哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题 3页

高三一模·理科数学·第 1 页 共 3 页 哈尔滨市第六中学校 2020 届第一次模拟考试试题 理科数学 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题 卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式： 样本数据 nxxx ,,, 21  的标准差  22 2 2 1 )()()(1 xxxxxxns n −++−+−=  ，其 中 x 为样本的平均数 柱体体积公式 ShV = ，其中 S 为底面面积， h 为高；锥体体积公式 ShV 3 1= ，其 中 S 为底面面积， h 为高 球的表面积和体积公式 24 RS = ， 3 3 4 RV = ，其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的． 1.已知集合 },1{},2|{ 2 aBxxZxA =−= ，若 AB  ，则实数 a 的取值集 合为 （ ） A. }2,0,1,1{− B. }2,0,1{− C. }2,1,1{− D. }2,0{ 2.已知复数 i i iz −++= 121 5 ，则 |z| 值为（ ） A.1 B. 13 C. 2 23 D. 2 10 3.若实数 yx, 满足不等式组    + −− −− 2 0154 042 yx yx yx ，则 yxz 23 −= 的最小值为（ ） A. 3 2− B. 9 10 C. 4 D. 9 19 4.设 nS 为正项递增等比数列 }{ na 的前 n 项和，且 423 22 aaa +=+ ， 1651 =aa ，则 6S 的值为（ ） A. 63 B.64 C.127 D.128 5. 哈六中开展劳动教育，决定在 5 月 12 日植树节派小明、小李等 5 名学生去附近的两个植树点去 植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为 （ ） A. 8 B.10 C.12 D.14 6. 若 20,20   ， 5 5)23sin( =−  ， 5 4)32cos( =−  ，则 2cos  − 的值为（ ） A. 5 5 B. 25 511 C. 5 52 D. 25 57 7.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这 样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ” 其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺， 问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 0.5 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图 所示 （阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦 AB=1 尺，弓形高 1=CD 寸，估算该木材镶嵌墙内部分 的体积约为（ ）（注：一丈=10 尺=100 寸， 13 55.22sin3.14  ， ) A.300 立方寸 B.305.6 立方寸 C.310 立方寸 D.316.6 立方寸 姓名 班级 装 订 线 考号 高三一模·理科数学·第 2 页 共 3 页 8.已知双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2 =− bab y a xC 的右焦点为 )02( ，F ，过 F 作双曲线C 一条渐近线的垂 线，垂足为点 ,A 且与另一条渐近线交于点 B ，若 AFBA = ，则双曲线方程为（ ） A. 13 2 2 =− yx B. 13 2 2 =− yx C. 1124 22 =− yx D. 1312 22 =− yx 9.已知函数 )2||,0)(2sin(2)(  += xxf 的最小正周期为 2 ，函数 )(xf 图象关于直线 6 =x 对称，且满足函数 )(xf 在区间 ]6,6[ − 上单调递增，则 = （ ） A. 3  B. 3 − C. 6 − D. 6  10.已知 )(xf 为定义在 R 上的奇函数，且 )()2( xfxf −=+ ，当 ]1,0[x 时， 22)( xxf = ，则函 数 ||log)()( 2 1 xxfxg −= 的零点个数为（ ） A.3 B. 4 C.5 D. 6 11.如图，三棱锥 ABCS − 中，平面 ⊥SAC 平面 ABC ，过点 B 且与 AC 平行的平面 分别与棱 SA、 SC 交于 FE, ,若 22,2 ===== ACBCBASCSA ,则下列结论正确的序号为（ ） ① EFAC // ； ②若 分别为 , 的中点，则四棱锥 AEFCB− 的体积为 2 2 ； ③若 分别为 , 的中点，则 BF 与 所成角的余弦值为 3 3 ； ④ BESC ⊥ . A.②③ B.①②④ C.①②③ D.①② 12. 过直线 xy = 上一点 P 可以作曲线 xxxf ln)( −= 两条切线，则 点 P 横坐标t 的取值范围为（ ） A. 1t B. 0t C. 10 t D. 11  te 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本试卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在机读卡上相应的 位置． 13.平面向量 ba, 满足 1||,2|| == ba ， ( )baa −⊥ 2 ，则 || ba + 的值为 . 14.一批电池(一节)用于无线麦克风的寿命服从均值为 34.3 小时，标准差为 4.3 小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少 于 30 个小时的概率 . （参考数据： 0.6826)( =+−  XP ， 0.9544)22( =+−  XP ） 15. 已知数列 }{ na 满足， *)2,()1(,1 2 11 Nnnnaaa n nn −=−−= − , 则 =20a . 16.已知抛物线 xyC 4: 2 = 的焦点为 F ，过 的直线交抛物线于 BA, 两点,若点 )1,1(−M ，且 MBMA ⊥ ,则弦 AB 的长度为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤． 17.（本小题满分 12 分） 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， ABC 为正三角形， 41 == AAAB ，F 为 BC 的中点．点 E 在棱 CC1 上，且 ECEC 31 = . （Ⅰ）求证：直线 ⊥FB1 平面 AEF ； （Ⅱ）求二面角 FAEB −−1 的余弦值. 装 订 线 高三一模·理科数学·第 3 页 共 3 页 18.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，设边 cba ,, 所对的角分别为 CBA ,, ， 且 .sin2sin,6cos322 BACaba ==−+ （Ⅰ）若 2=b ，求 Atan 的值； （Ⅱ）若 的面积为 2 b ，求 ba + 的值. 19.（本小题满分 12 分） 甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得 1 分，负者得 0 分（无平局），约定 一方得 4 分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束，设在每局比赛中，甲获胜的 概率为 3 2 ，乙获胜的概率为 3 1 ，各局比赛结果相互独立，已知前 3 局中，甲得 1 分，乙得 2 分. （Ⅰ）求甲获得这次比赛胜利的概率； （Ⅱ）设 X 表示从第 4 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学 期望. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ）（： 112 2 2 =+ aya xC 的左右焦点分别为 21, FF ，过点 1F 的直线l 的倾斜 角为锐角， P 为椭圆的上顶点，且 21 PFPF ⊥ . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交异于点 P 的两点 BA, ，且直线 PBPA, 与直线 02 =−+ yx 分别交于不同两点 NM , ，当 MN 最小时，求直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 xexxf )2()( −= . （Ⅰ）判断方程 xxxf −+=+ )1ln()1( 的根个数； （Ⅱ）若 0x 时， )12()( 2 −− xxkxf 恒成立，求实数 k 的取值范围. 请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分． 22. （本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为    += =   sin1 cos y x （ 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 4sin = . （Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线 3  = 与曲线 交于 AO, 两点，与直线 交于 B 点，射线 3 2 = 与曲线 交于 PO, 两点，求 PAB 的面积. 23.（本小题满分 10 分） 选修 4—5：不等式选讲 已知 |||12|)( axxxf −+−= （Ⅰ）当 3=a 时，解关不等式 5)( xf ； （Ⅱ）若 1x 时，方程 1)( 2 += xxf 有两个不同解，求实数 a 的取值范围. 姓名 班级 装 订 线 考号