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- 2021-06-16 发布
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2020届模拟05
理科数学
测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设全集,集合,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出后可求.
【详解】,故.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的运算(交集和补集),此类属于基础题.
2.若复数满足,其中为虚数单位,则复数的共轭复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先由,解得,再求,然后用几何意义判断.
【详解】因为,
所以,
所以,
所以对应的点在第三象限..
故选:C
- 25 -
【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.
3.已知幂函数是定义在区间上的奇函数,设,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数是幂函数,得到,再由在区间上是奇函数,得到,然后用函数的单调性判断.
【详解】因为函数是幂函数,
所以 ,
所以,
又因为在区间上是奇函数,
所以,
即,
因为,
又为增函数,
所以.
故选:A
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.
4.已知双曲线的两个实轴顶点为,点为虚轴顶点,且,则双曲线的离心率的范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
- 25 -
【解析】
【分析】
根据,所以为钝角,有求解.
【详解】根据题意,,
所以为钝角,
所以,
所以.
故选:A
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.
5.已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张,若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回,则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设A={抽取1张红桃和2张其他纸牌},B={第二次从中抽取1张红桃和2张方片},先明确是条件概率类型,求,再代入公式求解.
【详解】设A={抽取1张红桃和2张其他纸牌};
B={第二次从中抽取1张红桃和2张方片};,
所以.
故选:C
【点睛】本题主要考查了条件概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
6.已知向量,函数在区间
- 25 -
上单调,且的最大值是,则( )
A. 2 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
由,利用数量积运算得到,再根据函数在区间上单调,且的最大值是,求得周期,确定函数再求值.
【详解】因为,
所以,
,
因为函数在区间上单调,且的最大值是,
所以,,,
即,
所以.
故选:D
【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量,数量积运算及三角函数的性质,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
7.如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( )
- 25 -
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】
根据循环结构,从开始,一一验证,直至时,对应的值.
【详解】输入的,程序框图运行如下:
,,,,
,,,,
,,
,,
,.
所以输出的
故选:C
【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构,还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力,属于基础题.
8.设是的对角线的交点,三角形的高为2,为任意一点,则( )
A. 6 B. 16 C. 24 D. 48
【答案】B
【解析】
- 25 -
【分析】
根据,有在向量的射影为,根据向量加、减法运算,将转化求解.
【详解】因为,
所以在向量的射影为,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查了向量的加法,减法运算及向量的投影,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.
9.设满足约束条件,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据约束条件,作出可行域,目标函数表示表示点和两点的距离的平方,然后用数形结合求解.
【详解】由约束条件作出可行域如图,
令,则表示点和两点的距离,
由图可得,,
- 25 -
联立,解得,
所以
过作于,则,
所以.
故选:A
【点睛】本题主要考查了线性规划求最值,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.
10.已知数列满足,,则展开式中的常数项为( )
A. B. C. 80 D. 160
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,得数列等比数列,求得,再由,确定n,得到为 ,然后利用通项公式求解.
【详解】因为,
所以数列为等比数列,
所以,
所以,
解得所以,
其中展开式的第r+1项为,
令,得(舍去),
令,得 可得,
- 25 -
所以二项式展开式中常数项为.
故选:D
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
11.如图,已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形,则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形,外面的六边形的边长为,旋转得到的几何体是两个同底的圆台,再根据圆台的体积公式求解,内部的六边形边长为1,旋转得到的几何体是一个圆柱,两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱,圆锥的体积公式求解,然后外部的减内部的体积即为所求.
【详解】根据题意,外面的六边形边长为,
旋转得到的几何体是两个同底的圆台,
上底半径为,下底半径为,高为 ,
所以旋转得到的几何体的体积为,内部的六边形边长为1
旋转得到的几何体是一个圆柱,两个与圆柱同底的圆锥,
圆锥的底面半径为,高为,圆柱的底面半径为,高为1,
内部的六边形旋转得到的几何体的体积为,
- 25 -
所以几何体的体积为.
故选:B
【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.
12.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.
【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,
当时,,令
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
所以当时,取得最大值,
因为在上有3个零点,
所以当时,有2个零点,
如图所示:
- 25 -
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为,
故选:B
【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)
13.已知抛物线,是上的一点,若焦点关于的对称点落在轴上,则________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据间的对称关系,结合点在轴上,求得点的横坐标,再利用抛物线的定义求解.
【详解】设, 因为为的中点,且点在轴上,
所以的横坐标为,
由抛物线的定义得,
.
故答案为:6
- 25 -
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.
14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四梭台)体积为,其中为上底边长,为下底边长,为高.杨辉利用沈括隙积术的基础上想到:若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由个球组成,以下各层的长、宽依次各增加一个球,共有层,最下层(即下底)由个球组成,杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下:根据以上材料,我们可得__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,在中,令,即可得到结论.
【详解】根据题意,令,
.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了类比推理,还考查了抽象概括问题的能力,属于基础题.
15.某一几何体三视图如图所示,已知几何体的体积为,则俯视图的面积为__.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三视图,得到这个几何体为一个放倒的四棱锥,画出直观图,根据三视图,正视图为底面,高为俯视图的高,由体积求得高,得到俯视图的边长即可.
- 25 -
【详解】由三视图可知,几何体为一个四棱锥,
直观图如下,
设四棱锥的高为,
几何体的体积为,
即点到平面的距离为,
又因为俯视图三角形底边长为2,
所以俯视图的面积为
故答案为:
【点睛】本题主要考查了三视图与直观图,还考查了数形结合的思想和空间想象的能力,属于中档题.
16.在中,分别是的中点,且,若的面积不小于,则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,在,中,利用余弦定理分别求得,,建立模型,然后根据的面积不小于,确定的范围,再利用函数求最值.
【详解】根据题意,如图所示:
- 25 -
因为点分别为的中点,
所以,
在中,由余弦定理得,
,
在中,由余弦定理得,
,
所以,
又因为的面积不少于6,
所以
所以
当取最大时,有最小值,最小值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和记为,,;等差数列中,且的前项和为,.
(1)求与的通项公式;
(2)设数列满足,求的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
分析】
(1)由,得到 然后两式相减得 从而得到数列是等比数列,再分别求与的通项公式.
- 25 -
(2)根据(1)得到,再用裂项相消法求和.
【详解】(1),
又,,
所以数列为等比数列,
.
设数列的公差为,
,
.
(2)由题意得:
所以前项和.
【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和之间的关系以及裂项相消法求和,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.
18.京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,为纪念著名京剧表演艺术家,京剧艺术大师梅兰芳先生,某电视台《我爱京剧》的一期比赛中,2位“梅派”传人和4位京剧票友(资深业余爱好者)在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段,假设6位演员的演唱水平相当,由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.
(1)此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查,根据调查得到的数据如下:
京剧票友
一般爱好者
合计
50岁以上
15
10
25
50岁以下
3
12
15
合计
18
22
40
- 25 -
试问:在犯错误的概率不超过多少的前提下,可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系?
(2)若在一轮中演唱中,每猜出一位亮相一位,且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止,记本轮竞猜一共竞猜次,求随机变量的分布列与期望.
参考数据:
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:
【答案】(1)在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.(2)见解析,
【解析】
【分析】
(1)根据列联表,利用公式求得卡方值,对应卡值下结论.
(2)根据题意,分四种情况,一是猜2次,2人全是“梅派”传人”,二猜3次是第3次是“梅派”传人,三是猜4次,第4次是“梅派”传人,四是猜5次,分两类,一类是第5次是“梅派”传人,第二类是第5次不是“梅派”传人,分别用古典概型求得概率,列出分布列,求期望.
【详解】(1)因为,
所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.
(2)由题意,随机变量的取值分别为.
,
- 25 -
,
,
,
随机变量的分布列为:
2
3
4
5
随机变量的期望为:.
【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.
19.在如图(1)梯形中,,过作于,,沿翻折后得图(2),使得,又点满足,连接,且.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)连接与交于点,由,得到,
- 25 -
由比例关系得到,再由线面平行的判定定理证明.
(2)根据由,得四边形为平行四边形,由,,得,再由,得平面,所以,从而平面,以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,分别求得平面BMD和平面得一个法向量,再利用面面角的向量法求解.
【详解】(1)如图所示:
连接与交于点,,则
,,
又平面,平面,
∴平面.
(2)证明:由,
得四边形为平行四边形,
所以,,
所以,
所以,
又,
所以平面,所以,
又,平面
以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
- 25 -
则,
所以
设平面BMD的一个法向量为,
所以
令,则,
又平面得一个法向量为,
所以,
又平面与平面所成的二面角显然为锐角,
所以平面与平面所成的二面角的余弦值.
【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法,还考查了转化化归的思想和推理论证,空间想象和运算求解的能力,属于中档题.
20.已知椭圆的左、右焦点为,左右两顶点,点为椭圆上任意一点,满足直线的斜率之积为,且的最大值为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点,连接点并延长,交轨迹于一点.求证:.
- 25 -
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)因为的最大值为4,根据椭圆的定义,利用基本不等式求得,再根据直线的斜率之积为,有,求得,写出椭圆方程.
(2)由条件知,设直线的方程,与椭圆方程联立,消得,设,则.
由根与系数的关系得,.,设直线的方程为,
所以,得,因为要证.根据椭圆的对称性,只要证得点与 关于x轴对称, 即.
【详解】(1)根据题意,
又设,所以,所以,
故,从而椭圆的标准方程为.
(2)根据题意,,所以设直线的方程,
联立,消得,
,即.
- 25 -
设,则.
由根与系数的关系得,.
设直线的方程为,
所以,得,
所以
所以
.
所以
故,
所以.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.
21.已知函数在点处的切线方程为.
(1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)设,对于,的值域为,若,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据在点处的切线方程为.有
- 25 -
求得函数.然后将函数存在单调递减区间,转化为存在取值区间求解;(2)根据,求导,根据,分①当时,②当时,③当时,三种情况讨论值域,然后再分别研究成立,确定实数t范围.
【详解】因为,所以,
又,故.
(1)由题意得,
若函数存在单调减区间,
则
即存在取值区间,
即存在取值区间,
所以.
当时,
当,则,无解.
当,则,.
当,则,且
所以时,函数不存在单调减区间.
故
(2)因为,所以
①当时,,在上单调递减,由,
所以,即,得;
②当时,,在上单调递增,
所以,即,得,
- 25 -
③当时,,,在上单调递减,
,,在上单调递增,
所以,即
令,,则,所以在上单调递减,
故,而,所以不等式()无解,
综上所述,.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,导数与函数的极值,最值问题,还考查了转化化归,分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.
请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.已知直线的普通方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为,将直线向右平移2个单位后得到直线,又点的极坐标.
(1)求直线以及曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求三角形的面积值.
【答案】(1),.(2)
【解析】
【分析】
(1)根据 分别求解直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程.
(2)由直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程联立得,再求弦长,点到直线的距离,代入面积公式求解.
【详解】(1)因为直线的普通方程为,
- 25 -
所以直线的极坐标方程,
因为曲线的普通方程,
所以曲线C的极坐标方程.
(2)由(1)得,
所以,
点到直线的距离为,
所以.
【点睛】本题主要考查了普通方程,极坐标方程,参数方程间的转化,以及直线与圆的位置关系,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.
23.已知函数
(1)若,求不等式的解集;
(2)当时,若的最小值为2,求的最小值.
【答案】(1).(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意,利用绝对值的几何意义,转化函数,再分类讨论解不等式.
(2)由,再根据,的最小值为,即,然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值.
【详解】(1)根据题意,
,
因为
- 25 -
所以或,
解得或,
所以解集为.
(2)因为,
当且仅当时,等号成立,
又,所以,
所以的最小值为,
所以.
所以.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法,基本不等式的应用,还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.
- 25 -
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