高考数学专题复习课件：2-8 函数与方程 43页

§2.8 　函数与方程 [ 考纲要求 ] 　 1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 .2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 1 ． 函数的零点 (1) 函数零点的定义 对于函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) ，把使 _______ 的实数 x 叫做函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) 的零点． (2) 几个等价关系 方程 f ( x ) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 ____ 有交点 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 有 _______ ． f ( x ) ＝ 0 x 轴 零点 (3) 函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ___________ ，那么，函数 y ＝ f ( x ) 在区间 _______ 内有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) ，使得 ________ ，这个 ___ 也就是方程 f ( x ) ＝ 0 的根． f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ( a ， b ) f ( c ) ＝ 0 c 2 ． 二分法定义 对于在区间 [ a ， b ] 上连续不断且 ___________ 的函数 y ＝ f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 ________ ，使区间的两个端点逐步逼近 ______ ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f ( a )· f ( b ) ＜ 0 一分为二 零点 3 ． 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＞ 0) 的图象与零点的关系 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点． ( 　　 ) (2) 函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有零点 ( 函数图象连续不断 ) ，则 f ( a )· f ( b ) ＜ 0.( 　　 ) (3) 只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． ( 　　 ) (4) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 在 b 2 － 4 ac ＜ 0 时没有零点． ( 　　 ) (5) 若函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调且 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，则函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有且只有一个零点． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 1 ． ( 教材改编 ) 函数 f ( x ) ＝ e x ＋ 3 x 的零点个数是 ( 　　 ) A ． 0 　　　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【 答案 】 B 2 ． (2015· 安徽 ) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( 　　 ) A ． y ＝ cos x B ． y ＝ sin x C ． y ＝ ln x D ． y ＝ x 2 ＋ 1 【 解析 】 由于 y ＝ sin x 是奇函数； y ＝ ln x 是非奇非偶函数； y ＝ x 2 ＋ 1 是偶函数但没有零点；只有 y ＝ cos x 是偶函数又有零点． 【 答案 】 A 3 ． (2017· 河南新野第三高级中学周考 ) 函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 2 x － 1 的零点所在的大致区间是 ( 　　 ) A ． (0 ， 1) B ． (1 ， 2) C ． (2 ， 3) D ． (3 ， 4) 【 解析 】 因为 f (0) ＝－ 1 ＜ 0 ， f (1) ＝ 2 ＞ 0 ，则 f (0)· f (1) ＝－ 2 ＜ 0 ，且函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 2 x － 1 的图象是连续曲线，所以 f ( x ) 在区间 (0 ， 1) 内有零点． 【 答案 】 A 【 答案 】 A 5 ．函数 f ( x ) ＝ ax ＋ 1 － 2 a 在区间 ( － 1 ， 1) 上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 【 答案 】 C 【 答案 】 3 【 答案 】 D 【 方法规律 】 (1) 确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法． (2) 判断函数零点个数的方法： ① 解方程法； ② 零点存在性定理、结合函数的性质； ③ 数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数． 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 题型二　函数零点的应用 【 例 4 】 若关于 x 的方程 2 2 x ＋ 2 x a ＋ a ＋ 1 ＝ 0 有实根，求实数 a 的取值范围． 【 解析 】 方法一 ( 换元法 ) 设 t ＝ 2 x ( t ＞ 0) ，则原方程可变为 t 2 ＋ at ＋ a ＋ 1 ＝ 0 ， (*) 原方程有实根，即方程 (*) 有正根． 令 f ( t ) ＝ t 2 ＋ at ＋ a ＋ 1. 【 方法规律 】 对于 “ a ＝ f ( x ) 有解 ” 型问题，可以通过求函数 y ＝ f ( x ) 的值域来解决，解的个数可化为函数 y ＝ f ( x ) 的图象和直线 y ＝ a 交点的个数． (2) 画出函数 f ( x ) 的图象如图所示， 观察图象可知，若方程 f ( x ) － a ＝ 0 有三个不同的实数根，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 y ＝ a 有 3 个不同的交点，此时需满足 0 ＜ a ＜ 1 ，故选 D. 【 答案 】 (1)C 　 (2)D 题型三　二次函数的零点问题 【 例 5 】 (2017· 烟台模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ 2 ， a ∈ R. (1) 若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 [1 ， 2] ，求不等式 f ( x ) ≥ 1 － x 2 的解集； (2) 若函数 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ x 2 ＋ 1 在区间 (1 ， 2) 上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围． 【 方法规律 】 解决与二次函数有关的零点问题： (1) 可利用一元二次方程的求根公式； (2) 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3) 利用二次函数的图象列不等式组． 【 答案 】 C 易错警示系列 3 忽视定义域导致零点个数错误 【 典例 】 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足：当 x ＞ 0 时， f ( x ) ＝ 2 016 x ＋ log 2 016 x ，则在 R 上函数 f ( x ) 的零点个数为 ________ ． 【 易错分析 】 得出当 x ＞ 0 时的零点个数后，容易忽略条件：定义在 R 上的奇函数，导致漏掉 x ＜ 0 时和 x ＝ 0 时的情况． 【 答案 】 3 【 温馨提醒 】 (1) 讨论 x ＞ 0 时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定． (2) 函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视 . ► 方法与技巧 1 ．函数零点的判定常用的方法有 (1) 零点存在性定理． (2) 数形结合：函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点，就是函数 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ g ( x ) 图象交点的横坐标． (3) 解方程． 2 ．二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式 ( 组 ) ． 3 ．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． ► 失误与防范 1 ．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象． 2 ．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确 .