安徽省六安市第一中学2019届高三高考模拟（四）数学（文）试题 13页

六安一中文科数学模拟卷（四）‎ 时间：120分钟 满分：150分 ‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设则“”是“”的（ ）‎ A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．充分而不必要条件 ‎2．若，则（ ）‎ A．4 B． C．1 D．‎ ‎3．直线与直线垂直，垂足为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，点为角的终边上一点，且 ，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．数列满足，对任意的都有，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（ ）‎ A．8 B．16 C．33 D．66‎ ‎7．若x，y满足约束条件且向量，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，‎ 则该物体的体积为（ ）‎ A．1 B． ‎ C． D．‎ ‎9．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作 的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为 A． B． C． D．‎ ‎10． 点P在椭圆上，的右焦点为F，点Q在圆上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在三棱锥中，平面平面是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数（，且）在上单调递增，且函数与的图象恰有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．‎ ‎13．已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ;‎ ‎14．知向量,的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为__________．‎ ‎15．已知实数满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为________‎ ‎16．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截这两个几何体，可横截得到及两截面.可以证明总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（1）若有两解，求的取值范围；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱锥中，点在以为直径的圆上，平面平面，点在线段上，且，，，‎ ‎，点为的重心，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：[来源:学科网]‎ 并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：‎ ‎ （1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；‎ ‎ （2）根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；‎ ‎（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率.‎ ‎[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，动点到点的距离与到点的距离之和为4.‎ ‎（1）求动点的轨迹；‎ ‎（2）若，设过点的直线与的轨迹相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎21．（本小题满分12分）[来源:学科网ZXXK]‎ 已知函数在处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数的值，并判断函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，且，求证.‎ 注意：以下请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）‎ 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与圆的交点为与直线的交点为，求的范围．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围 六安一中文科数学模拟卷 ‎（ 四 ）参考答案 ‎1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．B 10．D 11．A 12．C 由函数在R上单调递增，可知，解得，‎ 由函数与的图象恰有两个不同的交点，画出图象，如图所示：‎ 由图可知，解得，再一种情况就是直线与曲线相切，联立令判别式等于零，求得，或（舍去），所以的取值范围是，故选C.‎ ‎13． 14． 15．因为实数满足，‎ 所以，，，‎ 所以点在曲线上，点在曲线上，‎ 的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，‎ 最小值即为曲线上与直线平行的切线，‎ 因为，求曲线上与直线平行的切线 即，解得 ，所以切点为，‎ 该切点到直线的距离 ‎，就是所求两曲线间的最小距离，‎ 所以的最小值为 。‎ ‎16．【详解】总成立则半椭球体的体积为：‎ 椭球体的体积椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即椭球体的体积故答案为 ‎17．解（1）∵，‎ ‎∴，∴.‎ 即，∵，∴，∴.‎ 若有两解，∴，解得，即的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）知，，∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，∵，∴.‎ ‎18、（1）‎ 如图，连接，并延长交于点.在上取点，使得，连接、.‎ 因为为的重心，所以为的中点，且.‎ 又因为，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．同理可得平面，‎ 又，所以平面平面，‎ 又平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为点在以为直径的圆上，所以，‎ 又因为平面平面，平面平面，所以平面.‎ 在中，，，‎ 如图，连接CQ，则，且，[来源:Z_xx_k.Com]‎ 所以的面积.‎ 故三棱锥的体积.‎ 因为平面，所以，‎ 又因为，，所以平面，故.‎ 在中，.‎ 所以的面积.‎ 设点到平面的距离为，即点到平面的距离为，‎ 则三棱锥的体积.‎ 显然，即，解得，即点到平面的距离为.‎ ‎19．（1）依题意，所求平均数为 ‎.‎ ‎（2）依题意，完善表中的数据如下所示：‎ 愿意购买该款电视机 不愿意购买该款电视机 总计 ‎40岁以上 ‎800‎ ‎200‎ ‎1000‎ ‎40岁以下 ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ 总计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ 故；‎ 故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.‎ ‎（3）依题意，使用时间在内的有1台，记为A，使用时间在内的有4台，记为a,b,c,d，则随机抽取2台，所有的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共10种，‎ 其中满足条件的为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种，‎ 故所求概率.‎ ‎20．解（1）①当时，的轨迹不存在.‎ ‎②当时，的轨迹为一线段，方程为；‎ ‎③当时，的轨迹为焦点在轴上的椭圆，方程为.‎ ‎（2）若，则的轨迹方程为 .‎ 当轴时不合题意， 故设，，.‎ 将代入得.‎ 由得，，‎ 解得或.‎ 由韦达定理得， ，‎ ‎.‎ 又点到直线的距离，‎ ‎，其中或.‎ 令，则且，‎ 当且仅当即,时等号成立,‎ 所以，当的面积最大时，的方程为或.‎ 方法二：若，则的轨迹方程为.‎ 当轴时不合题意， 故设，，，且.‎ 将代入得.‎ 由得，，‎ 解得或.‎ 由韦达定理得，，‎ ‎，，‎ 令，则且， ‎ 当且仅当即,时等号成立,‎ 所以，当的面积最大时，的方程为或.‎ ‎21．解（1）函数的定义域：，‎ ‎，解得，，‎ 令，解得，故在上是单调递减；‎ 令，解得，故在上是单调递增. ‎ ‎（2）由为函数的两个零点，得 两式相减，可得 ‎ 即，， ‎ 因此， ‎ 令，由，得.‎ 则， ‎ 构造函数， ‎ 则 所以函数在上单调递增，故，‎ 即，可知.故命题得证..‎ ‎22．解：（1）圆的普通方程是，又，‎ 所以圆的极坐标方程为；‎ ‎（2）设，则有，‎ 设，且直线的方程是，则有，‎ 所以，‎ 所以 ‎23．解：（1）由题意，当时，，‎ 由，可得，即，‎ 所以或或，‎ 解得或或，即或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意在上恒成立，等价于在上恒成立，‎ 等价于在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，‎ 则，即，解得.‎ 所以实数的范围为.‎