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- 2021-06-16 发布
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§3.5 对数与对数函数
高考数学
考点 对数与对数函数
1.对数的概念
(1)对数的定义
如果ax=N(a>0且a≠1),那么指数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a
叫做对数的底数,N 叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN
常用对数 底数为10 lg N
自然对数 底数为e ln N
考点清单
a. =① N (a>0且a≠1,N>0);
b.logaaN=② N (a>0且a≠1).
(2)对数的重要公式
a.换底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1,N>0);
b.logab= ,推广:logab·logbc·logcd=loga
d(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);
c.lo Mn= logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
a.loga(MN)=③ logaM+logaN ;b.loga =logaM-logaN;
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
c.logaMn=④ nlogaM (n∈R).
3.对数函数的图象与性质
a>1 01时,y>0;
当01时,y<0;
当00
是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它
们的图象关于直线y=x对称.其图象关系如图所示.
考法一 对数式大小的比较方法
知能拓展
例1 (1)已知a= ,b=lo ,c=log3 ,则 ( )
A.b>c>a B.a>b>c C.c>b>a D.b>a>c
(2)设 m>p B.m>p>n
C.p>n>m D.n>p>m
解析 (1)∵a= ,b=lo ,c=log3 ,∴0lo =1,c=
log3 a>c.故选D.
(2)因为 0, -(1-a)= =
>0,所以a+1> >1-a,又 0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象
大致是 ( )
(2)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,则a的取值范围
是 ( )
A. ≤a≤ 或a>1 B.a>1
C. ≤a< D. ≤a≤ 或a>1
(3)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实
数a的取值范围为 .
解题导引
(1)
(2)
(3)
解析 (1)因为函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},所以a>1,故y=loga|x|
为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故函数y=loga|x|的大致图象如选项B所示.
故选B.
(2)令y=g(x)=|ax2-x|,由题意知g(x)≠0,作出其图象如下:
函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,
若a>1,则y=logax在(0,+∞)上单调递增,0< <1,由g(x)的图象可知g(x)在[3,4)
上递增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上单调递增,故a>1时成立;若01.
(3)当a>1时, f(x)=loga(8-
ax)在[1,2]上是减函数,由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,
所以f(x)min=loga(8-2a)>1,故8-2a>a,即11在[1,2]上恒成立,
所以f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故这样的a不存在.
综上可知,实数a的取值范围是 .答案 (1)B (2)A (3)
方法总结 1.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在
求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.
2.研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数
u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga f(x)的单调性(最值)(其中a>
0,且a≠1).
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