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  • 2021-06-16 发布

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟考试卷(五)数学(理)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2020届模拟05‎ 理科数学 测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设全集,集合,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求.‎ ‎【详解】,故.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算(交集和补集),此类属于基础题.‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位,则复数的共轭复数所对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由,解得,再求,然后用几何意义判断.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以对应的点在第三象限..‎ 故选:C - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎3.已知幂函数是定义在区间上的奇函数,设,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是幂函数,得到,再由在区间上是奇函数,得到,然后用函数的单调性判断.‎ ‎【详解】因为函数是幂函数,‎ 所以 ,‎ 所以,‎ 又因为在区间上是奇函数,‎ 所以,‎ 即,‎ 因为,‎ 又为增函数,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质,还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的两个实轴顶点为,点为虚轴顶点,且,则双曲线的离心率的范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,所以为钝角,有求解.‎ ‎【详解】根据题意,,‎ 所以为钝角,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎5.已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张,若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回,则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A={抽取1张红桃和2张其他纸牌},B={第二次从中抽取1张红桃和2张方片},先明确是条件概率类型,求,再代入公式求解.‎ ‎【详解】设A={抽取1张红桃和2张其他纸牌};‎ B={第二次从中抽取1张红桃和2张方片};,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了条件概率的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎6.已知向量,函数在区间 - 25 -‎ 上单调,且的最大值是,则( )‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用数量积运算得到,再根据函数在区间上单调,且的最大值是,求得周期,确定函数再求值.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,‎ ‎,‎ 因为函数在区间上单调,且的最大值是,‎ 所以,,,‎ 即,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量,数量积运算及三角函数的性质,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎7.如图所示的程序框图,若输入的,则输出的( )‎ - 25 -‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构,从开始,一一验证,直至时,对应的值.‎ ‎【详解】输入的,程序框图运行如下:‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 所以输出的 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构,还考查了数形结合的思想和逻辑推理的能力,属于基础题.‎ ‎8.设是的对角线的交点,三角形的高为2,为任意一点,则( )‎ A. 6 B. 16 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 根据,有在向量的射影为,根据向量加、减法运算,将转化求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以在向量的射影为,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了向量的加法,减法运算及向量的投影,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.‎ ‎9.设满足约束条件,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件,作出可行域,目标函数表示表示点和两点的距离的平方,然后用数形结合求解.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如图,‎ 令,则表示点和两点的距离,‎ 由图可得,,‎ - 25 -‎ 联立,解得,‎ 所以 过作于,则,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了线性规划求最值,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于基础题.‎ ‎10.已知数列满足,,则展开式中的常数项为( )‎ A. B. C. 80 D. 160‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,得数列等比数列,求得,再由,确定n,得到为 ,然后利用通项公式求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以数列为等比数列,‎ 所以,‎ 所以,‎ 解得所以,‎ 其中展开式的第r+1项为,‎ 令,得(舍去),‎ 令,得 可得,‎ - 25 -‎ 所以二项式展开式中常数项为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及二项式定理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎11.如图,已知六个直角边均为1和的直角三角形围成的两个正六边形,则该图形绕着旋转一周得到的几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形,外面的六边形的边长为,旋转得到的几何体是两个同底的圆台,再根据圆台的体积公式求解,内部的六边形边长为1,旋转得到的几何体是一个圆柱,两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱,圆锥的体积公式求解,然后外部的减内部的体积即为所求.‎ ‎【详解】根据题意,外面的六边形边长为,‎ 旋转得到的几何体是两个同底的圆台,‎ 上底半径为,下底半径为,高为 ,‎ 所以旋转得到的几何体的体积为,内部的六边形边长为1‎ 旋转得到的几何体是一个圆柱,两个与圆柱同底的圆锥,‎ 圆锥的底面半径为,高为,圆柱的底面半径为,高为1,‎ 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为,‎ - 25 -‎ 所以几何体的体积为.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了空间几何体的组合体的体积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.‎ ‎12.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.‎ ‎【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,‎ 当时,,令 当时,,在上单调递增,‎ 当时,,在上单调递减,‎ 所以当时,取得最大值,‎ 因为在上有3个零点,‎ 所以当时,有2个零点,‎ 如图所示:‎ - 25 -‎ 所以实数的取值范围为 综上可得实数的取值范围为,‎ ‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.)‎ ‎13.已知抛物线,是上的一点,若焦点关于的对称点落在轴上,则________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据间的对称关系,结合点在轴上,求得点的横坐标,再利用抛物线的定义求解.‎ ‎【详解】设, 因为为的中点,且点在轴上,‎ ‎ 所以的横坐标为,‎ 由抛物线的定义得,‎ ‎.‎ 故答案为:6‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及对称问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.‎ ‎14.南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四梭台)体积为,其中为上底边长,为下底边长,为高.杨辉利用沈括隙积术的基础上想到:若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由个球组成,以下各层的长、宽依次各增加一个球,共有层,最下层(即下底)由个球组成,杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下:根据以上材料,我们可得__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,在中,令,即可得到结论.‎ ‎【详解】根据题意,令,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了类比推理,还考查了抽象概括问题的能力,属于基础题.‎ ‎15.某一几何体三视图如图所示,已知几何体的体积为,则俯视图的面积为__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图,得到这个几何体为一个放倒的四棱锥,画出直观图,根据三视图,正视图为底面,高为俯视图的高,由体积求得高,得到俯视图的边长即可.‎ - 25 -‎ ‎【详解】由三视图可知,几何体为一个四棱锥,‎ 直观图如下,‎ 设四棱锥的高为,‎ 几何体的体积为,‎ 即点到平面的距离为,‎ 又因为俯视图三角形底边长为2,‎ 所以俯视图的面积为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图与直观图,还考查了数形结合的思想和空间想象的能力,属于中档题.‎ ‎16.在中,分别是的中点,且,若的面积不小于,则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,在,中,利用余弦定理分别求得,,建立模型,然后根据的面积不小于,确定的范围,再利用函数求最值.‎ ‎【详解】根据题意,如图所示:‎ - 25 -‎ 因为点分别为的中点,‎ 所以,‎ 在中,由余弦定理得,‎ ‎,‎ 在中,由余弦定理得,‎ ‎,‎ 所以,‎ 又因为的面积不少于6,‎ 所以 所以 ‎ 当取最大时,有最小值,最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知数列的前项和记为,,;等差数列中,且的前项和为,.‎ ‎(1)求与的通项公式;‎ ‎(2)设数列满足,求的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由,得到 然后两式相减得 从而得到数列是等比数列,再分别求与的通项公式.‎ - 25 -‎ ‎(2)根据(1)得到,再用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又,,‎ 所以数列为等比数列,‎ ‎.‎ 设数列的公差为,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2)由题意得:‎ 所以前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和之间的关系以及裂项相消法求和,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎18.京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,为纪念著名京剧表演艺术家,京剧艺术大师梅兰芳先生,某电视台《我爱京剧》的一期比赛中,2位“梅派”传人和4位京剧票友(资深业余爱好者)在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段,假设6位演员的演唱水平相当,由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.‎ ‎(1)此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查,根据调查得到的数据如下:‎ 京剧票友 一般爱好者 合计 ‎50岁以上 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50岁以下 ‎3‎ ‎12‎ ‎15‎ 合计 ‎18‎ ‎22‎ ‎40‎ - 25 -‎ 试问:在犯错误的概率不超过多少的前提下,可以认为年龄的大小与对京剧知识的了解有关系?‎ ‎(2)若在一轮中演唱中,每猜出一位亮相一位,且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止,记本轮竞猜一共竞猜次,求随机变量的分布列与期望.‎ 参考数据:‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:‎ ‎【答案】(1)在犯错误的概率不超2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.(2)见解析,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据列联表,利用公式求得卡方值,对应卡值下结论.‎ ‎(2)根据题意,分四种情况,一是猜2次,2人全是“梅派”传人”,二猜3次是第3次是“梅派”传人,三是猜4次,第4次是“梅派”传人,四是猜5次,分两类,一类是第5次是“梅派”传人,第二类是第5次不是“梅派”传人,分别用古典概型求得概率,列出分布列,求期望.‎ ‎【详解】(1)因为, ‎ 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.‎ ‎(2)由题意,随机变量的取值分别为.‎ ‎,‎ - 25 -‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, ‎ 随机变量的分布列为:‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 随机变量的期望为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验和分布列,还考查了数据处理和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎19.在如图(1)梯形中,,过作于,,沿翻折后得图(2),使得,又点满足,连接,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接与交于点,由,得到,‎ - 25 -‎ 由比例关系得到,再由线面平行的判定定理证明.‎ ‎(2)根据由,得四边形为平行四边形,由,,得,再由,得平面,所以,从而平面,以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,分别求得平面BMD和平面得一个法向量,再利用面面角的向量法求解.‎ ‎【详解】(1)如图所示:‎ 连接与交于点,,则 ‎,,‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)证明:由,‎ 得四边形为平行四边形,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以平面,所以,‎ 又,平面 以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,‎ - 25 -‎ 则,‎ 所以 设平面BMD的一个法向量为,‎ 所以 ‎ ‎ 令,则,‎ 又平面得一个法向量为, ‎ 所以,‎ 又平面与平面所成的二面角显然为锐角,‎ 所以平面与平面所成的二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面平行和空间中二面角的求法,还考查了转化化归的思想和推理论证,空间想象和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点为,左右两顶点,点为椭圆上任意一点,满足直线的斜率之积为,且的最大值为4.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知直线与轴的交点为,过点的直线与椭圆相交与两点,连接点并延长,交轨迹于一点.求证:.‎ - 25 -‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为的最大值为4,根据椭圆的定义,利用基本不等式求得,再根据直线的斜率之积为,有,求得,写出椭圆方程.‎ ‎(2)由条件知,设直线的方程,与椭圆方程联立,消得,设,则.‎ 由根与系数的关系得,.,设直线的方程为,‎ 所以,得,因为要证.根据椭圆的对称性,只要证得点与 关于x轴对称, 即.‎ ‎【详解】(1)根据题意, ‎ 又设,所以,所以, ‎ 故,从而椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)根据题意,,所以设直线的方程,‎ 联立,消得,‎ ‎,即. ‎ - 25 -‎ 设,则.‎ 由根与系数的关系得,.‎ 设直线的方程为,‎ 所以,得,‎ 所以 所以 ‎.‎ 所以 故,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ ‎21.已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎(1)若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;‎ ‎(2)设,对于,的值域为,若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据在点处的切线方程为.有 - 25 -‎ 求得函数.然后将函数存在单调递减区间,转化为存在取值区间求解;(2)根据,求导,根据,分①当时,②当时,③当时,三种情况讨论值域,然后再分别研究成立,确定实数t范围.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 又,故.‎ ‎(1)由题意得,‎ 若函数存在单调减区间,‎ 则 即存在取值区间,‎ 即存在取值区间,‎ 所以.‎ 当时,‎ 当,则,无解.‎ 当,则,.‎ 当,则,且 所以时,函数不存在单调减区间.‎ 故 ‎(2)因为,所以 ‎①当时,,在上单调递减,由,‎ 所以,即,得;‎ ‎②当时,,在上单调递增,‎ 所以,即,得,‎ - 25 -‎ ‎③当时,,,在上单调递减,‎ ‎,,在上单调递增,‎ 所以,即 ‎ 令,,则,所以在上单调递减,‎ 故,而,所以不等式()无解,‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,导数与函数的极值,最值问题,还考查了转化化归,分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.‎ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.已知直线的普通方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为,将直线向右平移2个单位后得到直线,又点的极坐标.‎ ‎(1)求直线以及曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,求三角形的面积值.‎ ‎【答案】(1),.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据 分别求解直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程.‎ ‎(2)由直线的极坐标方程和曲线C的极坐标方程联立得,再求弦长,点到直线的距离,代入面积公式求解.‎ ‎【详解】(1)因为直线的普通方程为,‎ - 25 -‎ 所以直线的极坐标方程, ‎ 因为曲线的普通方程,‎ 所以曲线C的极坐标方程. ‎ ‎(2)由(1)得,‎ 所以,‎ 点到直线的距离为,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了普通方程,极坐标方程,参数方程间的转化,以及直线与圆的位置关系,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,若的最小值为2,求的最小值.‎ ‎【答案】(1).(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,利用绝对值的几何意义,转化函数,再分类讨论解不等式. ‎ ‎(2)由,再根据,的最小值为,即,然后用“1”的代换利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】(1)根据题意,‎ ‎, ‎ 因为 - 25 -‎ 所以或,‎ 解得或,‎ 所以解集为.‎ ‎(2)因为,‎ 当且仅当时,等号成立, ‎ 又,所以,‎ 所以的最小值为,‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及最值的求法,基本不等式的应用,还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.‎ - 25 -‎ ‎ ‎ - 25 -‎