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- 2021-06-16 发布
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专题二 函数与导数
第一讲 函数图象与性质
考点一 函数及其表示
1．函数的三要素
定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．
2．分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[对点训练]
1．(2018·广东深圳一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[解析] 由题意得解得0－3，故－31，排除C、D选项，故选B.
[答案] B
角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等
【例2】 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)0)
4．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值
【例1】 (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
[解析] 易知函数f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又∵y＝3x在R上是增函数，y＝－x在R上是增函数，
∴f(x)＝3x－x在R上是增函数，故选A.
[答案] A
[快速审题] 看到奇偶性的判断，想到用－x代x；看到单调性的判断，想到函数的构成．角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合
[解析]
[答案] B
函数3个性质的应用要领
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
(2)
单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．
(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．
[对点训练]
1．[角度1](2018·湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A．y＝ex B．y＝tanx
C．y＝x3－x D．y＝ln
[解析] 函数y＝ex不是奇函数，不满足题意；函数y＝tanx是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数y＝x3－x是奇函数，当x∈时，y′＝3x2－1<0，为减函数，不满足题意；函数y＝ln是奇函数，在定义域(－2,2)内，函数t＝＝－1－为
增函数，函数y＝lnt也为增函数，故函数y＝ln在定义域内为增函数，满足题意，故选D.
[答案] D
2．[角度2]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)0，解得x<－或0，此时，f(x)递减．由此可得f(x)的大致图象，故选D.
[答案] D
3．(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0时，f(x)>f(0)＝0，当x1>x2>0时，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1).21的x的取值范围是________．
[解析]
[答案]
5．(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f[f(15)]的值为________．
[解析] ∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为4，
∴f(15)＝f(－1)＝，f＝cos＝，
∴f[f(15)]＝f＝.
[答案]
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
热点课题4 动点变化中函数图象辨析
[感悟体验]
1．(2018·长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )
[解析] 由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈时，f(x)＝cosx·sinx＝sin2x；当x∈时，f(x)＝－cosx·sinx＝－sin2x，故选B.
[答案] B
2．(2018·南昌二模)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是( )
[解析] 当x∈时，V(x)增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x∈时，V(x)增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.
[答案] C
专题跟踪训练(十)
一、选择题
1．(2018·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
[解析] 要使函数有意义，需满足解得x<且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪，故选D.
[答案] D
2．(2018·山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|log3x| B．y＝x3
C．y＝e|x| D．y＝cos|x|
[解析] A中函数是非奇非偶函数，B中函数是奇函数，D中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，故选C.
[答案] C
3．(2018·湖北襄阳三模)已知函数f(x)＝则f(2)＝( )
A. B．－ C．－3 D．3
[解析] 由题意，知f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝3，故选D.
[答案] D
4．(2018·太原阶段测评)函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )
[解析] 因为y＝x＋1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线y＝x对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A.
[答案] A
5．(2018·石家庄高三检测)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[解析] ∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，故选A.
[答案] A
6．(2018·山东济宁二模)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(lnπ)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
[解析] 由题意易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又
∵|a|＝lnπ>1，b＝(lnπ)2>|a|,0f(|a|)>f(b)．又由题意知f(a)＝f(|a|)，∴f(c)>f(a)>f(b)，故选C.
[答案] C
7．(2018·山西四校二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a＝0时，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f(x)＝|(ax－1)x|＝0得x＝0或x＝<0，结合图象知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以充分性成立，反之必要性也成立．综上所述，“a≤0”是“f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C.
[答案] C
8．(2018·安徽淮北一模)函数f(x)＝＋ln|x|的图象大致为( )
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝＋ln(－x)，易知函数f(x)＝＋ln(－x)在(－∞，0)上递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)＝＋lnx，f(2)＝＋ln2≠2，故排除A，故选B.
[答案] B
9．(2018·山东济宁一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2017)＋f(2018)的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
[解析] ∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由f(x)
的图象关于x＝1对称，得f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)的周期T＝4.∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.∴f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(0)＝2－1＋1－1＝1，故选D.
[答案] D
10．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
[解析] 如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t，
∴y＝cosx＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故选B.
[答案] B
11．(2018·安徽池州模拟)已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10；
②f(x＋4)＝－f(x)；
③y＝f(x＋4)是偶函数；
若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a0，∴函数f(x)在[4,8]上单调递增，∴b0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为________．
[解析]
[答案] (0,1)∪(2，＋∞)
16．(2018·河南许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于________．
[解析] f(x)＝＝2＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，
∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.
∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，
m＝f(x)min＝2＋g(x)min，
∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.
[答案] 4
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