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- 2021-06-16 发布
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上海市浦东新区进才中学2019-2020学年高一下学期
期末考试数学试题
一、填空题
1. .
2.2和8的等差中项是 .
3.方程组的系数矩阵是 .
4.函数的最小值为 .
5.等差数列中,,,设为数列的前项和,则 .
6.设等比数列的各项均为正数,,则的通项公式为 .
7.将无限循环小数化为分数,则所得的最简分数为 .
8.用数学归纳法证明“”时,由不等式成立,推证时,左边应增加的项数共 项.
9.数列中,若,,则的通项公式为 .
10.在内有一系列正方形,边长依次为,
,,所有正方形的面积的和为 .
11.已知等差数列满足:,,数列的前项和为,则的取值范围是 .
12.已知数列满足,,则的整数部分是 .
二、选择题
13.设等比数列中,,公比为,则“”是“是递增数列”的( ).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
14.已知数列满足:,.则数列中满足的项共有( )项.
A.0 B.1 C.2 D.3
15.若数列对任意满足,下面给出关于数列的四个命题:①可以是等差数列;②可以是等比数列;③可以既是等差又是等比数列;④可以既不是等差又不是等比数列.正确命题的个数为( ).
A. B. C. D.
16.若数列满足(,为常数),则称数列为调和数列.已知数列为调和数列,且,则( ).
A.10 B.20 C.30 D.40
三、解答题
17.在中,,,.
(1)求角的值;
(2)求边上的高.
18.已知等比数列的前项和为,,,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求无穷数列的各项和.
19.已知数列满足:,且为等差数列,数列的前项和为.
(1)求的通项公式;
(2)求.
20.设数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
21.已知数列,记集合.
(1)对于数列:,,,,写出集合;
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一组符合条件的;若不存在,说明理由;
(3)若,把集合中的元素从小到大排列,得到的新数列为,若,求的最大值.
参考答案
一、填空题
1. 2.5 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.3
【第4题解析】由,
所以函数的最小值为.
【第7题解析】.
【第9题解析】由,∴是以为首项,公比为3等比数列,∴,从而.
【第10题解析】由平面几何知识可得,由此可知是首项为,公比为的等比数列,故所有正方形的面积的和为.
【第11题解析】由题意,则,
∴,令,则
∴.
【第12题解析】一方面,由,
∴,即,
∴
.
另一方面,由,
∵,∴,即,数列单调递增.
计算可知,,,,,,,
∴,∴,即的整数部分是.
二、选择题
13.C 14.C 15.C 16.B
【第16题解析】∵为调和数列,∴由题意可知为等差数列,
∵,∴,即,
故,答案选B.
三、解答题
17.(1)由题意,为钝角,,
再由正弦定理,可得,∴;
(2)由余弦定理,,
从而.
18.(1);(2).
19.(1);(2).
20.(1);
(2),
分类讨论+错位相减可得.
21.(1);
(2)假设存在,使得,即,
由,∴,
∵与同奇同偶,∴与一奇一偶,
又∵,∴,,
而的正奇因数只有,矛盾,故不存在,使得;
(3)由,
∴,
∵与同奇同偶,∴与一奇一偶,
又∵,∴,,∴,
①当且时,;
②当或时,此时,,为一个正奇数(大于等于3)与一个正偶数的乘积;
由上可知,,
∵有1010个元素,有9个元素,
∴集合中所有小于等于2020的元素个数为,
故使得成立的的最大值为1001.