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  • 2021-06-16 发布

高中数学必修2教案:3_3_2两点间的距离

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‎3.3.2 两点间的距离 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能:掌握直角坐标系两点间的距离,用坐标证明简单的几何问题。‎ ‎2.过程与方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。;‎ ‎3.情态和价值:体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题。‎ ‎(二)教学重点、难点 重点,两点间距离公式的推导;难点,应用两点间距离公式证明几何问题。‎ ‎(三)教学方法 启发引导式 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 复习数轴上两点的距离公式.‎ 设问一:‎ 同学们能否用以前所学知识解决以下问题:‎ 已知两点P1 (x1,y1),P2 (x2,y2)求|P1P2|‎ 设置情境导入新课 概念形成 过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为N1 (0,y),M2 (x2,0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.‎ 在直角△ABC中,|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2,为了计算其长度,过点P1向x轴作垂线,垂足为M1 (x1,0)过点P2向y轴作垂线,垂足为N2 (0,y2),于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2,‎ ‎|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.‎ 由此得到两点间的距离公式 在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到.‎ 通过提问思考教师引导,使学生体会两点间距离公式形成的过程.‎ 应用举例 例1 已知点A (–1,2),在x轴上求一点,使|PA| = |PB|,并求|PA|的值.‎ 解:设所求点P (x,0),于是有 教师讲解思路,学生上台板书.‎ 教师提问:还有其它的解法,由学生思考,再讨论提出 解法二:由已知得,线段AB ‎ ‎ ‎∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11‎ 解得x = 1‎ ‎∴所求点P (1,0)且 同步练习,书本112页第1、2题.‎ 的中点为,直线AB的斜率为 线段AB的垂直平分线的方程是 在上述式子中,令y = 0,解得x = 1.‎ 所以所求点P的坐标为(1,0).因此 通过例题讲解,使学生掌握两点间的距离公式及其应用.‎ 例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算“翻译”成几何关系.‎ 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0,0).‎ 设B (a,0),D (b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b,c),因为|AB|2 = a2,|CD|2 = a2,‎ ‎|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2‎ ‎|AC|2 = (a + b)2 + c2,‎ ‎|BD|2 = (b – a)2 + c2‎ 所以,|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = ‎ ‎2 (a2 + b2 + c2)‎ 此题让学生讨论解决,再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤:‎ 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量.‎ 第二步:进行有关代数运算.‎ 第三步:把代数结果“翻译”成几何关系.‎ 思考:同学们是否还有其它的解决办法?‎ 还可用综合几何的方法证明这道题.‎ 让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.‎ ‎|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以,‎ ‎|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2‎ 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.‎ 归纳总结 主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角坐标系的重要性.‎ 师生共同总结 让学生更进一步体会知识形成过程 课后作业 布置作业 见习案3.3的第二课时.‎ 由学生独立完成 巩固深化 备选例题 例1 已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标 ‎【解析】设点P的坐标为 (x,0),由|PA| = 10,得:‎ ‎ 解得:x = 11或x = –5.‎ 所以点P的坐标为(–5,0)或(11,0).‎ 例2 在直线l:3x – y – 1 = 0上求一点P,使得:‎ ‎(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;‎ ‎(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.‎ ‎【解析】(1)如图,B关于l的对称点B′(3,3).‎ AB′:2x + y – 9 = 0‎ 由 解得P(2,5).‎ ‎(2)C关于l对称点 由图象可知:|PA| + |PC|≥|AC′|‎ 当P是AC′与l的交点时“=”成立,‎ ‎∴.‎ 例3 如图,一束光线经过P (2,1)射到直线l:x + y + 1 = 0,反射后穿过点Q (0,2)求:(1)入射光线所在直线的方程; (2)沿这条光线从P到Q的长度.‎ ‎【解析】(1)设点Q′(a,b)是Q关于直线l的对称点 因为QQ′⊥l,k1 = –1,所以 又因为Q′Q的中点在直线l上,所以 所以得,所以Q′(–3,–1)‎ 因为Q′在入射光线所在直线l1上,设其斜率为k,‎ 所以 l1:即2x – 5y + 1 = 0‎ ‎(2)设PQ′与l的交点M,由(1)知|QM| = |Q′M|‎ 所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| = ‎ 所以沿这光线从P到Q的长度为.‎ 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.‎