2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§8-2　空间点、线、面的位置关系（讲解部分） 15页

§８.２ 空间点、线、面的位置关系 高考数学 考点　空间点、线、面的位置关系 1.平面的基本性质 考点清单 名称 图形 文字语言 符号语言 用途 公理1   如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 ①      A ∈ l , B ∈ l ,且 A ∈ α , B ∈ α ⇒ l ⊂ α      证明“点在面内”或“线在面内” 公理2   过② 　不在一条直线上的三点     ,有且只有一个平面 A , B , C 不共线 ⇒ 有且只有一个平面 α ,使得 A ∈ α , B ∈ α , C ∈ α (1)确定一个平面; (2)判断两个平面重合; (3)证明点、线共面 公理3   如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ③      P ∈ α ,且 P ∈ β ⇒ α ∩ β = l ,且 P ∈ l      (1)证明“三点共 线”“三线共 点”;(2)确定两平 面的交线 公理4   平行于同一条直 线的两条直线④ 　平行     若直线 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c 判断直线平行 说明　公理2的推论 推论1　经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面. 推论2　经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3　经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.空间两直线间的位置关系 3.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有以下三种: 位置关系 共面情况 公共点个数 ⑤ 　相交     在同一平面内 有且只有一个 ⑥ 　平行     在同一平面内 零个 ⑦ 　异面     不同在任何一个平面内 零个 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 a 在 平面 α 内   ⑧      a ⊂ α      有无数个 公共点 直线 a 与平 面 α 相交   ⑨      a ∩ α = A      有且只有 一个公共点 直线 a 与平 面 α 平行   ⑩      a ∥ α      没有公共点 说明　直线 l 和平面 α 相交、直线 l 和平面 α 平行统称为直线 l 在平面 α 外,记 作 l ⊄ α . 4.两个平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种: 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 平面 α 与 平面 β 平行   α ∥ β 没有公共点 平面 α 与 平面 β 相交   α ∩ β = l 有一条公共直线 注意　(1)如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面 不一定平行;(2)即使一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,也不 能推出这两个平面平行. 5.异面直线 (1)定义:所谓异面直线是指   　不同在任何一个平面内     的两条直线.其 含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.其符号表示为:不存在 平面 α ,使得 a ⊂ α 且 b ⊂ α .当然也可以这样理解: a ∩ b = ⌀ 且 a 、 b 不平行. (2)性质:两条异面直线既不相交也不平行. 6.异面直线所成的角 如图,直线 a , b 是异面直线,经过空间任一点 O 分别作直线 a '∥ a , b '∥ b ,相交直 线 a ', b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,称这两条异面直线互相垂直. 注意　异面直线所成的角的范围是               ,所以空间两直线垂直有 两种情况——异面垂直和相交垂直. 考法一 　平面的基本性质及应用 知能拓展 例1 　已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E , F 分别为 D 1 C 1 , C 1 B 1 的中点, AC ∩ BD = P , A 1 C 1 ∩ EF = Q . 求证:(1) D , B , F , E 四点共面; (2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P , Q , R 三点共线. 解题导引     证明　 如图. (1)连接 B 1 D 1 , 由已知得 EF 是△ D 1 B 1 C 1 的中位线, ∴ EF ∥ B 1 D 1 .在正方体 AC 1 中, B 1 D 1 ∥ BD ,∴ EF ∥ BD . ∴ EF , BD 确定一个平面,即 D , B , F , E 四点共面. (2)正方体 AC 1 中,设平面 A 1 ACC 1 确定的平面为 α ,平面 BDEF 确定的平面为 β . ∵ Q ∈ A 1 C 1 ,∴ Q ∈ α .又 Q ∈ EF ,∴ Q ∈ β ,故 Q 是 α 与 β 的公共点.同理 P 是 α 与 β 的公共点,∴ α ∩ β = PQ .又 A 1 C ∩ β = R ,∴ R ∈ A 1 C .∴ R ∈ α ,且 R ∈ β ,则 R ∈ PQ .故 P , Q , R 三点共线. 方法总结　 1.证明点共线问题的方法: (1)公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再 根据公理3证明这些点都在交线上. (2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过 该点. 3.证明点、直线共面问题的方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明部分点、线确定平面 α ,再证明其余元素确定平面 β , 最后证明平面 α , β 重合. 考法二　 求异面直线所成角的方法 例2     (1)已知四棱锥 P - ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是 PB 的中 点,则异面直线 AE 与 PD 所成角的余弦值为(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (2)(2018四川泸州模拟,7)在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为 BC 的中点, F 为 B 1 C 1 的中点,则异面直线 AF 与 C 1 E 所成角的正切值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析 　(1)设棱长都为1, 连接 AC , BD 交于点 O ,连接 OE .∵所有棱长都相等, ∴四边形 ABCD 是正方形, ∴ O 是 BD 的中点,又∵ E 为 PB 的中点,∴ OE ∥ PD , ∴∠ AEO (或其补角)为异面直线 AE 与 PD 所成的角. 又 OE =   PD =   , AE =   AB =   , OA =   AC =     =   ,∴在△ OAE 中,由 余弦定理得cos∠ AEO =   =   .即异面直线 AE 与 PD 所成角的 余弦值为   . (2)以 D 为坐标原点, DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x , y , z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系,设正方体的棱长为2,可得 A (2,0,0), B (2,2,0), C (0,2,0), B 1 (2,2,2), C 1 (0,2,2), 由 E , F 分别为 BC , B 1 C 1 的中点,得 E (1,2,0), F (1,2,2), 则   =(-1,2,2),   =(1,0,-2), 则cos<   ,   >=   =   =-   ,故异面直线 AF 与 C 1 E 所成角的余弦值为   , 则异面直线 AF 与 C 1 E 所成角的正弦值为   =   , 可得异面直线 AF 与 C 1 E 所成角的正切值为   ,故选C.   答案 　(1)C　(2)C 方法总结 　异面直线所成角的求法步骤: 1.几何法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤: 2.向量法求异面直线所成角 建立空间直角坐标系后,确定两异面直线各自的方向向量 a , b ,则两异面直 线所成角 θ 满足cos θ =   .