广东省汕头市2019-2020高二数学下学期期末试题（人教新课标A版附答案） 14页

广东省汕头市2019-2020学年高二下学期期末考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（其中为虚数单位）的虚部等于（ ）‎ ‎ A． B． C．1 D．0‎ ‎3．如图所示，在中，点是边的中点，则向量（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．的展开式中第5项的二项式系数是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，正四棱锥底面的四个顶点， ，，在球的同一个大圆（半径最大的圆）上，点在球面上，如果，则球的体积是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）‎ ‎ A．关于直线对称 B．关于点对称 ‎ C．关于直线对称 D．关于点对称 ‎7．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎8．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．16天中每日新增确诊病例数量不断下降且19日的降幅最大 ‎ B．16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 ‎ C．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000‎ ‎ D．19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 ‎ ‎ ‎10．双曲线的左、右焦点分别为点、，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．该双曲线的离心率为 ‎ B．该双曲线的渐近线方程为 ‎ C．点到两渐近线的距离的乘积为 ‎ D．若，则的面积为32‎ ‎11．正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．平面 B．平面 ‎ C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面为等腰梯形 ‎12．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述，描述正确的是（ ）‎ ‎ A．的图象是中心对称图形 B．的图象是轴对称图形 ‎ C．函数的值域为 D．方程有两个解 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若，则__________．‎ ‎14．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离为__________．‎ ‎15．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有__________．（用数字作答）‎ ‎16．若，，且，则此时__________，的最小值为__________．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎ 在中，已知角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知是等比数列的前项和，、、成等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱中，，点在上，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小的正切值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）求回归直线方程，其中，；‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于．‎ ‎（1）求该椭圆方程；‎ ‎（2）若直线交该椭圆于、两点，且，求实数的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，关于的方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．‎ 广东省汕头市2019-2020学年高二下学期期末考试 数学试题参考答案及解析 ‎1．D 【解析】∵集合， ∴．‎ ‎2．B 【解析】，所以虚部为．‎ ‎3．D 【解析】∵点是边的中点，．‎ ‎4．D 【解析】第5（即）项的二项式系数为．‎ ‎5．D 【解析】‎ 如图，正四棱锥的底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，‎ 点在球面上，平面，四边形是正方形，‎ 由得，‎ 所以，，，‎ 所以，解得，‎ 所以球的体积为．‎ ‎6．B 【解析】‎ ‎∵，∴，于是，‎ ‎∵在对称轴上取到最值，∴，故A不对；‎ ‎，故C不对；‎ 又∵，故D不对．‎ ‎7．D 【解析】‎ 对于A，，，故A不对；‎ 对于B，，，由图知B不对；‎ 对于C，，，由图知C不对．‎ ‎8．D 【解析】‎ 由题意设直角三角形中较小的直角边是1，‎ 则较大的直角边是3，则斜边是，则大正方形的面积是10，‎ 则4个三角形的面积是，‎ 故小正方形的面积是4，‎ 故满足的条件的概率．‎ ‎9．BC 【解析】‎ 由频率分布折线图可知，16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一天有增有减，故A错误；‎ 由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量，则16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数，故B正确；‎ 由图可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000，故C正确；‎ 由图可知，20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故D错误．‎ ‎10．BC 【解析】‎ 由题意可知，，，，故离心，故A错误；‎ 由双曲线的性质可知，双曲线的渐近线方程为 即，B正确；‎ 设，则到两渐近线的距离之积 ‎，C正确；‎ 若，则，得 所以的面积，D错误．‎ ‎11．AD 【解析】‎ 正方体中，、分别为棱和棱的中点，‎ 如图所示：‎ ‎①对于选项A：，分别为棱和棱的中点，‎ 所以，由于平面，不在平面内，‎ 所以平面，故选项A正确．‎ ‎②对于选项B：由于平面，平面和平面为相交平面，‎ 所以不可能垂直平面，故B错误．‎ ‎③对于选项C：，为等边三角形，所以，‎ 即异面直线与所成的角为．故C错误．‎ ‎④对于选项D：连接，，，‎ 由于，，‎ 所以：平面截正方体所得截面为等腰梯形，故D正确．‎ ‎12．BC 【解析】‎ 由题意值，而，‎ 所以，即函数的值域为，故C正确．‎ 由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故A错误．‎ 因为 所以，即函数关于对称，故B正确．‎ 设，则方程，等价为，‎ 即，所以，或．‎ 因为函数，所以当或时，不成立，‎ 所以方程无解，故D错误．‎ ‎13．【答案】．‎ ‎【解析】，∴．‎ ‎14．【答案】5．‎ ‎【解析】圆心，代入，得，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴或，，‎ ‎∴．‎ ‎15．【答案】240‎ ‎【解析】先选择2本书作为一组有种选法，其余3本书每本一组，把这四组书分配给4个人有种分法，所以共有种分配方案．‎ ‎16．【答案】4，‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以，‎ ‎（2）因为，又，，‎ 所以，‎ 当且仅当，即，取等．‎ ‎17．【解】（1）由余弦定理及正弦定理得：‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 即（当且仅当时取等号）‎ ‎∴‎ ‎∴面积的最大值是．‎ ‎18．【解】（1）设等比数列的公比为，‎ ‎∵、、成等差数列，‎ ‎∴，即，‎ 又，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 设，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎19．【解】依题设知，．‎ ‎（1）证明1：连接交于点，则．‎ 又平面，由三垂线定理知，．‎ 在平面内，连接交于点，由于，‎ 故，，与互余．‎ 于是，与平面内两条相交直线，都垂直，‎ 所以平面．‎ ‎（1）证明2：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．‎ 依题设，，，，．‎ ‎，，，‎ 因为，，‎ 故，．‎ 又，所以平面．‎ ‎（2）解：设向量是平面的法向量，‎ 则，．‎ 故，．‎ 令，则，，．‎ 是平面的法向量 ‎，∴，‎ 由图知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的大小的正切值为．‎ ‎20．【解】（1）由题意，，‎ ‎；‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）设工厂获得的利润为元，则 ‎，，‎ ‎∴该产品的单价应定为元时，工厂获得的利润最大．‎ ‎21．【解】（1）由椭圆的定义可得，即，‎ 由，可得，则，‎ 可得椭圆的方程为 ‎（2）设，，‎ 将直线方程代入椭圆方程，‎ 可得，‎ 由，‎ 解得．‎ 又，，‎ 由，可得，‎ 即为，‎ 即有，‎ 即有，‎ 可得，‎ 解得，满足．则的值为．‎ ‎22．【解】（1）由已知可知的定义域为 根据题意可得，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵‎ ‎①当时，由可得或；‎ 由可得 ‎∴在，上单调递增，在上单调递减 ‎②当时，由可得或；‎ 由得 ‎③当时，在区间上恒成立．‎ 当时，由可得；‎ 由得 综上所述：当时，‎ 在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在，‎ 上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增．‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（3）当时，，‎ 由（2）问知，在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎∴的极大值为，‎ 的极小值为，‎ 又∵当时，；‎ ‎∵当时，；‎ 故当，‎ 函数方程在上有三个不同的实数根，‎ 因此实数的取值范围是．‎