高考数学常见题型解法归纳反馈训练第78讲直线与圆锥曲线交点个数问题解法 5页

第 78 讲 直线与圆锥曲线交点个数问题解法 【知识要点】 直线与圆锥曲线的交点的个数问题的处理方法一般有两种： 方法一：判别式法 把直线和圆锥曲线的方程联立，消去 y，得到方程 ，对 a 是否为零分 类讨论，利用判别式得到参数的取值范围. 方法二：数形结合法 先画出直线和圆锥曲线，再利用数形结合分析解答. 【方法讲评】 方法一 判别式法 解题步骤 （1）把直线和圆锥曲线的方程联立，消去 y，得到方程 ；（2）对 是 否为零分类讨论，利用判别式得到参数的取值范围. 【例 1】已知双曲线 （1）求直线 L 的斜率的取值范围，使 L 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. （2）若 Q(1,1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存 在，请说明理由. 当 时 由 得 ，直线与双曲线有两个交点； 由 得 ，直线与双曲线只有一个交点； 由 得 或 ，直线与双曲线没有交点. 综上知 ： 时，直线 与曲线 有两个交点， 时，直线 与曲线 切于一点， 时，直线 与曲线 交于一点. 或 直线 与曲线 C 没有公共点. 【点评】（1）本题就是利用判别式法讨论直线与双曲线的交点个数问题. （2）把直线 和圆锥曲线的方程联立，消去 y，得到方程 ，一定要关注 是否为零，不能 直接利用判别式讨论. 因为 a=0 时，方程 不是一元二次方程，没有判别式. 【反馈检测 1】求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点. 方法二 数形结合法 解题步骤 先画出直线和圆锥曲线，再利用数形结合分析解答. 【例 2】已知双曲线 ，若过其右焦点 F 作倾斜角为 45°的直 线 l 与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（ ） A． B． C．[2，+ ） D．（1，2） 【点评】(1)本题就是利用数形结合分析得到 k<1，从而得到离心率的取值范围. (2)对 于直线与双曲线的交点个数问题，一般利用渐近线作为研究的参照. （3）本题最后不要忽 略了离心率 e 的范围 e>1，一定要把求出的离心率 e 的范围和 e>1 求交集. 【反馈检测 2】若直线 与曲线 恰有两个不同的交点，则 的取值所构成的集合为____． 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 78 讲： 直线与圆锥曲线交点个数问题解法参考答案 【反馈检测 1 答案】 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】曲线 对应的函数图象如图所示． 当直线 与半圆相切时， 满足题意；当直线 过（±1，0）时， k=±2 满足题意；|x|＞1 时， 为双曲线在 x 轴上方的部分，其渐近线为 y=±x．故 当直线 y=kx+2 与渐近线平行时，k=±1，∴-1＜k＜1 时，直线与双曲线有两个不同的交点， ∴k∈{k|−1＜k＜1，或 k＝± ，或 k＝±2}．故答案为：{k|−1＜k＜1，或 k＝± ， 或 k＝±2}．