上海市进才中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 16页

www.ks5u.com 进才中学高一月考数学卷 一、填空题 ‎1.设集合是单元素集合，则实数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得知，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】由题意可知，方程有且只有一个实根，则，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用集合元素的个数求参数的值，考查二次方程根的个数问题，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.若、是一元二次函数的两个实数根，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用韦达定理得出、的值，然后将代数式通分代值计算即可.‎ ‎【详解】由韦达定理可得，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.满足的集合的个数是______个.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把符合条件的集合列举出来，即可得出符合条件的集合的个数.‎ ‎【详解】由题意可知，满足的集合有：、、、，共 个.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查符合条件的集合个数的求解，一般将符合条件集合列举出来即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎4.用列举法表示方程组的解集______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出方程组，然后利用列举法表示该解集，注意集合中的元素为点的坐标.‎ ‎【详解】解出方程组，得，‎ 因此，方程组的解集为.‎ 故答案为；.‎ ‎【点睛】本题考查二元方程组的解集的求解，在求出方程组的解之后，表示解集时需注意解集中的元素应表示为有序实数对，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知命题，命题，则命题“或”为真的运算结果为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程，将、中取值或取值范围合并可得出命题“或”为真的运算结果.‎ ‎【详解】解方程，得或，‎ 因此，命题“或”为真的运算结果为或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，解题时要结合复合命题的真假得出简单命题的真假，从而得出参数的取值范围，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况和，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】关于的不等式的解集为.‎ 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；‎ 当时，则有，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式在实数集上恒成立问题，一般要对首项系数的符号和判别式的符号进行讨论，由此列出不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.若集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，然后利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知集合，，则______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将集合表示为，并进行化简，再利用补集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查补集运算，解题的关键就是弄清楚题中集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.设关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出为关于的根，且，然后将分式不等式化为，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】由于关于的不等式的解集是，则为关于的根，且 ‎，‎ ‎，得，不等式即为，即，‎ 解该不等式得或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查不等式与解集之间的关系，同时也考查了分式不等式的求解，解题的关键就是确定两参数的等量关系，并确定出参数的符号，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.、、为三个人，命题：“如果的年龄不是最大，那么的年龄最小”和命题：“如果的年龄不是最小，那么的年龄最大”都是真命题，则、、的年龄由小到大依次为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若命题为真命题，可得出或，若命题为真命题，可得出或，进而得出结论.‎ ‎【详解】若命题：“如果的年龄不是最大，那么的年龄最小”是真命题，则是最小，不是最大，即最大，或不是最小，最大，最小，即或；‎ 若命题：“如果的年龄不是最小，那么的年龄最大”是真命题，则不是最小，最大，最小，或不是最大，最小，最大，即或.‎ 若两个命题均为真命题，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假性的判断与应用，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题的真假性相同，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎11.是有理数集，集合，在下列集合中：‎ ‎①；②；③；④.‎ 与集合相等的集合序号是______.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.‎ ‎【详解】对于①中的集合，，设，，，‎ 则，则，①中的集合与集合相等；‎ 对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零.‎ 则，其中，，②中的集合与集合相等；‎ 对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等；‎ 对于④中的集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等.‎ 因此，集合相等的集合序号是①②④.‎ 故答案为：①②④.‎ ‎【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.设集合，若非空集合同时满足①，②（其中表示中元素的个数，表示集合中最小元素），称集合为的一个好子集，的所有好子集的个数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对的取值为、、、、进行分类讨论，列举出在在对应取值下集合，由此得出符合条件的集合的个数.‎ ‎【详解】由题意可知，的取值为、、、、.‎ ‎（1）当时，，则；‎ ‎（2）当时，，则符合条件的集合有：、、、，共个；‎ ‎（3）当时，，则符合条件的集合有：、、、，共个；‎ ‎（4）当时，，则符合条件的集合有：、，共个；‎ ‎（5）当时，，则符合条件的集合为.‎ 综上所述，的所有好子集的个数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 二、选择题 ‎13.已知集合若则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 集合，，则，故选D.‎ ‎14.已知实数、、满足，那么“”是“”成立的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得出，由可知，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系.‎ ‎【详解】，若，则必有，由，可得出，则；‎ 另一方面，若，且，则，事实上，若，则.‎ 则.‎ 因此，“”是“”成立的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎15.以下结论错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 命题“”是“”的充分条件 C. 命题“若，则有实根”的逆命题为真命题 D. 命题“，则或”的否命题是“，则且”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逆否命题、否命题与原命题之间的关系可判断A、D选项的正误；解方程，可得出B选项的正误；写出命题“若，则有实根”的逆命题，再判断出其逆命题的正误，可判断C选项的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，命题“若，则”逆否命题为“若，则”，A选项中的结论正确；‎ 对于B选项，解方程，得或，所以，“”是“”的充分条件，B选项中的结论正确；‎ 对于C选项，命题“若，则有实根”的逆命题为“若方程有实根，则”，由，得，逆命题为假命题，C选项中的结论错误；‎ 对于D选项，命题“，则或”的否命题是“，则且”，D选项中的结论正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查四种命题以及充分条件的判断，要熟悉命题之间的关系，以及真假性之间的关系，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎16.已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.‎ ‎【详解】（1）若，.‎ ‎①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；‎ ‎②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；‎ ‎（2）同理可知，当，时，，不一定为；‎ ‎（3）若，.‎ ‎①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；‎ ‎②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则 ‎，此时，；‎ ‎（4）同理，当，时，.‎ 综上所述，“”是“”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17.解不等式：.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出不等式和，然后将两个解集取交集即可得出原不等式的解集.‎ ‎【详解】解不等式，得或.‎ 解不等式，即，解得.‎ 因此，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18.设，试比较与的大小关系.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，再利用不等式的性质可得出与的大小关系.‎ ‎【详解】，‎ ‎，且，‎ ‎，因此，，即.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式的性质比较代数式的大小，常用的比较大小方法有：作差法、作商法、不等式的性质、函数单调性法、中间值法以及图象法等，可以结合代数式的结构选择合适的方法来比较大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.设函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若解集为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入不等式，得出，然后分、、三种情况来解不等式，即可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）解出不等式得出，由题意得出，然后列出方程组求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）当时，由，得，即.‎ 当时，则有，解得，此时，；‎ 当时，则有，该不等式不成立；‎ 当时，则有，解得，此时，.‎ 综上所述，当时，不等式的解集为；‎ ‎（2）解不等式，即，即，解得.‎ 由题意可得，所以，，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用绝对值不等式的解集求参数，对于绝对值不等式的求法，一般利用零点分段法与绝对值的几何意义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.已知集合，集合.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得出，然后对与大小分三种情况讨论，结合条件列关于的不等式组，即可求出实数的取值范围；‎ ‎（2）然后对与的大小分三种情况讨论，结合条件，列出关于的不等式，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1），.‎ 当时，成立；‎ 当时，，则，由，得，解得，此时，；‎ 当时，，则，由，得，解得，此时，.‎ 综上所述，实数的取值范围是；‎ ‎（2）当时，，此时，，舍去；‎ 当时，，此时，，由，得；‎ 当时，，此时，，由，得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用集合包含关系、集合运算的结果求参数，解题时要对参数的符号进行分类讨论，并求出相应的集合，结合数轴来得出不等关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎21.已知数集具有性质：对任意的、，与两数中至少有一个属于.‎ ‎（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；‎ ‎（2）证明：且；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由详见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由定义直接判断集合和是否具有性质；‎ ‎（2）由已知得和中至少有一个属于，从而得到，再由，得到，由具有性质可知，由此能证明；‎ ‎（3）当时，，从而，，由此能证明.‎ ‎【详解】（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质.‎ 由于、、、、、、、、、都属于数集，所以，数集具有性质；‎ ‎（2）数集具有性质，‎ 所以，和中至少有一个属于，，所以，则，从而，故.‎ ‎，所以，，故.‎ 因为，数集具有性质可知，.‎ 又因为，，，，，.‎ 所以，.‎ 因此，；‎ ‎（3）由（2）知，，，即，‎ 因为，所以，，则，由于数集具有性质，.‎ 由，可得，且，所以，，‎ 故，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查集合中的新定义，考查等式的证明，考查了运算求解能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想的应用，能较好地考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于难题.‎ ‎ ‎