山东省淄博市第七中学2019-2020学年高一3月线上考试数学试题 14页

高一数学试题 一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有1个正确选项.)‎ ‎1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（ ）‎ A. 1-i B. -1-i C. 1+i D. -1+i ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.‎ ‎【详解】∵复数满足，∴，‎ ‎∴复数的共轭复数等于，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.在ABC中，所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=,=,则ABC的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理代入数据得 考点：解三角形 点评：解三角形的题目常用到正余弦定理实现边与角的互相转化，三角形面积公式为 ‎3.为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由有,所以,因为，，三点共线,所以,则,故有,,选A.‎ 考点：1.向量共线的条件；2.两向量相等的条件.‎ ‎4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，‎ ‎∴A= ，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎∵a=2，c=，‎ ‎∴sinC== ，‎ ‎∵a＞c，‎ ‎∴C=，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎5.在中，点D，E分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（ ）‎ A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形中位线的性质、相等向量的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了三角形中位线性质，考查了相等向量，属于基础题.‎ ‎6.在中，，，分别是内角，，所对的边，若，则的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理和两角和的正弦化简可得，从而得到即.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以即，‎ 因，故，故，所以，为直角三角形，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ ‎7.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）.‎ A. 若，满足，且与同向，则 B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的概念、向量的加法以及向量的数量积即可一一判断.‎ 详解】A项错误，向量不能比较大小；‎ B项正确，利用向量加法的运算法则可判断；‎ C项错误，；‎ D项错误，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的概念、向量加法的三角形法则、向量的数量积，考查了基本知识，属于基础题.‎ ‎8.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量 都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知是平面内向量的一个基底,因此不共线，求出不共线满足的条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可知,平面内的任一向量都可以唯一表示成,‎ ‎∴是平面内表示所有向量的一个基底,.‎ ‎∴不共线, ∴.‎ 故m的取值范围是.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查向量基本定理，考查向量不共线的坐标关系，属于基础题.‎ ‎9.在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，则的面积是 A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，结合余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出结果.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 由余弦定理，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎10.某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在分钟内从处到达处，则此人的最小速度为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得，那么，‎ 于是在△ABC中，＝24，‎ 在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.‎ 故此人在D处距A处还有‎15 km，若此人必须在20分钟，即小时内从D处到达A 处，则其最小速度为15÷＝45(km/h)．‎ 故选B.‎ ‎11.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题意列出关于、的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.‎ ‎【详解】设，其中，则.‎ 由题意得，解得，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.‎ ‎12.已知集合，，，，则实数的值为 （ ）‎ A. 4 B. －‎1 ‎C. 4或－1 D. 1或6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义可得，由复数相等的性质列方程求解即可.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以，‎ 可得，故选B.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(共5个小题，每小题5分，共25分.)‎ ‎13.点在线段上，且，则_______，_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题中条件，表示出，，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的共线，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.‎ ‎14.已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的取值范围是______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设，利用向量的坐标形式，将表示为的函数，求函数的值域可得.‎ ‎【详解】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，由AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则,，又P为线段AC上任意一点，设,‎ 所以 ‎，由，所以.故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，利用向量的坐标形式将向量运算转化为实数运算是处理向量问题的常用方法，引入变量，建立函数是解本题的关键，属于中档题.‎ ‎15.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为,，, 则第四个顶点对应的复数为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为的形式，设出第四个点的坐标和写出前三个点的坐标，根据这四个点构成正方形，则平行的一对边对应的向量相等，写出一对这样的向量，坐标对应相等，得到所设的坐标，得到结果．‎ ‎【详解】=1+2i 设复数，它们在复平面上的对应点分别是．‎ 设正方形的第四个顶点对应的坐标是，‎ ‎∴，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查复数与复平面中的点的对应，根据复数对应的点所在的位置，判断四条边的位置关系，本题结合复数与点对应，复数与向量对应，是一个很好题目．‎ ‎16.在四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状为__________.‎ ‎【答案】菱形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合相等向量的定义得出四边形ABCD是平行四边形，再利用即可判断 ‎【详解】∵，∴，‎ ‎，∴四边形是平行四边形.‎ ‎∵，∴四边形是菱形.‎ 故填菱形 ‎【点睛】本题考查相等向量的性质，考查向量的实际应用，是基础题 ‎17.已知向量不共线，且，若与同向，则实数λ的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．‎ ‎【详解】由于 与同向，所以，‎ 于是 ‎ 整理得，‎ 由于，不共线，所以有 ‎ 整理得，所以λ＝1或λ＝－ ．‎ 又因为k＞0，所以λ＞0，故λ＝1．‎ 答案：1‎ ‎【点睛】利用向量共线的充要条件及同向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．‎ 三、解答题 ‎18.已知，，p和q的夹角是60°，求．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由运算即可得解.‎ ‎【详解】解：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.‎ ‎19.计算：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）1-2+2即为所求复数的实部，2+1-3为所求复数的虚部；‎ ‎（2）2-（-1）+3为所求复数的实部，-1-5+4为所求复数的虚部；‎ ‎(3)a-(‎3a)为所求复数的实部，b-(-4b)+5为所求复数的虚部.‎ ‎【详解】解：（1）原式.‎ ‎（2）原式.‎ ‎（3）原式.‎ ‎【点睛】本题考查了复数加法、减法的混合运算，考查了运算能力，属于基础题.‎ ‎20.如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．‎ ‎（1）求||；‎ ‎（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．‎ ‎①当λ=时，求•；‎ ‎②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）①② ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理求出的长即得||； （2）① 时，分别是的中点，表示出，，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数，使得⊥，利用分别表示出 和 ‎ 求出 时的值即可．‎ ‎【详解】（1） 且 ‎ ‎ ‎（2）①λ=时， =， =，‎ ‎∴D、E分别是BC，AB的中点，‎ ‎∴=+=+，‎ ‎=（+），‎ ‎∴•=（+）•（+）‎ ‎=•+•+•+‎ ‎=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ‎ ‎②假设存在非零实数λ，使得⊥，‎ 由=λ，得=λ（﹣），‎ ‎∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；‎ 又=λ，‎ ‎∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；‎ ‎∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）‎ ‎=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）‎ ‎=﹣3λ2+2λ=0，‎ 解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；‎ 即存在非零实数λ=，使得⊥．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．‎ ‎21.在中，角、、的对边分别是，，满足.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)化简所得三角函数式，结合三角形的性质可得角的值；‎ ‎(2)利用正弦定理将边的取值范围问题转化为三角函数求值域的问题，结合角的范围即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】（1） ，‎ 化简得，所以.‎ ‎（2）由正弦定理得 ，‎ 则，，‎ 所以，‎ 因，所以，，‎ 所以 ‎【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎