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- 2021-06-16 发布
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§3.3.2两点间的距离
【教学目标】
1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.
2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性.
3.体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题.
【重点难点】
教学重点:①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.
【教学过程】
一、导入新课、展示目标
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
二、检查预习、交流展示
核对课前预习中的答案。1、(1,0);2、1并说出自己的疑惑处。
三、合作探究、精讲精练
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3,4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.
教师 ①如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?
②求点B(3,4)到原点的距离.
③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).
学生 回答 ①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.
②通过画简图,发现一个Rt△BMO,应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.
③
图1
在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2,垂足分别为M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),其中直线P1N1
和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.
因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|,
所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|=
教师 ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.
(b)又问了B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形.
(c)猜想了任意两点间距离公式.
(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.
这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!
应用示例
例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.
图2
解:设B(x,3),根据|AB|=13,
即(x+4)2+(3-8)2=132,解得x=8或x=-16.
点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点,应交出两个点.
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
解:设所求点P(x,0),于是有.
由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.
即所求点为P(1,0),且|PA|==2.
点评:引导学生熟练设点及应用距离公式。
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
解析:首先要建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0)。
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c),因为
所以,
,
所以,
因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下:
第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。
第二步:进行有关代数运算。
第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。
思考:同学们是否还有其它的解决办法?
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练:已知0<x<1,0<y<1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
解析:此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。
答案:x=y=
点评:强调数形结合,转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系,来解决问题很有必要。
当堂检测
导学案当堂检测
课堂小结
通过本节学习,要求大家:
①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程;
②能灵活运用此公式解决一些简单问题;
③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.
【板书设计】
一、两点间距离公式
二、例题
例1
变式1
例2
变式2
例3
变式3
【作业布置】
课本习题3.3 必做题 A组6、7、8;
选做题B组6.
及 导学案课后练习与提高
§ 3.3.2两点间的距离
课前预习学案
一、预习目标
1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.
2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性.
3.体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题.
二、预习内容
(一)巩固所学
1.直线,无论取任意实数,它都过点 .
2.若直线与直线的交点为,则 .
(二)探索新知,提出疑惑
预习教材P104~ P106,找出疑惑之处
三. 提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
并回答下列问题:
1.已知平面上两点,则|P1P2| = ( ).
特殊地:与原点的距离为 |P1P2|= ( ).
2.特别地,当P1P2平行于x轴时,|P1P2|= ( );
当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=( )
课内探究学案
一、学习目标
1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题.
2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性.
3.体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题.
学习重点:①平面内两点间的距离公式.
②如何建立适当的直角坐标系.
学习难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题
二、学习过程
问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?
探究一 平面内两点间的距离公式
问题 (1)如果A、B是x轴上两点,C、D是y轴上两点,它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求?
(2)求B(3,4)到原点的距离.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|.
(4)同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)
得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|=
例1 如图2,有一线段的长度是13,它的一个端点是A(-4,8),另一个端点B的纵坐标是3,求这个端点的横坐标.
图2
变式训练1
课本106页练习第一题
例2 已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
变式训练2
课本106页练习第二题.
探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题
例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
上述解决问题的基本步骤学生归纳如下:
思考:同学们是否还有其它的解决办法?
还可用综合几何的方法证明这道题。
变式训练:已知0<x<1,0<y<1,求使不等式
≥2中的等号成立的条件.
学习小结
1.坐标法的步骤:①建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关的代数运算;③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
当堂检测
1.在x轴上求一点P,使P点到A(-4,3)和B(2,6)两点的距离相等.
2.求在数轴上,与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.
3.已知三点A(3,2)、B(0,5)、C(4,6),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案
1. 解:设点P坐标为(x,0),由P点到A(-4,3)和B(2,6)两点的距离相等及两点间的距离公式,可得x=,即点P坐标为(,0).
2.答案:(,0)或(0,5).
3.解:由两点间的距离公式,可得|AB|=≠|BC|=|CA|=,故选C.
答案:C
4.答案:C
课后巩固练习与提高
1.点M(x,)、N(y,)之间的距离为( )
A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y
2.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知A(3,-1)、B(5,-2),点P在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则P点坐标是( )
A.(1,-1) B.(-1,1) C.() D.(-2,2)
4.已知A(1,3)、B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是( )
A.(4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(1,0)
5.已知A(a,3)、B(3,3a+3)两点间的距离是5,则a的值为_____________.
6.以A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是______________三角形.
7.已知△ABC的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(,),则AB边上的中线CM的长为_____________________.
8.若2a-b=3,求证:三点A(-2,3)、B(3,a)、C(8,b)在一条直线上.
9.如图3-3-3,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,试证明AE=CD.
图3-3-3
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
参考答案
1.思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.
MN==|x+y|.
故选A.
2. 思路解析:直接求本题较为麻烦,可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点
A′(-3,-5),则|A′B|即为所求,由两点间距离易求得|A′B|=.
答案:C
3. 思路解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1,-3),连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线A′B的方程为y+3=(x-1),即y=,与x+y=0联立,解得x=,y=.
答案:C
4. 思路解析:点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1,-3),连结A′B交x轴于点P,
即为所求.直线A′B的方程是y+3=(x-1),即y=.令y=0,得x=13.
答案:B
5. 思路解析:由两点间距离公式得|AB|=,解之,可得a=-1或.
答案:-1或
6.
思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前,判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边,主要是利用平面上两点间的距离公式.
由两点间的距离公式可得|AB|=.
同理可得|AC|=,|BC|=.
所以|AB|=|AC|.
又AB2+AC2=BC2=26,所以△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角
7.
答案: 思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2,1).
由两点间的距离公式,有|CM|=.
∴AB边上的中线CM的长为.
答案:
9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题,可以通过坐标法来证,这就需要根据图形的特征建立直角坐标系,得出相关点的坐标,通过两点间距离公式证明相等.
解:以B为原点,AC所在直线为x轴建立直角坐标系,设等边△ABD和△BCE的边长分别为2a和2b,于是可得相关各点坐标:B(0,0),A(-2a,0),C(2b,0),D(-a,),E(b,),由两点间的距离公式,则|AE|=,
|CD|=,所以|AE|=|CD|
10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.
思路解析:根据题意,可将问题用数学表达式写出:已知在等腰梯形ABCD中,CD∥AB.
求证:对角线AC=BD.
所以考虑建立适当的直角坐标系,得出相关点的坐标,利用两点间距离公式证明.
解:设等腰梯形ABCD中,AB∥CD,并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和c,建立如图所示直角坐标系,以下底AB中点O为坐标原点,以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系,在等腰梯形ABCD中,CD∥AB.
可设A(-a,0),B(a,0),D(-b,c),C(b,c),
则由两点间距离公式得|AC|=,
|BD|=,∴|AC|=|BD|,即等腰梯形两对角线长相等.
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