河南省洛阳市2020届高三第二次统一考试数学（理）试题 Word版含解析 26页

- 1 - 洛阳市 2019-2020 学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷（理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.设集合 ， ，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，求出集合 A，进而求出集合 和 ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意， 则 故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, 2.已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 { | 0}A x x= > { }2| log (3 1) 2B x x= − < 50, 3A B  =    10, 3A B  =    1,3A B  ∪ = +∞   (0, )A B = +∞ A B A B { }2 1 5| log (3 1) 2 | 3 3B x x x x = − < = < <   1 5(0, ), ,3 3A B A B  ∪ = +∞ ∩ =    z (1 ) 2z i− = i 1z − = i i− 1 i+ 1 i− - 2 - 先化简求出 ，即可求得答案. 【详解】因为 ， 所以 所以 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目. 3.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ，则 （ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据角终边上的点坐标，求得 ，代入二倍角公式即可求得 的值. 【详解】因为终边上有一点 ，所以 ， 故选：B 【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 4.下图是我国第 24~30 届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图， 以下描述正确的是（ ）． 金牌 （块） 银牌 （块） 铜牌 （块） 奖牌 总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 z (1 ) 2z i− = ( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 11 1 1 2 i iz ii i i + += = = = +− − + 1 1 1z i i− = + − = α x ( 3,4)P − sin 2α = 12 25 − 24 25 − 16 5 8 5 sin ,cosα α sin 2α ( 3,4)P − 4 3sin ,cos5 5 α α= = − 4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25 α α α  ∴ = = × × − = −   - 3 - 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 30 38 27 23 88 A. 中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势 B. 折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义 C. 第 30 届与第 29 届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降 D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是 54.5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29 届最多，错误； B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确； C.30 届与第 29 届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误； D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为 ,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目. 5.抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点， ，则 （ ） A. B. C. D. 54 59 56.52 + = 2: 2 ( 0)C y px p= > F ( )06,A y C | | 2AF p= p = 8 4 2 1 - 4 - 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线定义得 ，即可解得结果. 【详解】因为 ，所以 . 故选 B 【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为 8，则框图中①处可以填（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是 8 时. 【详解】第一次循环： 第二次循环： 第三次循环： 6 2 pAF = + 2 6 2 pAF p= = + 4p = 7?S ≥ 21?S ≥ 28?S ≥ 36?S ≥ 0, 1S i= = 1, 2S i= = 3, 3S i= = - 5 - 第四次循环： 第五次循环： 第六次循环： 第七次循环： 第八次循环： 所以框图中①处填 时，满足输出的值为 8. 故选：C 【点睛】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单 题目. 7.下列函数中，既是奇函数，又在 上是增函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 奇函数满足定义域关于原点对称且 ，在 上 即可. 【详解】A：因为 定义域为 ，所以不可能时奇函数，错误； B： 定义域关于原点对称，且 满足奇函数，又 ，所以在 上 ，正确； C： 定义域关于原点对称，且 满足奇函数， ，在 上，因为 ，所以在 上不是增函数，错误； D： 定义域关于原点对称，且 ， 满足奇函数， 在 上很明显存在变号零点，所以在 上不是增函数， 错误； 6, 4S i= = 10, 5S i= = 15, 6S i= = 21, 7S i= = 28, 8S i= = 28?S ≥ (0,1) ( ) lnf x x x= ( ) x xf x e e−= − ( ) sin 2f x x= 3( )f x x x= − ( ) ( ) 0f x f x+ − = (0,1) ( )' 0f x ≥ ( ) lnf x x x= 0x > ( ) x xf x e e−= − ( )( ) 0x x x xf x f x e e e e− −+ − = − + − = ( )' 0x xf x e e−= + > (0,1) ( )' 0f x ≥ ( ) sin 2f x x= ( ) ( ) sin 2 sin 2 0f x f x x x+ − = + − = ( )' 2cos2f x x= (0,1) ( ) ( )' 0 ' 1 2 2cos2 0f f = × < (0,1) 3( )f x x x= − ( ) ( )3 3( ) 0f x f x x x x x+ − = − + − + = ( ) 2' 3 1f x x= − (0,1) (0,1) - 6 - 故选：B 【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于 简单题目. 8.在 中， ， ， ，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， ，则 （ ）． A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 题 意 ， 分 析 可 得 , 由 余 弦 定 理 求 得 的 值 ， 由 可得结果. 【详解】根据题意， ，则 在 中，又 , 则 则 则 则 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单 题目. 9.已知直三棱柱中 ， ， ， ，则异面直线 与 所成的角的正弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 ABC 3AB = 2AC = 60BAC∠ = ° D E AB CD 2BD AD= 2CE ED= BE AB⋅ =  3− 6− 1AD = DC ( )BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅           3, 2AB BD AD= = 1AD = ADC 2AC = 60BAC∠ = ° 2 2 2 2 cos 3DC AD AC AD DC BAC= + ⋅ ∠ =− 3DC = CD AB⊥ ( ) 3 2 cos180 6BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = × × = −           1 1 1ABC A B C− 120ABC∠ = ° 2AB = 1 1BC CC= = 1AB 1BC 3 2 10 5 15 5 6 3 - 7 - 设 M,N,P 分别为 和 的中点，得出 的夹角为 MN 和 NP 夹角或其补 角，根据中位线定理，结合余弦定理求出 和 的余弦值再求其正弦值即可. 【详解】根据题意画出图形: 设 M,N,P 分别为 和 的中点， 则 的夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 可知 ， . 作 BC 中点 Q，则 为直角三角形； 中，由余弦定理得 ， 在 中， 在 中，由余弦定理得 1,AB BB 1 1B C 1 1,ABBC , ,AC MQ MP MNP∠ 1,AB BB 1 1B C 1 1,ABBC 1 1 5 2 2MN AB= = 1 1 2 2 2NP BC= = PQM 11, 2PQ MQ AC= = ABC 2 2 2 12 cos 4 1 2 2 1 72AC AB BC AB BC ABC  = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × − =   7AC∴ = 7 2MQ = MQP△ 2 2 11 2MP MQ PQ= + = PMN - 8 - 所以 故选：C 【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角， 属于较易题目. 10.已知双曲线 的左焦点为 ，直线 经过点 且与双曲线的一条渐近 线垂直，直线 与双曲线的左支交于不同的两点 ， ，若 ，则该双曲线的离心 率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直线 的方程为 ，令 和双曲线方程联立，再由 得到两交点坐标纵 坐标关系进行求解即可. 【详解】由题意可知直线 的方程为 ,不妨设 . 则 ，且 将 代入双曲线方程 中，得到 设 则 2 2 2 2 2 2 5 2 11 2 2 2 10cos 2 55 22 2 2 MN NP PMMNP MH NP      + −     + −      ∠ = == = −⋅ ⋅ × × 2 2 10 15sin 1 cos 1 5 5MNP MNP  ∠ = − ∠ = − − =    2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F l F l A B 2AF FB=  10 3 6 2 2 3 3 3 l bx y ca = − 1a = 2AF FB=  l bx y ca = − 1a = x by c= − 2 2 1b c= − x by c= − 2 2 2 1yx b − = ( )4 2 3 41 2 0b y b cy b+−− = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 3 4 1 2 1 24 4 2 ,1 1 b c by y y yb b + = ⋅ =− − - 9 - 由 ，可得 ，故 则 ，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已 知条件即可求解，属于一般性题目. 11.已知定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时，恒有 ．则不等式 的解集为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 先通过 得到原函数 为增函数且为偶函数，再利用到 轴距 离求解不等式即可. 【详解】构造函数 ， 则 由题可知 ，所以 在 时 增函数；为 2AF FB=  1 22y y= − 3 2 4 4 2 2 4 2 1 2 1 b cy b by b − = − − = − 2 2 48 1b c b= − 2 1 9 =b 2 101 3c b= + = 10 3 ce a = = R ( )f x ( )f x′ 0x ≥ ( ) ) 03 (x f fx x′ + > 3 3( ) (1 2 ) (1 2 ) 0x f x x f x− + + < { | 3 1}x x− < < − 1{ | 1 }3x x− < < − { | 3x x < − 1}x > − { | 1x x < − 1}3x > − ( ) ) 03 (x f fx x′ + > ( ) ( )3 3 x f xg x = y ( ) ( )3 3 x f xg x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2' ' '3 3 x xg x x f x f x x f x f x = + = +   ( ) ) 03 (x f fx x′ + > ( ) ( )3 3 x f xg x = 0x ≥ - 10 - 由 为奇函数， 为奇函数，所以 为偶函数； 又 ，即 即 又 为开口向上的偶函数 所以 ，解得 或 故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 12.已知三棱锥 中， 为 的中点， 平面 ， ， ，则有下列四个结论：①若 为 的外心，则 ；② 若为 等边三角形，则 ；③当 时， 与平面 所成的角的范围为 ；④当 时， 为平面 内一动点，若 OM∥平面 ，则 在 内 轨迹的长度为 2．其中正确的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错 误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得 C 到平面 PAB 的距离的范围,可判断③正确; 由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【详解】画出图形： 若 为 的外心，则 ， 3x ( )f x ( ) ( )3 3 x f xg x = 3 3( ) (1 2 ) (1 2 ) 0x f x x f x− + + < 3 3( ) (1 2 ) (1 2 )x f x x f x< + + ( ) ( )1 2g x g x< + ( )g x | | |1 2 |x x< + 1x < − 1 3x > − P ABC− O AB PO ⊥ ABC 90APB∠ = ° 2PA PB= = O ABC 2PC = ABC ⊥AP BC 90ACB∠ = ° PC PAB 0, 4 π     4PC = M PBC PAC M PBC O ABC 2OA OB OC= = = - 11 - 平面 可得 ,即 ，①正确; 若为等边三角形， ，又 可得 平面 ，即 ,由 可得 ，矛盾，②错误; 若 ，设 与平面 所成角为 可得 ， 设 到平面 的距离为 由 可得 即有 ，当且仅当 取等号. 可得 的最大值为 ， 即 的范围为 ，③正确； 取 中点 ， 的中点 ，连接 由中位线定理可得平面 平面 可得 在线段 上，而 ，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题， 可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13.已知 ，则 展开式 的系数为__________． 【答案】 ,PO ⊥ ABC PO OC⊥ 2 2 2PC PO OC= + = ABC ⊥AP BC AP PB⊥ AP ⊥ PBC AP PC⊥ PO OC⊥ 2 2 2 6 2 2PC PO OC AC= + = + = = 90ACB∠ = ° PC PAB θ 2, 2OC OA OB PC= = = = C PAB d C PAB P ABCV V− −= 1 1 1 12 2 23 2 3 2d AC BC⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 42 AC BCAC BC d +⋅ = = 2AC BC= = d 2 2sin 2 2 dθ =  θ 0, 4 π     BC N PB K , ,OK ON KN / /OKN PAC M KN 1 22KN PC= = 2 3 0 x dx n=∫ 1 2 ( 1)nxx  − +   2x 8− - 12 - 【解析】 【分析】 先根据定积分求出 的值，再用二项展开式公式即可求解. 【详解】因为 所以 的通项公式为 当 时， 当 时， 故 展开式中 的系数为 故答案为： 【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目. 14.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加， 女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 【答案】23 【解析】 【分析】 由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③ 设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为 9+9+5＝23，得解． 【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数 为 9， ②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 9， ③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 5， 综合①②③得：不同的选法种数为 9+9+5＝23， 故答案为 23． 【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题． n 22 3 4 4 0 0 1 1 2 44 4x dx x = = × =  ∫ 4n = 4( 1)x + 4 1 4 41r r r r r rT C x C x− + = × ⋅ = 2r = 4 2 2 2 3 4 41 6r r rT C x C x x−= × ⋅ = = 3r = 3 3 3 4 4 4T C x x= = 1 2 ( 1)nxx  − +   2x 4 ( 2) 6 8+ − × = − 8− 3 3 5 3C C− = 3 3 5 3C C− = 4 5C = - 13 - 15.已知函数 .若 在区间 上恒成立.则实数 的取 值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 首 先 解 不 等 式 ， 再 由 在 区 间 上 恒 成 立 ， 即 得到不等组，解得即可. 【 详 解 】 解 ： 且 ， 即 解 得 ， 即 因为 在区间 上恒成立， 解得 即 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题. 16.在 中，角 的平分线交 于 ， ， ，则 面积的最大值为 __________． 【答案】15 【解析】 【分析】 由角平分线定理得 ,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出 面积的最大值. 【详解】画出图形： ( ) 2 4 4f x x x= − − ( ) 1f x < ( )1, 2m m− − m 10, 3     ( ) 1f x < ( ) 1f x < ( )1, 2m m− − ( ) ( )1, 2 1,5m m− − ⊆ − ( ) 2 4 4f x x x= − − ( ) 1f x < 2 4 4 1x x− − < 1 5x− < < ( )1,5x∈ − ( ) 1f x < ( )1, 2m m− − ( ) ( )1, 2 1,5m m∴ − − ⊆ − 1 1 1 2 2 5 m m m m − ≤ − ∴ − < − − ≤ 10 3x≤ < 10, 3x  ∈   10, 3     ABC A BC D 3BD = 2CD = ABC AB BD AC CD = ABC - 14 - 因为 ， ，由角平分线定理得 , 设 ，则 由余弦定理得： 即 当且仅当 ，即 时取等号 所以 面积的最大值为 15 故答案为：15 【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属 于一般性题目. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 3BD = 2CD = 3 2 AB BD AC CD = = 2 , 2 , 0, 2AC x BAC πα α  = ∠ = ∈   3AB x= 2 2 24 9 2 3 2 cos25 x x x x α= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 13 25 12cos2x α= − 21 75sin 23 2 sin 2 3 sin 22 13 12cos2ABCS x x x αα α α∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = − ( ) 2 22 2 2 2tan7575 2sin cos 1 tan 1 tan13 12 cos sin 13 12 1 tan α α α α αα α α ⋅× += = −− × − − ⋅ + 2 150 tan 1511 25tan 125tan 2 25tantan tan 150 150α α α αα α ⋅= = =+ + ⋅ 1 25tantan αα = 1tan 5 α = ABC { }na 1 3a = 4 12a = { }nb 1 4b = 4 20b = - 15 - 是等比数列. （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2） 利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列 前 n 项和． 试题解析： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n 设等比数列{bn﹣an}的公比为 q，则 q3= = =8，∴q=2， ∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前 n 项和为 n（n+1）， 数列{2n﹣1}的前 n 项和为 1× = 2n﹣1， ∴数列{bn}的前 n 项和为； 考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和． 18.如图，在等腰梯形 中，AD∥BC， ， ， ， ， 分 别为 ， ， 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到达点 位置（ 平 面 ）． { }n nb a− { }na { }nb { }nb n 3 ( 1,2, )na n n= =  13 2 ( 1,2, )n nb n n−= + =  3 ( 1) 2 12 nn n + + − { }nb ABCD 2AD AB CD= = = 4BC = M N Q BC CD AC AC ACD D P P∉ ABC - 16 - （1）若 为直线 上任意一点，证明：MH∥平面 ； （2）若直线 与直线 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)根据中位线证明平面 平面 ，即可证明 MH∥平面 ；（2）以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ ， ， 分别为 ， ， 的中点， ∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 同理， 平面 ， ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴平面 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ． （2）连接 ，在 和 中，由余弦定理可得， ， 由 与 互补， ， ，可解得 ， 于是 ， ∴ ， ， H QN ABP AB MN 4 π A PC B− − 21 7 MNQ  PAB ABP QM QC QP x y z QM M N Q BC CD AC QM AB QM ⊄ PAB AB Ì PAB QM  PAB QN∥ PAB QM ⊂ MNQ QN ⊂ MNQ QM QN Q= MNQ  PAB MH ⊂ MNQ MH∥ ABP PQ ABC ACD 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos AC AB BC AB BC ABC AC AD CD AD CD ADC  = + − ⋅ ⋅ ∠  = + − ⋅ ⋅ ∠ ABC∠ ADC∠ 2AD AB CD= = = 4BC = 2 3AC = 2 2 2BC AB AC= + AB AC⊥ QM AC⊥ - 17 - ∵ ，直线 与直线 所成角为 ， ∴ ，又 ， ∴ ，即 ， ∴ 平面 ， ∴平面 平面 ， ∵ 为 中点， ， ∴ 平面 ， 如图所示，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ， ∴ ，即 ． 令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量为 ． 又平面 的一个法向量为 ， ∴ ， ∴二面角 的余弦值为 ． 【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目. 19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量 产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在 内的产 QM AB AB MN 4 π 4QMN π∠ = 1QM QN= = 2MQN π∠ = QM QN⊥ QM ⊥ APC ABC ⊥ APC Q AC PQ AC⊥ PQ ⊥ ABC QM QC QP x y z (2, 3,0)B − (0, 3,0)C (0,0,1)P (2, 3, 1)PB = − − (0, 3, 1)PC = − PBC ( , , )n x y z= 0 0 n PB n PC  ⋅ =  ⋅ =   2 3 0 3 0 x y z y z  − − = − = 1y = 3x = 3z = PBC ( 3,1, 3)n = APC (1,0,0)m = 21cos , | | | | 7 m nm n m n ⋅< >= =⋅      A PC B− − 21 7 [20,40) - 18 - 品视为合格品，否则为不合格品． 乙生产线样本的频数分布表 质量指标 合计 频数 2 18 48 14 16 2 100 （1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率 近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生 产的产品中任取 5 件恰有 2 件为合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成 下面的 列联表，并判断是否有 90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线 有关？若有 90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 附： ， ． [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + - 19 - 0.150 0.100 0.050 0 025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好． 【解析】 【分析】 (1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取 5 件，恰有 2 件为 合格品”就相当于进行 5 次独立重复试验，恰好发生 2 次的概率用二项分布概率即可解决.(2) 独立性检验算出 的观测值即可判断. 【详解】（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为 ： ． 设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件 ，事件 发生的概率为 ，则 由样本可估计 ． 那么“从甲生产线生产的产品中任取 5 件，恰有 2 件为合格品”就相当于进行 5 次独立重复 试验，事件 恰好发生 2 次，其概率为： ． （2） 列联表： 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 90 96 186 不合格品 10 4 14 合计 100 100 200 .( )2 0P K k≥ 0k 2K 0.032 5 0.080 5 0.032 5 0.036 5 0.9× + × + × + × = A A p 0.9p = A 2 2 3 5 (1 ) 0.0081C p p− = 2 2× - 20 - 的观测值 ， ∵ ， ， ∴有 90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关． 由（1）知甲生产线的合格率为 0.9， 乙生产线的合格率为 ， ∵ ， ∴保留乙生产线较好． 【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式 即可，属于较易题目. 20.设函数 . （1）若 ， 时， 在 上单调递减，求 的取值范围； （2）若 ， ， ，求证：当 时， ． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 (1) 在 上单调递减等价于 在 恒成立，分离参数即可解决.(2)先 对 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式 求解即可. 详解】（1） ， 时， ， ， ∵ 在 上单调递减． ∴ ， ． 令 ， ， 【 2K 2200 (90 4 96 10) 2.765186 14 100 100k × × − ×= ≈× × × 2.765 2.706> ( )2 2.706 0.100P K > = 18 48 14 16 0.96100 + + + = 0.96 0.9> ( ) ( ) lnxf x a x e bx c x= − + − 3a = 0c = ( )f x (0, )+∞ b 2a = 4b = 4c = 1x > ( ) 16 8ln 2f x < − ( , ]e−∞ − ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0′ ≤ (0, )+∞ ( )f x 3a = 0c = ( ) (3 ) xf x x e bx= − + ( ) (3 ) (2 )x x xf x e x e b x e b′ = − + − + = − + ( )f x (0, )+∞ (2 ) 0xx e b− + ≤ ( 2) xb x e≤ − ( ) ( 2) xg x x e= − ( ) ( 2) ( 1)x x xg x e x e x e′ = + − = − - 21 - 时， ； 时， ， ∴ 在 上为减函数，在 上为增函数． ∴ ，∴ ． ∴ 的取值范围为 ． （2）若 ， ， 时， ， ， 令 ，显然 在 上为增函数． 又 ， ，∴ 有唯一零点 ． 且 ， 时， ， ； 时， ， ， ∴ 在 上为增函数，在 上为减函数． ∴ ． 又 ，∴ ， ， ． ∴ ． ， ． ∴当 时， ． 【点睛】此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构 造函数求值域，属于较难题目. 21.已知点 、 分别在 轴、 轴上运动， ， ． 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) eg x g= = − b e≤ − b ( , ]e−∞ − 2a = 4b = 4c = ( ) (2 ) 4 4lnxf x x e x x= − + − 4 4( ) (2 ) 4 (1 )x x xf x e x e x ex x  ′ = − + − + − = − −   4( ) xh x e x = − ( )h x (1, )+∞ (1) 4 0h e= − < 2(2) 2 0h e= − > ( )h x 0x 0 (1,2)x ∈ 01 x x< < ( ) 0h x < ( ) 0f x′ > 0x x> ( ) 0h x ≥ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )01, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0 max 0 0 0 0( ) 2 4 4lnxf x f x x e x x= = − + − ( ) 0 0 0 4 0xh x e x = − = 0 0 4xe x = 0 0 4xx e = 0 0ln ln 4x x+ = ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 82 4 4 4ln 4 4 4 ln 4xf x e x x x xx = − + − = − + − − 0 0 18 4 4ln 4xx  = + − −    18 2 4 4ln 4 16 8ln 22  < + − − = −   ( )01 2x< < 1x > ( ) 16 8ln 2f x < − A B x y | | 3AB = 2BM MA=  - 22 - （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 且斜率存在的直线 与曲线 交于 、 两点， ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出 ，得到 ，所以 ，代入韦达定理即可求解. 【详解】（1）设 ， ，则 ， 设 ，由 得 ． 又由于 ， 化简得 的轨迹 的方程为 ． （2）设直线 的方程为 ， 与 的方程联立，消去 得 ， ，设 ， ， 则 ， ， 由已知 ， ，则 M C 30, 5N  −   l C P Q (0,1)E 2 2| | | |EP EQ+ 2 2 14 x y+ = 2564, 25      ,EP EQ  EP EQ⊥ 2 2 2| | | | | |EP EQ PQ+ = ( )0 ,0A x ( )00,B y 2 2 0 0 9x y+ = ( , )M x y 2BM MA=  ( ) 00 0 0 32 22(0 ) 3 x xx x x y y y y y   == − ⇒ − = −  = 2 23 (3 ) 92 x y  + =   M C 2 2 14 x y+ = PQ 3 5y kx= − C y ( )2 2 24 641 4 05 25k x kx+ − − = > 0∆ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 24 5 20 kx x k + = + 1 2 2 64 25 100x x k −⋅ = + ( )1 1, 1EP x y= − ( )2 2, 1EQ x y= − ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 8 81 1 5 5EP EQ x x y y x x kx kx  ⋅ = + − − = + − −       ( ) ( )2 1 2 1 2 8 641 5 25k x x k x x= + − + + - 23 - ， 故直线 ． ， 令 ，则 ， 由于 ， ， ． 所以， 的取值范围为 ． 【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属 于较难题目. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ( )2 2 2 64 8 24 641 25 100 5 5 20 25 kk kk k −= + × − × ++ + 2 2 2 2 64 64 192 64 256 25 100 k k k k − − − + += + 0= EP EQ⊥ ( ) ( )22 2 2 2 1 2 1 2| | | | | | 1 4EP EQ PQ k x x x x + = = + + −  ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 64 1 25 424 641 45 20 25 100 25 1 4 k kkk k k k + + − = + − × =  + +   +  ( ) ( ) 2 4 22 64 4 29 25 25 1 4 k k k + + = + 21 4k t+ = 2 2 2 2 2 1 164 4 29 254 4 4 27 66 25 | | 25 25 t t t t PQ t t  − − + × + ×    − + +     = = 24 1 33 17642725 27 27t   = × − − +      21 4 1t k= + ≥ 10 1t < ≤ 2 2564 | | 25PQ ≤< 2 2| | | |EP EQ+ 2564, 25      xOy 1C 1 3 cos 3sin x y θ θ  = + = θ x 2C - 24 - ，直线 的极坐标方程为 ，点 ． （1）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于点 ，曲线 与曲线 交于点 ，求 的面积． 【答案】（1） ． （2） 【解析】 【分析】 (1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标 的几何意义求解 ，再求点 到直线 的距离即可算出三角形面积. 【详解】解：（1）曲线 ，即 ． ∴ ．曲线 的极坐标方程为 ． 直线 的极坐标方程为 ，即 ， ∴直线 的直角坐标方程为 ． （2）设 ， ， ∴ ，解得 ． 又 ，∴ （ 舍去）． ∴ ． 点 到直线 的距离为 ， ∴ 的面积为 ． 【点睛】此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为 直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目. [选修 4-5：不等式选讲] ( 0)3 πθ ρ= > l sin 36 πρ θ + =   6, 6P π     1C l l 2C A 1C 2C B PAB△ 2 2 cos 2 0ρ ρ θ− − = 3 6 0x y+ − = 3 2 ρ | |AB P AB 2 2 1 : ( 1) 3C x y− + = 2 2 2 2 0x y x+ − − = 2 2 cos 2 0ρ ρ θ− − = 1C 2 2 cos 2 0ρ ρ θ− − = l sin 36 πρ θ + =   3 sin cos 6ρ θ ρ θ+ = l 3 6 0x y+ − = , 3AA ρ π     , 3BB ρ π     sin 33 6A π πρ  + =   3A ρ = 2 2 cos 2 03B B πρ ρ− − = 2B ρ = 1B ρ = − | | 3 2 1AB = − = P AB 6 sin 33 6 π π × − =   PAB△ 1 31 32 2 × × = - 25 - 23.已知函数 ． （1）若不等式 有解，求实数 的取值范围； （2）函数 的最小值为 ，若正实数 ， ， 满足 ，证明： ． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 (1)分离 得到 ，求 的最小值即可求得 的取值范 围；（2）先求出 ，得到 ，利用乘 变化即可证明不等式. 【详解】解：（1）设 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增． 故 ． ∵ 有解，∴ ． 即 的取值范围为 ． （2） ，当且仅当 时等号成立． ∴ ，即 ． ∵ ． 当且仅当 ， ， 时等号成立． ∴ ，即 成立． 【点睛】此题考查不等式 证明，注意定值乘 变化的灵活应用，属于较易题目.的 ( ) | 3| | 1|f x x x= − + − ( )f x x m≤ + m ( )f x n a b c a b c n+ + = 4 8ab bc ac abc+ + ≥ [ 1, )− +∞ m ( ) ( ) 3 1g x f x x x x x= − = − + − − ( )g x m n 2a b c+ + = "1" 3 4, 1 ( ) ( ) 3 1 2,1 3 4, 3 x x g x f x x x x x x x x x − + ≤ = − = − + − − = − + < <  − ≥ ( )g x ( ,3]−∞ (3, )+∞ min( ) (3) 1g x g= = − ( ) mg x ≤ 1m ≥ − m [ 1, )− +∞ ( ) | 3| | 1| | ( 3) ( 1) | 2f x x x x x= − + − ≥ − − − = 1 3x≤ ≤ 2n = 2a b c+ + = 1 1 4 4 4( ) 1 1 4a a b b c ca b c a b c b c a c a b  + + + + = + + + + + + + +   4 46 16a b a c b c b a c a c b = + + + + + + ≥ 1 2a = 1 2b = 1c = 1 1 4 8a b c + + ≥ 4 8ab bc ac abc+ + ≥ "1" - 26 -