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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】确定集合,由集合运算的定义求解.
【详解】
因为集合,所以,所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的运算,属于基础题.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】使解析式有意义,因此必须有且.
【详解】
由,得,即,所以.
故选:A.
【点睛】
本题考查求函数定义域,即求使函数式有意义的自变量的取值范围.
3.下列各角中,与终边相同的角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据终边相同的角的公式,即可求解.
【详解】
因为,所以与终边相同的角是.
故选:D.
【点睛】
本题考查终边相同角的公式,属于基础题.
4.集合,则集合的真子集的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
【答案】A
【解析】解对数不等式得,根据集合元素的个数可得真子集个数.
【详解】
由,得,又,
所以集合,
集合的真子集有个.
故选:A.
【点睛】
本题考查集合真子集的个数,关键是要确定集合元素的个数,利用子集个数公式求得真子集个数,是基础题.
5.若为钝角,则是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角 D.第一或第三象限角
【答案】C
【解析】若为钝角,则终边落在第二象限,对赋值,即可判断终边所在象限
【详解】
由题,若为钝角,则终边落在第二象限,
当时,为第二象限角;
当时,为第四象限角,
故选:C
【点睛】
本题考查象限角的判断,属于基础题
6.若实数,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与中间值 0和1比较后可得.
【详解】
因为对数函数是单调递减的,所以,同理,,所以,而,所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查比较对数的大小,对于同底数的对数,可以利用对数函数的单调性比较,不同底数的对数可以与中间值0,1等比较后得出结论.
7.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )
A. B. C.2 D.4
【答案】D
【解析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得,再求值即可得解.
【详解】
解:因为函数是幂函数,
所以,解得或.
又因为在上单调递增,所以,
所以,
即,
从而,
故选:D.
【点睛】
本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性,重点考查了求值问题,属基础题.
8.已知函数是定义在
上的奇函数,则( )
A.-2 B.-1 C.2 D.5
【答案】B
【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得,再由,列方程组求出,进而求出代入求函数值即可.
【详解】
由函数是定义在上的奇函数,
得,所以,,
则.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质,特别的定义域关于原点对称不要忽略,是基础题.
9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可
【详解】
若点在第一象限,则,,则
,与题意不符,故排除A,B;若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C;
故选:D
【点睛】
本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题
10.已知函数,若在上恒成立,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在上恒成立,则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上,只需最低点,即区间的两个端点满足即可,可得,求解即可得出结论.
【详解】
因为在上恒成立,
所以解得.
故选:A.
【点睛】
本题考查不等式在给定区间恒成立,转为为二次函数图像特征,考查数形结合思想,属于基础题.
11.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫克/升)与过滤时间(单位:小时)之间的函数关系为(为常数,为原污染物总量).若前个小时废气中的污染物被过滤掉了,那么要能够按规定排放废气,还需要过滤小时,则正整数的最小值为( )(参考数据:取)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据已知条件得出,可得出,然后解不等式,解出的取值范围,即可得出正整数的最小值.
【详解】
由题意,前个小时消除了的污染物,因为,所以,所以,即,所以,
则由,得,
所以,
故正整数的最小值为.
故选:C.
【点睛】
本题考查指数函数模型的应用,涉及指数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.
12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数在区间内没有零点,可得,再结合求解即可.
【详解】
解:因为,,
所以.
因为在区间内没有零点,
所以.
解得.
因为,所以,
因为.所以或.
当时;
当时,,
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,重点考查了三角函数图像的性质,属中档题.
二、填空题
13.已知角的终边经过点,则____________.
【答案】
【解析】结合三角函数的定义求解即可.
【详解】
解:因为,
则,
所以,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义,属基础题.
14.若函数,则______.
【答案】
【解析】先求出,再代入,求即可.
【详解】
因为,所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查分段函数的函数值的求解,是基础题.
15.已知为第三象限角,则____________.
【答案】
【解析】由同角三角函数的关系可将原式变形为,再结合三角函数象限角的符号求解即可.
【详解】
解:,
又为第三象限角,则,
故原式 ,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了三角函数象限角的符号问题,重点考查了同角三角函数的关系,属基础题.
16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.
【答案】10
【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系,函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数,再结合函数的性质作图观察即可得解.
【详解】
解:由于定义在R上的偶函数满足,
所以的图象关于直线对称,
画出时,部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,
由图可知:当时,有5个交点,
又和都是偶函数,
所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10,
故答案为:10.
【点睛】
本题考查了函数的性质,重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化,属中档题.
三、解答题
17.已知集合或,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】(1)计算,或,再计算得到答案.
(2)根据得到,故或,计算得到答案.
【详解】
(1)因为,所以,即,
当时,或,所以或.
(2)因为,所以, ,
则或,即或,
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了并集的计算,根据包含关系求参数,意在考查学生对于集合知识的综合应用.
18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.
(1);
(2).
【答案】(1)-2 (2)
【解析】(1)由三角函数的定义可得,再结合同角三角函数的商数关系即可得解.
(2)由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.
【详解】
解:(1)由角的终边经过点,可知,
则.
(2)由已知有,
所以
.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系,重点考查了运算能力,属基础题.
19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0
0
2
0
0
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;
(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.
【答案】(1)见解析,.(2)-1
【解析】(1)由表格中数据,可得,即可求得,由可得,则,进而补全表格即可;
(2)由图像变换原则可得,进而将代入求解即可
【详解】
解:(1)根据表中已知数据,可得,解得,
又,所以,
所以.
数据补全如下表:
0
0
2
0
-2
0
(2)由(1)知,
把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像,
再把得到的图像向左平移个单位长度,得到的图像,即,
所以
【点睛】
本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力
20.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求的解析式;
(2)若是上的单调函数,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)由奇函数的定义可求得解析式;
(2)由分段函数解析式知,函数在上单调,则为单调增函数,结合二次函数对称轴和最值可得参数范围.即时要是增函数,且端点处函数值不小于0.
【详解】
解:(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以,
当时,,则,
所以,
所以.
(2)若是上的单调函数,且,
则实数满足,
解得,
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性,分段函数在整个定义域上单调,则每一段的单调性相同,相邻端点处函数值满足相应的不等关系.
21.已知函数,当时,函数的值域是.
(1)求常数,的值;
(2)当时,设,判断函数在上的单调性.
【答案】(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.
【解析】(1)先求得,再讨论和的情况,进而求解即可;
(2)由(1),则
,进而判断单调性即可
【详解】
解:(1)当时,,
所以,
①当时,由题意可得,
即,解得,;
②当时,由题意可得,
即,解得,
(2)由(1)当时,,,所以,
所以,
令,,解得,,
当时,,则,
所以函数在上单调递增,
同理,函数在上单调递减
【点睛】
本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力
22.已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)证明:在上单调递增;
(2)函数,如果总存在,对任意都成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)用增函数定义证明;
(2)分别求出和的最大值,由的最大值不小于的最大值可得的范围.
【详解】
(1)设,
则
,
∵,∴,,∴,即,
∴在上单调递增;
(2)总存在,对任意都成立,即,
的最大值为,
是偶函数,在是增函数,∴当时,,
∴,整理得,,
∵,∴,即,∴,∴.即的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的单调性,考查不等式恒成立问题.单调性的证明只能按照定义的要求进行证明.而不等式恒成立问题要注意问题的转化,本题中问题转化为,
如果把量词改为:对任意,总存在,使得成立,则等价于,
如果把量词改为:对任意,任意,使得恒成立,则等价于,
如果把量词改为:存在,存在,使得成立,则等价于.(的范围均由题设确定).