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- 2021-06-16 发布
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河南省豫南九校2019-2020学年
高一上学期第三次联考试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题正确的是( )
A. 经过三点确定一个平面
B. 经过一条直线和一个点确定一个平面
C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D. 四边形确定一个平面
【答案】C
【解析】A选项,根据平面基本性质知,不共线的三点确定一个平面,故错误;B选项,根据平面基本性质公理一的推论,直线和直线外一点确定一个平面,故错误;C选项,根据公理一可知,不共线的三点确定一个平面,而两两相交且不共点的三条直线,在三个不共线的交点确定的唯一平面内,所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,正确;选项D,空间四边形不能确定一个平面,故错误;综上知选C.
2.下列哪个函数的定义域与函数的值域相同( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的值域为,
对于A,函数的定义域为;
对于B,函数的定义域为;
对于C,函数的定义域为;
对于D,函数的定义域为;故选:B.
3.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,,
则,故选C.
4.已知圆锥的侧面积展开图是一个半圆,则其母线与底面半径之比为( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,
由已知可得,所以,所以,
即圆锥的母线与底面半径之比为2.
故选D.
5.已知函数在区间上有零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为,故函数在区间(0,1)上单调递增,
再根据函数f(x)在(0,1)上有零点,可得,解得−20,故选C.
11.已知为偶函数,为奇函数,且满足.若存在,使得不等式有解,则实数的最大值为( )
A. B.
C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】偶函数,为奇函数,且①
②
①②两式联立可得,.
由得,
∵在为增函数,∴,
故选:A.
12.无论,,同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面,给出下列说法:
①若,,则;
②若,,则;
③若,,则;
④若与无公共点,与无公共点,则与无公共点;
⑤若,,两两相交,则交点可以有一个,三个或无数个.
其中说法正确的序号为( )
A. ①③ B. ①③⑤
C. ①③④⑤ D. ①④⑤
【答案】B
【解析】由平行于同一直线的两直线平行,平行于同一平面的两平面平行,可得①正确;
由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面;垂直于同一平面的两平面相交或平行,可得②错误;
由垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条;垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个,可得③正确;
若一条直线与另两条直线无公共点,可得另两条直线可以相交;若一个平面与另两个平面无公共点,可得另两个平面无公共点;可得④错误;
若三条直线两两相交,则交点可以有一个或三个,若三个平面两两相交,则交点有无数个,故⑤正确;
故选:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设函数,若为奇函数,则______.
【答案】-1
【解析】若函数为奇函数,则,
即,
即对任意的恒成立,则,得.
故答案为:-1
14.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为,则它的侧面积为______.
【答案】
【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为,
则,,
则,则,
则.
故答案为:
15.已知函数在定义域上是偶函数,在上单调递减,并且
,则的取值范围是______.
【答案】.
【解析】因为函数在定义域上是偶函数,
所以,解得,
所以可得
又在上单调递减,所以在上单调递增,
因为,
所以由可得,
解得.
故的取值范围是.
16.正四面体的棱长为,为棱的中点,过作其外接球的截面,则截面面积的最小值为_______________
【答案】
【解析】将四面体ABCD补为正方体,如下图所示,则正方体的外接球就是正四面体的外接球.设球心为O,面积最小的截面就是与OE垂直的截面.由图可知,这个截面就是底面正方形的外接圆,其面积为:..
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图所示,在正方体中,、分别是和的中点.求证:,,交于一点.
【解】证明:如图所示,连接、、,
因为、分别是和的中点,
所以且.
即:,且,
所以四边形是梯形,
所以与必相交,设交点为,
则,且,又平面,
且平面,所以平面,
且平面,
又平面平面,所以,
所以、、三线交于一点.
18.已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数;
(1)求a、b的值,判断并证明函数y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调性
(2)已知k<0且不等式f(t2-2t+3)+f(k-1)<0对任意的t∈R恒成立,求实数k
的取值范围.
【解】(1)∵函数f(x)=是奇函数
∴由定义f(-x)==-,
∴a=b=0,∴f(x)=,
y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减.
证明如下:
∵f(x)=,∴,
∵x>1,∴,
∴y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减.
(2)由f(t2-2t+3)+f(k-1)<0及f(x)为奇函数得:f(t2-2t+3)<f(1-k)
因为t2-2t+3≥2,1-k>1,且y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减,
所以t2-2t+3>1-k任意的t∈R恒成立,
因为t2-2t+3的最小值为2,所以2>1-k,∴k>-1
∵k<0,∴-1<k<0.∴实数k的取值范围是(-1,0).
19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位:万元)满足P=80++120.设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
【解】(1)∵甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,
∴
(2),
依题得,即,
故.
令,则,
当时,即时,,
∴甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大收益为282万元.
20.已知幂函数的图象关于轴对称,且在上为增函数.
(1)求不等式的解集.
(2)设,是否存在实数,使在区间上的最大值为2,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【解】(1)由已知得且,所以或
当时,为奇函数,不合题意
当时,,所以不等式变为
则,解得
所以不等式的解集为.
(2),令,
由得
因为在上有定义所以且,
所以在上为增函数,
(Ⅰ)当时,
即,∴,又,∴
(Ⅱ)当时,
即,∴,此时解不成立.
21.已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域;
(2)若对任意,总有成立,求实数的取值范围.
【解】(1)当时,设,∵,∴,
∴,对称轴,图像开口向上,
∴在为增函数,
∴,∴的值域为.
(2)由题意知,在上恒成立,即,
∴在恒成立,
则只需当时,,
设,,由得,
设,则,
所以在上递增,
即在上的最小值为,
所以实数的取值范围为.
22.在菱形中,且,点分别是棱的中点,将四边形沿着转动,使得与重合,形成如图所示多面体,分别取的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若平面平面,求多面体的体积.
【解】(Ⅰ)取中点,连接.
∵分别是的中点
∴
又∵
∴平面,平面
又∵
平面平面
又平面
∴平面.
(Ⅱ)连接,设交于点.
又平面平面,平面平面
平面
多面体可以分解为四棱锥和四棱锥
在菱形中,且知:.
设梯形的面积为,
则.