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- 2021-06-16 发布
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2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.
1.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足,则=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( )
A.6里 B.12里 C.24里 D.48里
3.(5分)关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )
A.(4,5) B.(﹣3,﹣2)∪(4,5) C.(4,5] D.[﹣3,﹣2)∪(4,5]
4.(5分)已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形,则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( )
A. B. C.1 D.2
6.(5分)m,n,l为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A.m⊥l,n⊥l,则m∥n B.α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β
C.m∥α,n∥α,则m∥n D.α∥γ,β∥γ,则α∥β
7.(5分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分,回答如下:甲说:是我考满分;乙说:丙不是满分;丙说:乙说的是真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么满分的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定
8.(5分)已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为( )
A. B. C. D.
9.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( )
A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x=
10.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
11.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A. B. C.0≤a<1 D.a≥1
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 .
14.(5分)已知向量满足,且,则的夹角是 .
15.(5分)已知tanα=2,则的值等于 .
16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn,若an+1+(﹣1)nan=n,则S40= .
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(12分)已知向量(x∈R),设函数f(x)=﹣1.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC.
18.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=2,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
21.(12分)已知f(x)=ln(a+x)﹣x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:当时,.
请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=,l与C交于A,B两点,求|AB|的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+3|.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,求实数a的取值范围.
2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.
1.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足,则=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
【解答】解:由,得,
则,
故选:B.
2.(5分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔仔细算相还”.其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为( )
A.6里 B.12里 C.24里 D.48里
【解答】解:记每天走的路程里数为{an},
由题意知{an}是公比的等比数列,
由S6=378,得=378,
解得:a1=192,
∴=12(里).
故选:B.
3.(5分)关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a<
0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是( )
A.(4,5) B.(﹣3,﹣2)∪(4,5) C.(4,5] D.[﹣3,﹣2)∪(4,5]
【解答】解:∵关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a<0,
∴不等式可能为(x﹣1)(x﹣a)<0,
当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,
则4<a≤5,
当a<1时,得a<x<1,
则﹣3≤a<﹣2,
故a的取值范围是[﹣3,﹣2)∪(4,5].
故选:D.
4.(5分)已知等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx,则a4+a6+a8=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:等差数列{an}中,a5+a7=sinxdx=(﹣cosx)|=﹣(﹣1﹣1)=2,
可得a4+a8=2a6=a5+a7=2,
则a4+a6+a8=3,
故选:A.
5.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形,则该多面体的各条棱中最长棱的长度为( )
A. B. C.1 D.2
【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD,
其中底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,
且PA=AB=1,
∴几何体的最长棱为PC==.
故选:B.
6.(5分)m,n,l为不重合的直线,α,β,γ为不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A.m⊥l,n⊥l,则m∥n B.α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β
C.m∥α,n∥α,则m∥n D.α∥γ,β∥γ,则α∥β
【解答】解:由m⊥l,n⊥l,在同一个平面可得m∥n,在空间不成立,故错误;
若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行与可能相交,故错误;
m∥α,n∥α,则m、n可能平行、相交或异面,故错误;
α∥γ,β∥γ,利用平面与平面平行的性质与判定,可得α∥β,正确.
故选:D.
7.(5分)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分,回答如下:甲说:是我考满分;乙说:丙不是满分;丙说:乙说的是真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么满分的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定
【解答】解:如果甲说的是真话,则乙丙都是真话,与在这三名同学中,只有一人说的是假话,相矛盾,
如果甲说的是假话,乙丙说的是真话,那乙就是满分,
故选:B
8.(5分)已知正实数x,y满足2x+y=1,则xy的最大值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵正实数x,y满足2x+y=1,
则1,化为:xy≤,当且仅当2x=y=时取等号.
∴xy的最大值为.
故选:A.
9.(5分)函数g(x)的图象是函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的,则函数g(x)的图象的对称轴可以为( )
A.直线x= B.直线x= C.直线x= D.直线x=
【解答】解:∵f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),
∴向右平移个单位而得到g(x)=2sin[2(x﹣)﹣]=﹣2cos2x,
∴令2x=kπ,k∈Z,可解得x=,k∈Z,k=1时,可得x=,
故选:C.
10.(5分)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,则曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【解答】解:∵当x>0时,f(x)=(2x﹣1)lnx,∴f′(x)=2lnx+2﹣,
∴f′(1)=1
∵函数f(x)是偶函数,
∴f′(﹣1)=﹣1,
∴曲线y=f(x)在点(﹣1,f(﹣1))处的切线斜率为﹣1,
故选:B.
11.(5分)已知,是单位向量,,若向量满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【解答】解:令,,,
如图所示:则,
又,所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上,
易知点C与O、D共线时达到最值,最大值为+1,最小值为﹣1,
所以的取值范围为[﹣1,+1].
故选A.
12.(5分)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A. B. C.0≤a<1 D.a≥1
【解答】解:∵函数,
若f(f(a))=2f(a),
则f(a)≥1,
当a<1时,由3a﹣1≥1得:≤a<1,
当a≥1时,2a≥1恒成立,
综上可得:,
故选:A.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣4 .
【解答】解:作表示的平面区域如下,
z=x﹣2y可化为y=﹣,
故当过点(0,2)时,﹣有最大值,z=x﹣2y有最小值﹣4;
故答案为:﹣4.
14.(5分)已知向量满足,且,则的夹角是
.
【解答】解:向量满足,且,
可得﹣=﹣6,
﹣4=﹣6,
可得cos=﹣.
则的夹角是:.
故答案为:.
15.(5分)已知tanα=2,则的值等于 .
【解答】解:=cos(2α++π)=﹣sin(2α)=﹣cos2α
而cos2α=且tanα=2
则原式=﹣2cos2α===
故答案为:
16.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn,若an+1+(﹣1)nan=n,则S40= 420 .
【解答】解:由an+1+(﹣1)nan=n,
∴当n=2k时,有a2k+1+a2k=2k,①
当n=2k﹣1时,有a2k﹣a2k﹣1=2k﹣1,②
当n=2k+1时,有a2k+2﹣a2k+1=2k+1,③
①﹣②得:a2k+1+a2k﹣1=1,
①+③得:a2k+2+a2k=4k+1,
∴a2k﹣1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2.
∴S40=4(1+3+…+19)+20=+20=420.
故答案为:420.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(12分)已知向量(x∈R),设函数f(x)=﹣1.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若f(A)=2,B=,边AB=3,求边BC.
【解答】解:由已知得到函数f(x)=﹣1=2cos2x+2sinxcosx﹣1
=cos2x+sin2x
=2cos(2x﹣);
所以(1)函数f(x)的单调增区间是(2x﹣)∈[2kπ﹣π,2kπ],即x∈[kπ﹣,kπ+],k∈Z;
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,f(A)=2,则2cos(2A﹣)=2,所以A=,又B=,边AB=3,
所以由正弦定理得,即,解得BC=.
18.(12分)已知等差数列{an}的公差d≠0,它的前n项和为Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
【解答】解:(1)由题意得
解得,
∴an=4n+2;
(2),
∴,
∴.
19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
【解答】(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,
∴PC⊥DC,
∵DC⊥AC,PC∩AC=C,
∴DC⊥平面PAC;
(2)证明:∵AB∥DC,DC⊥AC,
∴AB⊥AC,
∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PC⊥AB,
∵PC∩AC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAC;
(3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.
∵点E为AB的中点,
∴EF∥PA,
∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,
∴PA∥平面CEF.
20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=2,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1﹣2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解答】(1)证明:由已知得a1+a2=4a1+2,解得a2=8,b1=a2﹣2a1=4.
又有an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣(4an+2)=4an+1﹣4an,
所以an+2﹣2an+1=2(an+1﹣2an),即bn+1=2bn,
因此数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)得等比数列{bn}中b1=4,q=2,
所以,,
因此数列是首项为1,公差为1的等差数列,,
21.(12分)已知f(x)=ln(a+x)﹣x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,恒成立,求a的取值范围;
(3)求证:当时,.
【解答】解:(1)∵f′(x)=﹣1=,
令f′(x)=0,解得:x=1﹣a,
∴x∈(﹣a,1﹣a)时,f′(x)>0,x∈(1﹣a,+∞)时,f′(x)<0,
∴f(x)在(﹣a,1﹣a)递增,在(1﹣a,+∞)递减;
(2)令g(x)=f(x)+=ln(x+a)+﹣x=ln(x+a)﹣>0,
故x+a>,即a>﹣x恒成立,
令t=∈(0,1),则a>et+恒成立,
令φ(t)=et+,则φ′(t)=﹣,
下面证明φ′(t)<0,
∵e﹣t>﹣t+1,且t∈(0,1)时,(t﹣1)2﹣(﹣t+1)=t2﹣t<0,
∴e﹣t>﹣t+1>(t﹣1)2>0,
∴φ′(t)=et﹣<0,∴φ(t)递减,
∴a≥φ(0)=1,即a的范围是[1,+∞);
(3)由(2)可知:a=1,x>0时,ln(x+1)>,
当x∈(0,)时,令m(x)=x﹣sinx,则m′(x)=1﹣cosx>0,
∴m(x)递增,∴m(x)>0,即x>sinx>0,
又n(x)=在(0,+∞)递增,
故>,
故.
请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=
,l与C交于A,B两点,求|AB|的值.
【解答】解:(1)圆C的参数方程为(α为参数),普通方程为x2+(y+6)2=25,
极坐标方程为ρ2+12ρsinθ+11=0;
(2)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=﹣12sinα0,ρ1ρ2=11
∵tanα0=,∴sin2α0=,∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==6.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+3|.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)由已知得|x﹣2|﹣|x+3|≤3,
当x≤﹣3时2﹣x+x+3≤3解集为空集;
当﹣3<x<2时2﹣x﹣(x+3)≤3解得﹣2<x<2;
当x≥2时x﹣2﹣(x+3)≤3解得x≥2;
故所求不等式的解集为[﹣2,+∞).
(2)因为|f(x)|=||x﹣2|﹣|x+3||≤|x﹣2﹣x﹣3|=5,
所以﹣5≤f(x)≤5,即f(x)的最小值为﹣5,
要不等式f(x)<a2﹣6a解集非空,需f(x)min<a2﹣6a,
从而a2﹣6a+5>0,解得a<1或a>5,
所以a的取值范围为(﹣∞,1)∪(5,+∞).