【数学】河北省邯郸市永年区第一中学2019-2020学年高一下学期月考试题 （解析版） 9页

河北省邯郸市永年区第一中学 2019-2020 学年高一 下学期月考数学试题 一、选择题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由诱导公式可知 ， 由正弦差角公式可得 ， 故选：D. 2. 的值是（ ） A. B. C. - D. 【答案】B 【解析】由诱导公式可知 所以由正弦和角公式可得 ， 故选：B. 3.已知 ， ，则 的值等于（ ） sin165 = 1 2 3 2 6 2 4 + 6 2 4 − ( )sin165 =sin 180 15 sin15− =    ( )sin15 =sin 45 30−   sin 45 cos30 sin30 cos45= −    2 3 1 2 6 2 2 2 2 2 4 −= × − × = sin14 cos16 sin 76 cos74+    3 2 1 2 3 2 1 2 − sin 76 cos14 ,cos74 sin16= =    sin14 cos16 sin 76 cos74+    sin14 cos16 cos14 sin16= +    ( ) 1sin 14 16 sin30 2 = + = =   2tan( ) 5 α β+ = π 1tan( )4 4 β − = πtan( )4 α + A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题, , 故选：B 4.在 中，已知 ，则 （ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】由余弦定理 ,故选 D. 5.已知△ABC 三边满足（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，则角 C 等于（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】D 【解析】∵在△ABC 中，（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，∴（a+b）2﹣c2＝3ab，整理得 a2+b2﹣c2 ＝ab， 由余弦定理，得 cosC＝ ＝ ，结合 0° 180°，可得：C＝60°． 故选 D． 6.已知在 中， ，那么这个三角形的最大角是( 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7 知三角形的三边之比为 a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的 边为 c，∴　最大的角为∠C．由余弦定理得 　　cosC＝ ，∴　∠C＝120°． 的 13 18 3 22 13 22 3 18 ( ) ( ) ( ) π 2 1tan tanπ 34 5 4tan + tan 2 1π4 4 2211 tan tan 5 44 α β βπα α β β α β β  + − − −       = + − − = = =           + ×+ + −   ABC∆ 4, 2, 120b c A= = ∠ =  a = 2 6 2 6 2 7 2 116 4 2 4 2cos120 20 2 4 2 ( ) 20 8 28,2 = + − × × = − × × × − = + =a 2 7a∴ = 2 2 2 2 a b c ab + − 1 2 C< < ABC∆ sin :sin :sin 3:5:7A B C = 135° 90° 120° 150° 7. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 选 D 8. 的值为 ( ) A. 0 B. - C. 2 D. 【答案】B 【解析】 因为 , 即 ， 故选:B. 9.已知 为第三象限角，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由 是第三象限角，且 ，得到 cosα＝﹣ ＝﹣ ， 则 ＝ ＝ ＝﹣ ． 2 1 sin8 2 2cos8− + + 2sin 4 4cos4− 2sin 4 4cos4− − 2sin 4− 4cos4 2sin 4− 2 2 2 1 sin8 2 2cos8 2 (sin 4 cos4) 4cos 4 2 sin 4 cos4 2 cos4 4cos4 2sin 4 − − + = − − = − − = − π πsin 3 cos12 12 − 2 2 π π 1 π 3 π π π π π π πsin 3 cos =2 sin cos ) 2(sin cos cos sin ) 2sin( )12 12 2 12 2 12 12 3 12 3 12 3 （− − = − = − π2sin( ) 24 = − = − π πsin 3 cos 212 12 − = − α 24sin 25 α = − tan 2 α = 4 3 4 3 − 3 4 3 4 − α 24sin 25 α = − 2241 25  − −   7 25 2tan α = sin 1 cos α α+ 24 25 71 25 − − 24 18 − 4 3 故选：B． 10.若 ，则 为 （ ） A. 5 B. -1 C. 6 D. 【答案】A 【解析】由题 可知 ， ， 两式联立可得 ， 故选：A. 11.已知锐角 满足 ， ，则 等于( ) A. B. 或 C. D. 2kπ+ （k∈Z） 【答案】C 【解析】由 sin α= ，cos β= ，且 α，β 为锐角，知 cos α= ，sin β= ， 故 cos（α+β）=cos αcos β–sin αsin β= × – × = ， 又 0<α+β<π，故 α+β= ． 12.若偶函数 在区间 上是减函数， 是锐角三角形的两个内角，且 ， 则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 是锐角三角形的两个内角，故可得 ， ( ) ( )1 1sin ,sin2 3 α β α β+ = − = tan tan α β 1 6 ( ) ( )1 1sin ,sin2 3 α β α β+ = − = 1sin cos sin cos 2 α β β α+ = 1sin cos sin cos 3 α β β α− = 5 1 tansin cos ,sin cos 512 12 tan αα β β α β= = ∴ = α β， 5sin 5 α = 3 10cos 10 β = α β+ 3π 4 π 4 3π 4 π 4 π 4 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 π 4 ( )f x [ ]1,0− ,α β α β≠ ( ) ( )cos cosf fα β> ( ) ( )sin cosf fα β< ( ) ( )cos sinf fα β< ( ) ( )sin sinf fα β> ,α β 2 πα β+ > 即 ，又因为 ，故可得 ； 是偶函数，且在 单调递减， 故可得 在 单调递增，故 .故选：C. 二、填空题 13.已知 cos = ,且 ,则 cos( )= ______． 【答案】 【解析】由题 故 故答案为 14.已知 ．则 的值是______． 【答案】 【解析】 ． 已知 ，且 ， 故 ． 从而，有 ． 15. ____________ 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ，则 tan20° +tan40°+ π 2 α β> − , 0,2 2 π πα β  − ∈   cos sinα β< ( )f x [ ]1,0− ( )f x [ ]0,1 ( ) ( )f cos f sinα β< α 3 5 α ∈ 3π ,2π2      π 3 α − 3 4 3 10 − 23 4sin 1 5 5a æ öç ÷= - - = -ç ÷è ø 1 3 3 4 3 4 3cos 3 2 5 2 5 10 paæ ö æ ö -ç ÷ ç ÷- = ´ + ´ - =ç ÷ ç ÷è ø è ø 3 4 3 10 − 1sin cos 2 α α− = 3 3sin cosα α− 11 16 ( )( )3 3 2 2sin cos sin cos sin sin cos cosα α α α α α α α− = − + ⋅ + ( )( )sin cos 1 sin cosα α α α= − + ⋅ 1sin cos 2 α α− = ( )2 2 2 1sin cos sin 2sin cos cos 4 α α α α α α− = − ⋅ + = 3sin cos 8 α α⋅ = 3 3 11sin cos 16 α α− = tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40°+ °+ °⋅ ° = 3 3 tan20°tan40° ． 16.若三角形中有一个角为 60°，夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5，外接圆半径等于 _______． 【答案】 【解析】设三角形的外接圆的半径为 三角形中有一个角为 60°，夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5， 由余弦定理可得第三条边的长为 ， 由正弦定理可知 ， 解得 ，故答案为： 。 三、解答题 17.在 中， ，求 的值． 解：由 , 得 或 18.求函数 在 上的最值. 解：函数 ， ， 由同角三角函数关系式化简可得 ， 令 ， ， 则 ， 由二次函数性质可得当 时， ； 7 3 3 R 2 28 5 2 8 5 cos60 7+ − × × × = 72 sin 60 R =  7 3 3R = 7 3 3 ABC∆ 2 , 8, 15A C B a c ac+ = + = = b 2A+C = B 180A B C °+ + = 60B °= 8, 15a c ac+ = = 5, 3a c∴ = = 3, 5a c= = 2 2 2 cos60 19b a b ac °∴ = + − = 2( ) 2cos 3sinf x x x= + 2 π ,2 π −   2( ) 2cos 3sinf x x x= + ,2 2 π π ∈ −  x ( )2( ) 2 1 sin 3sinf x x x= − + 22sin 3sin 2x x= − + + sint x= [ ]1,1t ∈ − 2( ) 2 3 2f t t t= − + + 23 252 4 8t = − − +   3t 4 = 25 8maxy = 当 时， .故答案为： ， . 19.已知 ， 为锐角， ， ，求 解：因为 为锐角, ,所以 ,则 ， ，由于 为锐角，且 ，故 为锐角， . 由 为锐角,得到 ,所以 . 20.在 中，已知 ，证明： 是等腰三 角形或直角三角形. 解：证明 ， ， 化简整理得 ， 由正弦定理得 ， 所以由二倍角公式可知 ， 或 ∴： 是以 为直角的三角形或 的等腰三角形. 21.我炮兵阵地位于地面 处，两观察所分别位于地面点 和 处，已知 ， ， 目标出现于地面点 处时，测得 (如图）求：炮兵阵地到目标的距离. 1t = − 3miny =－ 25 8maxy = 3miny =－ α β 1tan 7 α = 10sin 10 β = 2α β+ β 10sin 10 β = 3 10cos 10 β = 1tan 3 β = 22 122tan 33tan 2 1 tan 411 3 ββ β × = = =−  −   β tan 2 0β > 2β ( ) 1 3 tan tan 2 7 4tan 2 11 31 tan tan 2 1 7 4 α βα β α β +++ = = =− − × ,2α β ( )2 0,πα β+ ∈ π2 4 α β+ = ABC∆ 2 2 2 2( )sin( ) ( )sin( )a b A B a b A B+ − = − − ABC∆ 2 2 2 2( )sin( ) ( )sin( )a b A B a b A B+ − = − + 22 2 2( )(sin cos cos sin ) ( )(sin cos cos sin )a b A B A B a b A B A B∴ + − = − + 2 2cos sin sin cosa A B b A B= sin cos sin cosA A B B= sin 2 sin 2A B= A B∴ = 2A B π+ = ABC∆ C∠ a b= A C D 6000CD m= 45 75ACD ADC∠ = ° ∠ = °， B 30 15，∠ = ° ∠ = °BCD BDC 解：在 中， ， 根据正弦定理有: 同理在 中， ， 根据正弦定理有 ， 在 中， 据勾股定理有： ， 所以炮兵阵地到目标的距离为 . 22.设函数 （ ），且 图象的一个对 称中心到离它最近的对称轴的距离为 ． （1）求 的值； （2）求 在区间 上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的 的 值． 解：（1） ACD 180 60 , 6000, 45CAD ACD ADC CD ACD∠ = − ∠ − ∠ = = ∠ =   sin 45 2 ,sin 60 3 CDAD CD= =  BCD 180 135 ,CBD BCD BDC∠ = − ∠ − ∠ =  6000, 30CD BCD= ∠ =  sin30 2 sin135 2 CDBD CD= =  ABD△ 90 ,ADB ADC BDC∠ = ∠ + ∠ =  2 2 2 1 42 1000 423 2 6AB AD BD CD CD= + = + = = 1000 42m 23( ) 3sin sin cos2f x x x xω ω ω= − − 0ω > ( )y f x= π 4 ω ( )f x π 3, π 2      x 23( ) 3sin sin cos2f x x x xω ω ω= − − 3 1 cos2 13 sin 22 2 2 x x ω ω−= − ⋅ − ． ∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，又 ，所以 ，因此 ． （2）由（1）知 ．当 时， ，∴ ，因此 ．故 在区间 上的最大值和最小 值分别为 ， ． 当 ，即 时， 取最大值 ，当 ，即 时， 取最小值为 ． 3 1cos2 sin 22 2x xω ω= − sin(2 π)3 ω= − −x π 4 0ω > π π2 42 4ω = × 1ω = ( ) sin(2 )π 3 = − −f x x π 3 2 π<