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- 2021-06-16 发布
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M 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
11.M1[2012·陕西卷] 观察下列不等式
1+<,
1++<,
1+++<,
……
照此规律,第五个不等式为______________.
11.1+++++<
[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力,解题的关键是对给出的几个事例分析,找出规律,推出所要的结果.从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左边为:1+++++,对几个不等式右边分析,其分母依次为:2,3,4,所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为: 3,5,7,所以第5个式子的分子应为11,所以第5个式子应为:1+++++<.
13.M1[2012·湖北卷] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则
(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.
13.(1)90 (2)9×10n [解析] 由题意,1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等,均为9×10n个.
16.M1[2012·湖南卷] 设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换.将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到P2;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段作C变换,得到Pi+1.例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第________个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第________个位置.
16.(1)6 (2) 3×2n-4+11 [解析] 考查合情推理,以新定义题型为载体,依据排列,考查考生的逻辑推理能力,要求学生的想象能力相当出色.
(1)由已知可得P1=x1x3x5x7x9x11x13x15…,P2=x1x5x9x13x3x7x11x15…,故x7位于P2中的第6个位置;
(2)当i=1时,P1的排列中x173的位置是=87位;
当i=2时,P2的排列中x173的位置是=44位;
当i=3时,P3的排列中x173的位置是+=2n-3+22位;
当i=4时,P4的排列中x173的位置是2n-3+=2n-3+2n-4+11=3×2n-4+11位.
6.M1[2012·江西卷] 观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28 B.76 C.123 D.199
6.C [解析] 考查归纳推理,以及观察能力;解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系.由于a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,故选C.
M2 直接证明与间接证明
23.M2、D1[2012·上海卷] 对于数集X={-1,x1,x2,…,xn},其中0<x1<x2<…<xn,n≥2,定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X},若对任意a1∈Y,存在a2∈Y,使得a1·a2=0,则称X具有性质P,例如{-1,1,2}具有性质P.
(1)若x>2,且{-1,1,2,x}具有性质P,求x的值;
(2)若X具有性质P,求证:1∈X,且当xn>1时,x1=1;
(3)若X具有性质P,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,…,xn的通项公式.
23.解:(1)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b),
所以x=2b,从而x=4.
(2)证明:取a1=(x1,x1)∈Y,设a2=(s,t)∈Y,满足a1·a2=0.
由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一个为-1,另一个为1,故1∈X.
假设xk=1,其中1<k<n,则0<x1<1<xn.
选取a1=(x1,xn)∈Y,并设a2=(s,t)∈Y满足a1·a2=0,即sx1+txn=0,
则s,t异号,从而s,t之中恰有一个为-1.
若s=-1,则x1=txn>t>x1,矛盾;
若t=-1,则xn=sx1<s≤xn,矛盾.
所以x1=1.
(3)设a1=(s1,t1),a2=(s2,t2),则a1·a2=0等价于=-,
记B=,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.
注意到-1是X中的唯一负数,B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-xn}共有n-1个数,所以B∩(0,+∞)也只有n-1个数.
由于<<…<<,已有n-1个数,对以下三角数阵
<<…<<,
<<…<,
…
.
注意到>>…>,所以==…=,从而数列的通项为xk=x1k-1=qk-1,k=1,2,…,n.
19.D2、D3、M2[2012·湖南卷] 已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
19.解:(1)对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列,所以B(n)-A(n)=C(n)-B(n),即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4.
故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列.
于是an=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)①必要性:若数列{an}是公比为q的等比数列,则对任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是
===q,
===q,
即==q.所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
②充分性:若对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则
B(n)=qA(n),C(n)=qB(n).
于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得an+2-a2=q(an+1-a1),即an+2-qan+1=a2-qa1.
由n=1有B(1)=qA(1),即a2=qa1,
从而an+2-qan+1=0.
因为an>0,所以==q.
故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列.
综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
22.B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0g(1)=0,从而f′(a2)=ng(a2)>0,进而f(a2)是(0,1)上的增函数,因此f(a2)<f(1)=n-2,所要证的不等式成立.
当a2>1时,令b=,则0<b<1,由已知的结论知
<,
两边同时乘以a得所要证的不等式.
综上,当a2>-1且a2≠0时,有Sn≤(a1+an),当且仅当n=1,2或a2=1时等号成立.
22.B12、M3、M2[2012·湖北卷] (1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且00,
即xk+1
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