【数学】2019届高考一轮复习北师大版理3-6利用导数研究函数零点问题学案 8页

第6讲　利用导数研究函数零点问题 ‎　　　　　　数形结合法研究零点问题 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.‎ ‎(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；‎ ‎(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)F(x)＝ax2－2ln x，‎ 其定义域为(0，＋∞)，‎ 所以F′(x)＝2ax－ ‎＝(x＞0)．‎ ‎①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞，‎ 由ax2－1＜0，得0＜x＜，‎ 故当a＞0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．‎ 故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等解．‎ 令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，‎ 则φ(x)max＝φ()＝，‎ 而φ(e)＝，φ()＝.‎ 由φ(e)－φ()＝－＝＝＜＜0，‎ 所以φ(e)＜φ()．‎ 所以φ(x)min＝φ(e)，‎ 如图可知φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a＜.‎ 即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时a的取值范围为[，)．‎ 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．　 ‎ ‎　　　　　　利用函数性质研究函数零点 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．‎ ‎(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；‎ ‎(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，‎ g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，‎ 所以，所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.‎ ‎(2)由g(x)＝2exf(x)，‎ 可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋.‎ 设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，‎ 所以h′(x)＝1＋－＝，‎ 所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：‎ x ‎1‎ ‎(1，e)‎ h′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ 单调递减 极小值(最小值)‎ 单调递增 又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.‎ 且h(e)－h＝4－2e＋<0.‎ 所以实数a的取值范围为40；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1‎ ‎，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：‎ 不符合题意，排除A、C.‎ 当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．‎ 不符合题意，排除D.‎ ‎3.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：‎ ‎(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，‎ 所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.‎ 因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，‎ 所以 解得a＝－，b＝－2，‎ 由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，‎ 当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，‎ 故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，‎ 在(－1，2)上单调递减．‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，‎ 函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，‎ 在(－1，2)上是减函数，‎ 所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，‎ 极小值为f(2)＝c－.‎ 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 解得－＜c＜.‎ 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.‎ ‎4．已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.‎ ‎(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．‎ 解：(1)f′(x)＝－＋＝，‎ 令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，‎ 所以f(x)在(0，1)上单调递减，‎ 在(1，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，‎ 由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，‎ 使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，‎ 即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，‎ 而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，‎ F(x)→＋∞，‎ 画出函数F(x)的草图，如图所示．‎ 故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．‎ ‎1．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，‎ 则f′(x)＝1－＝，‎ 由f′(x)＞0，得x＞2，‎ 由f′(x)＜0，得0＜x＜2，‎ 故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．‎ ‎(2)因为f(x)＜0在区间上恒成立不可能，‎ 故要使函数f(x)在上无零点，‎ 只要对任意的x∈，f(x)＞0恒成立，‎ 即对x∈，a＞2－恒成立．‎ 令h(x)＝2－，x∈，‎ 则h′(x)＝，‎ 再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，‎ 则m′(x)＝＜0，‎ 故m(x)在上为减函数，‎ 于是，m(x)＞m＝4－2ln 3＞0，‎ 从而h′(x)＞0，于是h(x)在上为增函数，‎ 所以h(x)＜h＝2－3ln 3，‎ 所以a的取值范围为[2－3ln 3，＋∞)．‎ ‎2．(2018·豫南九校联考)对于函数y＝H(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0·H(x0)＝1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(x＋1)2－1.‎ ‎(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；‎ ‎(2)若当x≥1时，不等式xf(x)≤m[g(x) －x]恒成立，试求实数m的取值范围．‎ 解：(1)证明：设h(x)＝ln x－(x＞0)，‎ 则h′(x)＝＋＞0(x＞0)，‎ 所以h(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．‎ 而h(1)＜0，h(e)＞0，‎ 所以函数h(x)有零点且只有一个零点．‎ 所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．‎ ‎(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，‎ 设d(x)＝2ln x－m，x≥1.‎ 则d′(x)＝，x≥1，‎ 易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4 m2.‎ ‎①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；‎ ‎②当0＜m＜1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0＜x1＜1＜x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；‎ ‎③当m＝0时，d′(x)＞0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；‎ ‎④当－1＜m＜0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；‎ ‎⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意．‎ 综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．‎