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- 2021-06-16 发布
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§
7.2
一元二次不等式及其解法
[
考纲要求
]
1.
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;
2.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系;
3.
会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
1
.
“
三个二次
”
之间的关系
2.
常用结论
(
x
-
a
)(
x
-
b
)>0
或
(
x
-
a
)(
x
-
b
)<0
型不等式的解法
口诀:大于取两边,小于取中间.
【
思考辨析
】
判断下面结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“
×”
)
(1)
若不等式
ax
2
+
bx
+
c
<
0
的解集为
(
x
1
,
x
2
)
,则必有
a
>
0.(
)
(3)
若不等式
ax
2
+
bx
+
c
>
0
的解集是
(
-
∞
,
x
1
)
∪
(
x
2
,+
∞
)
,则方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
的两个根是
x
1
和
x
2
.(
)
(4)
若方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠
0)
没有实数根,则不等式
ax
2
+
bx
+
c
>
0
的解集为
R.(
)
(5)
不等式
ax
2
+
bx
+
c
≤
0
在
R
上恒成立的条件是
a
<
0
且
Δ
=
b
2
-
4
ac
≤
0.(
)
【
答案
】
(1)
√
(2)
×
(3)
√
(4)
×
(5)
×
1
.
(
教材改编
)
不等式
x
2
-
3
x
-
10
>
0
的解集是
(
)
A
.
(
-
2
,
5)
B
.
(5
,+
∞
)
C
.
(
-
∞
,-
2) D
.
(
-
∞
,-
2)
∪
(5
,+
∞
)
【
解析
】
解方程
x
2
-
3
x
-
10
=
0
得
x
1
=-
2
,
x
2
=
5
,
由
y
=
x
2
-
3
x
-
10
的开口向上,所以
x
2
-
3
x
-
10
>
0
的解集为
(
-
∞
,-
2)
∪
(5
,+
∞
)
.
【
答案
】
D
2
.设集合
M
=
{
x
|
x
2
-
3
x
-
4
<
0}
,
N
=
{
x
|0
≤
x
≤
5}
,则
M
∩
N
等于
(
)
A
.
(0
,
4] B
.
[0
,
4)
C
.
[
-
1
,
0) D
.
(
-
1
,
0]
【
解析
】
∵
M
=
{
x
|
x
2
-
3
x
-
4
<
0}
=
{
x
|
-
1
<
x
<
4}
,
∴
M
∩
N
=
[0
,
4)
.
【
答案
】
B
【
答案
】
A
4
.
(
教材改编
)
若关于
x
的不等式
m
(
x
-
1)
>
x
2
-
x
的解集为
{
x
|1
<
x
<
2}
,则实数
m
的值为
________
.
【
解析
】
因为
m
(
x
-
1)
>
x
2
-
x
的解集为
{
x
|1
<
x
<
2}
.
所以
1
,
2
一定是
m
(
x
-
1)
=
x
2
-
x
的解,
∴
m
=
2.
【
答案
】
2
5
.
(
教材改编
)
若关于
x
的方程
x
2
+
ax
+
a
2
-
1
=
0
有一正根和一负根,则
a
的取值范围为
________
.
【
解析
】
由题意可知,
Δ
>
0
且
x
1
x
2
=
a
2
-
1
<
0
,
故-
1
<
a
<
1.
【
答案
】
(
-
1
,
1)
题型一 一元二次不等式的求解
命题点
1
不含参的不等式
【
例
1】
求不等式-
2
x
2
+
x
+
3
<
0
的解集.
命题点
2
含参不等式
【
例
2
】
(2016·
青岛模拟
)
求不等式
12
x
2
-
ax
>
a
2
(
a
∈
R)
的解集.
【
引申探究
】
将原不等式改为
ax
2
-
(
a
+
1)
x
+
1
<
0
,求不等式的解集.
【
方法规律
】
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
(1)
若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;
(2)
若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)
对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
跟踪训练
1
(2016·
河北唐山一模
)
已知不等式
ax
2
-
3
x
+
6
>
4
的解集为
{
x
|
x
<
1
或
x
>
b
}
.
(1)
求
a
,
b
;
(2)
解不等式
ax
2
-
(
ac
+
b
)
x
+
bc
<
0.
【
解析
】
(1)
因为不等式
ax
2
-
3
x
+
6
>
4
的解集为
{
x
|
x
<
1
或
x
>
b
}
,所以
x
1
=
1
与
x
2
=
b
是方程
ax
2
-
3
x
+
2
=
0
的两个实数根,且
b
>
1.
由根与系数的关系,得
综上所述,当
c
>
2
时,不等式
ax
2
-
(
ac
+
b
)
x
+
bc
<
0
的解集为
{
x
|2
<
x
<
c
}
;
当
c
<
2
时,不等式
ax
2
-
(
ac
+
b
)
x
+
bc
<
0
的解集为
{
x
|
c
<
x
<
2}
;
当
c
=
2
时,不等式
ax
2
-
(
ac
+
b
)
x
+
bc
<
0
的解集为
∅
.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点
1
在
R
上恒成立
【
例
3
】
(1)
(2016·
江西南昌二中第三次考试
)
若不等式
(
a
-
3)
x
2
+
2(
a
-
3)
x
-
4
<
0
对一切
x
∈
R
恒成立,则实数
a
取值的集合为
(
)
A
.
(
-
∞
,
3)
B
.
(
-
1
,
3)
C
.
[
-
1
,
3] D
.
(
-
1
,
3]
【
答案
】
(1)D
(2)[0
,
1]
命题点
3
给定参数范围的恒成立问题
【
例
5
】
对任意
m
∈
[
-
1
,
1]
,函数
f
(
x
)
=
x
2
+
(
m
-
4)
x
+
4
-
2
m
的值恒大于零,求
x
的取值范围.
【
解析
】
由
f
(
x
)
=
x
2
+
(
m
-
4)
x
+
4
-
2
m
=
(
x
-
2)
m
+
x
2
-
4
x
+
4
,
令
g
(
m
)
=
(
x
-
2)
m
+
x
2
-
4
x
+
4.
由题意知在
[
-
1
,
1]
上,
g
(
m
)
的值恒大于零,
【
方法规律
】
(1)
对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于
0
就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
x
轴上方,恒小于
0
就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
x
轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
跟踪训练
2
(1)
若不等式
x
2
-
2
x
+
5
≥
a
2
-
3
a
对任意实数
x
恒成立,则实数
a
的取值范围为
(
)
A
.
[
-
1
,
4]
B
.
(
-
∞
,-
2]
∪
[5
,+
∞
)
C
.
(
-
∞
,-
1]
∪
[4
,+
∞
)
D
.
[
-
2
,
5]
(2)
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
mx
-
1
,若对于任意
x
∈
[
m
,
m
+
1]
,都有
f
(
x
)
<
0
成立,则实数
m
的取值范围是
________
.
【
解析
】
(1)
x
2
-
2
x
+
5
=
(
x
-
1)
2
+
4
的最小值为
4
,
所以
x
2
-
2
x
+
5
≥
a
2
-
3
a
对任意实数
x
恒成立,
只需
a
2
-
3
a
≤
4
,解得-
1
≤
a
≤
4.
(2)
作出二次函数
f
(
x
)
的草图,对于任意
x
∈
[
m
,
m
+
1]
,
都有
f
(
x
)
<
0
,
【
方法规律
】
求解不等式应用题的四个步骤
(1)
阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)
引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.
(3)
解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)
回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
跟踪训练
3
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为
10
万元
/
辆,出厂价为
12
万元
/
辆,年销售量为
10 000
辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
x
(0
<
x
<
1)
,则出厂价相应地提高比例为
0.75
x
,同时预计年销售量增加的比例为
0.6
x
,已知年利润=
(
出厂价-投入成本
)
×
年销售量.
(1)
写出本年度预计的年利润
y
与投入成本增加的比例
x
的关系式;
(2)
为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例
x
应在什么范围内?
【
思维点拨
】
(1)
考虑
“
三个二次
”
间的关系;
(2)
将恒成立问题转化为最值问题求解.
即当
x
≥
1
时,
a
>-
(
x
2
+
2
x
)
=
g
(
x
)
恒成立.
而
g
(
x
)
=-
(
x
2
+
2
x
)
=-
(
x
+
1)
2
+
1
在
[1
,+
∞
)
上单调递减,
∴
g
(
x
)
max
=
g
(1)
=-
3
,故
a
>-
3.
∴
实数
a
的取值范围是
{
a
|
a
>-
3}
.
【
答案
】
(1)9
(2){
a
|
a
>-
3}
【
温馨提醒
】
(1)
本题的解法充分体现了转化与化归思想:函数的值域和不等式的解集转化为
a
,
b
满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题.
(2)
注意函数
f
(
x
)
的值域为
[0
,+
∞
)
与
f
(
x
)
≥
0
的区别
.
►
方法与技巧
1
.
“
三个二次
”
的关系是解一元二次不等式的理论基础,一般可把
a
<
0
时的情形转化为
a
>
0
时的情形.
2
.
f
(
x
)
>
0
的解集即为函数
y
=
f
(
x
)
的图象在
x
轴上方的点的横坐标的集合,充分利用数形结合思想.
3
.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解.
►
失误与防范
1
.对于不等式
ax
2
+
bx
+
c
>
0
,求解时不要忘记讨论
a
=
0
时的情形.
2
.当
Δ
<
0
时,
ax
2
+
bx
+
c
>
0(
a
≠
0)
的解集为
R
还是
∅
,要注意区别.
3
.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论
.
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