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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年四川省成都外国语学校高一下学期5月月考试题 数学
*注意事项:
1、本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分
2、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
3、本堂考试时间120分钟,满分150分
4、考试结束后,请考生将答题卷交回
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单选题(共12题;共60分)
1.计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于( )
A. B. C. D.
2.若 为实数,则下列命题正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
3.等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 等于( )
A. 58 B. 54 C. 56 D. 52
4.在 中, =60°, , ,则 等于( )
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 30°
5.等比数列 的各项均为正数,且 ,则
A. 12 B. 8 C. 10 D.
6.如图所示,正方形 的边长为 ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
A. B.
C. D.
8.《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的两份之和的 是较小的三份之和,则最小的1份为( )
A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅
9.已知不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
10.(文)已知 则 的值等于( )
A. B. C. D.
(理)已知 ,则 =( )
A. B. C. D.
11.若两个正实数x,y满足 ,且不等式 有解,则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
12.(文)已知点A,B,C,D在同一个球面上,AB=3,BC=4,AC=5,若四面体ABCD 体积的最大值为10 ,则这个球的表面积是( )
A. B. C. D.
(理)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1 , n∈N* , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1 , n∈N* , (P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A .{Sn}是等差数列 B .{Sn2}是等差数列 C .{dn}是等差数列 D .{dn2}是等差数列
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(共4题;共20分)
13.不等式 的解集为________.
14.长方体 的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5,则该长方体的外接球表面积为________.
15.已知数列满足:a1=1,an+1= ,(n ∈ N*),若bn+1=(n﹣λ)( +1),b1=﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为________.
16.(文)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是________.
(理)已知 的内角 的对边分别为 ,若,则 的最小值为________.
三、解答题(共6题;共70分)
17.已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)求此几何体的表面积;
(2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.
18.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(1) 求的值;
(2) 若求的面积。
19.已知向量 =(-2cos2x, ), =(1,sin2x),函数f(x)= • +1.
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间;
(2)设 的内角 A,B,C的对边分别 a,b,c且 c=3, ,若 ,求a,b值.
20.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列{bn}满足a1=b1,点P(bn, bn+1)在直线x﹣y+2=0上,n∈N* .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设 ,求数列{cn}的前n项和Tn .
21.建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计,是实现中国梦的重要内容.习近平指出:“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区,其调研小组研究发现:一棵水果树的产量 (单位:千克)与肥料费用 (单位:元)满足如下关系: 。此外,还需要投入其它成本(如施肥的人工费等) 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克,且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为 (单位:元)。
(Ⅰ)求 的函数关系式;
(Ⅱ)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
22.设正数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求证数列 为等差数列,并求数列 的通项公式.
(2)若数列 ,设 为数列 的前 项的和,求 .
(理)(3)若 对一切 恒成立,求实数 的最小值.
成都外国语学校2018-2019学年度下期5月月考数学答案解析
一、 单选题
1-5 ABDCC 6-9 BADB 10. (文)B (理) D 11. D 12. (文)D (理)A
8.【答案】D
【解析】【解答】设五个人所分得的面包为 (其中 ),
因为把100个面包分给五个人,
所以 ,解得 ,
因为使较大的两份之和的 是较小的三份之和,
所以 ,得 ,
化简得 ,所以 ,所以最小的1份为 ,
故答案为:D.
10.(理)
11.【答案】 D
【解析】【解答】若不等式 有解,即 即可,
则 ,
当且仅当 ,即 ,即 时取等号,此时 , ,
即 ,
则由 得 或 ,即实数m的取值范围是 ,
故答案为:D.
12.(文)
12(理)【答案】A
二、填空题
15.【答案】λ<2
【解析】解:∵数列{an}满足:a1=1,an+1= ,(n∈N*), ∴ ,化为 ,
∴数列 是等比数列,首项为 +1=2,公比为2, ∴ ,
∴bn+1=(n﹣λ)( +1)=(n﹣λ)•2n , ∵b1=﹣λ,且数列{bn}是单调递增数列, ∴bn+1>bn ,
∴(n﹣λ)•2n>(n﹣1﹣λ)•2n﹣1 , 化为λ<n+1,
∵数列{n+1}为单调递增数列,∴λ<2. ∴实数λ的取值范围为λ<2.
16. (文)
16(理)【答案】
【解析】【解答】解:由余弦定理 及 ,得
即 ,再由正弦定理,得 即 ,即 所以 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最小值为
故答案为:
【分析】由正弦定理和余弦定理可求解。
三、解答题
17.【答案】 (1)解:由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.底面圆半径长a,圆柱高为2a,圆锥高为a.
所以
(2)解:沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如上图,则,
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为
18.【答案】(1)(2) 9
【解析】(1)由,得,所以.
(2)由可得, ,由正弦定理知:.
又,
所以
19.【答案】(1)解:f(x)=a•b﹣1=1×(-2cos2x)+ sin2x
=(﹣1)﹣cos2x+ sin2x+1=2sin(2x﹣ )
∴最小正周期T=
由sinx的图象和性质,可知x ,(k∈Z)是增区间.
∴2x﹣ 是增区间,解得: ,(k∈Z)
所以,f(x)的单调增区间为: ,(k∈Z)
(2)解: f(C)=2sin(2C-)=2,∴sin(2C-)=1,
∵0<C<π, ∴0<2C<2π, ∴-<2C-<, ∴2C-=, ∴C=.
∵sin(A+C)=2sinA, ∴sinB=2sinA,由正弦定理=, ①
∵由余弦定理得:c²=a²+b²-2abcos,即a²+b²-ab=9,②
∴联立①、②解得a=,b=2
20.【答案】(1)解:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1(n≥2),
两式相减得an+1﹣an=2an , 所以an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1 .
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列. 所以an=3n﹣1 .
由点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上,所以bn+1﹣bn=2.
则数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. 则bn=1+(n﹣1)•2=2n﹣1
(2)解:因为 ,所以 .
则 ,
两式相减得: .
所以 = 21.【答案】解:(Ⅰ)
(Ⅱ)当
当
当且仅当 时,即 时等号成立
答:当投入的肥料费用为30元时,种植该果树获得的最大利润是430元.
22.【答案】(1)解:∵正数列 的前 项和为 ,且 ,
∴ , ∴ ,
∴ , ∵ ,解得 ,
所以是首项为1,公差为1的等差数列 ∴ ,∴ ,
∴ ,
当 时, ,∴
(2)解: , ∴ ,
∴
(3)解: 对一切 恒成立,
∴ ,
∴
当且仅当 时取等号,故实数 的最小值为
【解析】【分析】(1)本道题目关键在于得出 , 进而构建出为一个等差数列,进而再利用算出通项。
(2)本道题目利用第一问得结论计算出的通项公式,然后再利用裂项相消法算出前n项和。
(3)这道题目关键在于将与n分离,然后利用基本不等式判断出的范围。