单调,则每一段的单调性相同,相邻端点处函数值满足相应的不等关系.‎ ‎21.已知函数,当时,函数的值域是.‎ ‎(1)求常数,的值;‎ ‎(2)当时,设,判断函数在上的单调性.‎ ‎【答案】(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.‎ ‎【解析】(1)先求得,再讨论和的情况,进而求解即可;‎ ‎(2)由(1),则 ‎,进而判断单调性即可 ‎【详解】‎ 解:(1)当时,,‎ 所以,‎ ‎①当时,由题意可得,‎ 即,解得,;‎ ‎②当时,由题意可得,‎ 即,解得,‎ ‎(2)由(1)当时,,,所以,‎ 所以,‎ 令,,解得,,‎ 当时,,则,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 同理,函数在上单调递减 ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 ‎22.已知函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增;‎ ‎(2)函数,如果总存在,对任意都成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】(1)用增函数定义证明;‎ ‎(2)分别求出和的最大值,由的最大值不小于的最大值可得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,‎ 则 ‎,‎ ‎∵,∴,,∴,即,‎ ‎∴在上单调递增;‎ ‎(2)总存在,对任意都成立,即,‎ 的最大值为,‎ 是偶函数,在是增函数,∴当时,,‎ ‎∴,整理得,,‎ ‎∵,∴,即,∴,∴.即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性,考查不等式恒成立问题.单调性的证明只能按照定义的要求进行证明.而不等式恒成立问题要注意问题的转化,本题中问题转化为,‎ 如果把量词改为:对任意,总存在,使得成立,则等价于,‎ 如果把量词改为:对任意,任意,使得恒成立,则等价于,‎ 如果把量词改为:存在,存在,使得成立,则等价于.(的范围均由题设确定).‎