高考数学专题复习课件：12-4 离散型随机变量及其分布列 59页

§12.4 　离散型随机变量及其分布列 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列 .2. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 1 ．离散型随机变量的有关概念 (1) 随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 ， x 2 ， … ， x i ， … ， x n ， X 取每一个值 x i ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) 的概率 P ( X ＝ x i ) ＝ p i ，则称表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有如下性质： ① p i ≥ 0 ， i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ； ② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p i ＋ … ＋ p n ＝ 1 ． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 ___________ ． 概率之和 2 ． 常见离散型随机变量的分布列 (1) 两点分布 X 0 1 P ______ p 1 － p 若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，就称 X 服从两点分布，并称 p ＝ P ( X ＝ 1) 为 __________ ． 成功概率 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． ( 　　 ) (2) 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象． ( 　　 ) (3) 某人射击时命中的概率为 0.5 ，此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布． ( 　　 ) (4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布． ( 　　 ) (5) 离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.( 　　 ) (6) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) × 　 (6) √ 1 ．袋中有 3 个白球、 5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是 ( 　　 ) A ．至少取到 1 个白球 B ．至多取到 1 个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【 解析 】 选项 A 、 B 表述的都是随机事件，选项 D 是确定的值 2 ，并不随机；选项 C 是随机变量，可能取值为 0 ， 1 ， 2. 【 答案 】 C 2 ． ( 教材改编 ) 从标有 1 ～ 10 的 10 支竹签中任取 2 支，设所得 2 支竹签上的数字之和为 X ，那么随机变量 X 可能取得的值有 ( 　　 ) A ． 17 个　　　 　　 B ． 18 个 C ． 19 个 D ． 20 个 【 解析 】 X 可能取得的值有 3 ， 4 ， 5 ， … ， 19 共 17 个． 【 答案 】 A 【 答案 】 D 4 ．随机变量 X 等可能取值 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ，如果 P ( X <4) ＝ 0.3 ，则 n ＝ ________ ． 【 答案 】 10 5 ． ( 教材改编 ) 一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、 3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P ( X ＝ 4) 的值为 ________ ． 【 方法规律 】 (1) 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2) 求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求： (1)2 X ＋ 1 的分布列； (2)| X － 1| 的分布列． 【 解析 】 由分布列的性质知： 0 ． 2 ＋ 0.1 ＋ 0.1 ＋ 0.3 ＋ m ＝ 1 ，得 m ＝ 0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 | X － 1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2 X ＋ 1 的分布列 2 X ＋ 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)| X － 1| 的分布列 | X － 1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 题型二　离散型随机变量分布列的求法 命题点 1 　与排列组合有关的分布列的求法 【 例 2 】 (2015· 重庆改编 ) 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取 3 个． (1) 求三种粽子各取到 1 个的概率； (2) 设 X 表示取到的豆沙粽的个数，求 X 的分布列． 命题点 2 　与互斥事件有关的分布列的求法 【 例 3 】 (2017· 泰安模拟 ) 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量 ( 件 ) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后 ( 假设该商品的日销售量的分布规律不变 ) ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1) 求当天商店不进货的概率； (2) 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列． 所以 X 的分布列为 故 X 的分布列为 【 方法规律 】 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤： ① 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； ② 求 X 取每个值的概率； ③ 写出 X 的分布列． 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 跟踪训练 2 (1)4 支圆珠笔标价分别为 10 元、 20 元、 30 元、 40 元． ① 从中任取一支，求其标价 X 的分布列； ② 从中任取两支，若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求 Y 的分布列． (2) (2015· 安徽改编 ) 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束． ① 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； ② 已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 ( 单位：元 ) ，求 X 的分布列． 【 解析 】 (1) ① X 的可能取值分别为 10 ， 20 ， 30 ， 40 ，且取得任一支的概率相等，故 X 的分布列为 故 X 的分布列为 题型三　超几何分布 【 例 5 】 (2017· 河南顶级名校期中 ) 为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是 [20 ， 25) ， [25 ， 30) ， [30 ， 35) ， [35 ， 40) ， [40 ， 45] ． (1) 求图中 x 的值，并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [35 ， 40) 岁的人数； (2) 在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加中心广场的宣传活动，再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人．记这 3 名志愿者中 “ 年龄低于 35 岁 ” 的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望． 【 方法规律 】 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ① 考察对象分两类； ② 已知各类对象的个数； ③ 从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 跟踪训练 3 (2016· 济宁二模 ) 盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球， 3 个白色球， 4 个黑色球．规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得－ 1 分．现从盒内任取 3 个球． (1) 求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率； (2) 求取出的 3 个球得分之和恰好为 1 分的概率； (3) 设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 ξ 的分布列． 易错警示系列 19 随机变量取值不全致误 【 典例 】 ( 12 分 ) 盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个．第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球 ( 假设取到每个球的可能性都相同 ) ．记第一次与第二次取得球的标号之和为 ξ . 求随机变量 ξ 的可能取值及其分布列． 【 易错分析 】 由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． 【 规范解答 】 由题意可得，随机变量 ξ 的可能取值是 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 7 ， 10.(3 分 ) P ( ξ ＝ 2) ＝ 0.3 × 0.3 ＝ 0.09 ， 【 温馨提醒 】 (1) 解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式． (2) 此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面． (3) 避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1. ► 方法与技巧 1 ．对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量 X 的取值范围以及取这些值的概率． 2 ．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率． ► 失误与防范 掌握离散型随机变量的分布列，须注意： (1) 分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为 “ 事件 ” ，下为 “ 事件发生的概率 ” ，只不过 “ 事件 ” 是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率． (2) 要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误 .