【数学】西藏拉萨中学2019-2020学年高一下学期期中考试考试题（解析版） 10页

西藏拉萨中学2019-2020学年高一期中考试 数学试卷 ‎（满分：150分，考试时间：120分钟.请将答案填写在答题卡上）‎ 一、选择题（每小题5分，共计60分）‎ ‎1.若集合，，则集合等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,选C.‎ ‎2.函数是上的偶函数，且在上是减函数，若,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】因为是上的偶函数且在上递减，所以在递增；‎ 又因为，所以；‎ 因为，所以，解得：或，‎ 故选D.‎ ‎3.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 A. 17π B. 18π C. 20π D. 28π ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．‎ ‎4.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点.若三棱锥的体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设球的半径为，则，‎ 当三棱锥的体积最大时，到平面的距离为，‎ 则，解得，球的表面积为：.‎ 故选：C.‎ ‎5.无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线可整理，‎ 当 ，解得，‎ 无论为何值，直线总过定点.故选A.‎ ‎6.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设此直线方程为，将代入，知，故直线方程为.‎ 故选：A.‎ ‎7.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】因为，，所以.‎ 故选：B.‎ ‎8.圆O1：和圆O2：的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．‎ ‎9.直线与圆相切，则实数等于（ ）‎ A. 或 B. 或 ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ‎ 故选C．‎ ‎10.若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（ ）‎ A. 0或4 B. 0或3‎ C. -2或6 D. -1或 ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为，半径，又直线被圆截得的弦长为，‎ 所以圆心到直线的距离，又，所以，‎ 解得或，‎ 故选：A.‎ ‎11.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意：取，解得.‎ 故选：A.‎ ‎12.在内，不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在[0，2π]内，‎ 若sinx，则x，‎ 即不等式的解集为（，），‎ 故选：C．‎ 二、填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13.过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为 ‎14.空间直角坐标系中点，和点关于点对称，则__________.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】由中点坐标公式，得，解得，故.‎ 故答案为：.‎ ‎15.如图,正方体的棱长为2，则图中的点关于轴对称的点的坐标为 ‎__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以线段的中点的坐标为 所以点关于轴的对称点的坐标为.‎ 故答案为：.‎ ‎16.表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距‎80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：‎ ‎①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；‎ ‎②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；‎ ‎③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；‎ ‎④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．‎ 其中，正确信息的序号是________．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．‎ 故答案为①②③.‎ 三、解答题（本大题共计70分）‎ ‎17.已知P(－2，y)是角终边上一点，且＝－，求的值．‎ 解：因为点P到原点的距离为r＝，‎ 所以sin α＝＝－，所以y2＋4＝5y2，‎ 所以y2＝1.‎ 又易知y<0，所以y＝－1，所以r＝，‎ 所以cos α＝＝－，tan α＝＝.‎ ‎18.已知直线经过点（－2，5），且斜率为 ‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ 解：（1）由点斜式方程得，，∴.‎ ‎（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，‎ 解得：或.‎ ‎∴或 ‎19.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程;‎ ‎(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.‎ 解： （1）设，圆的半径为，由题设，从而，故的轨迹方程为．‎ ‎（2）设，由已知得，又点在双曲线上，从而得．由，得，此时，圆的半径，‎ 由，得，此时，圆的半径，故圆的方程为或．‎ ‎20.已知圆.‎ ‎（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；‎ ‎（2）已知不过原点直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且，求点P的轨迹方程.‎ 解：（1）圆C的方程变形为，‎ ‎∴圆心C的坐标为，半径为.‎ ‎（2）∵直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，‎ 故直线的斜率为.‎ ‎∴设直线l的方程为，‎ 又直线与圆相切，‎ 故，整理得 ‎∴或.‎ ‎∴所求直线l的方程为或.‎ ‎（3）连接，则切线和垂直，连接，如下图所示：‎ ‎∴，‎ 又，‎ 故可得 即，‎ ‎∴点P的轨迹方程为.‎ ‎21.如图在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：面平面．‎ 解：（1）为平行四边形，连结，设，为中点，为中点，‎ ‎∴在中，且平面，平面，∴平面；（2）∵平面平面，平面面，四边形为正方形，，平面，∴平面，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，且即，，且，面，面，又∵面，∴平面平面．‎ ‎22.已知圆圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．‎ 解：（1）设圆心，由已知得圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，又∵圆心在直线的下方，∴，∴．‎ 故圆的方程为．‎ ‎（2）由题意设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．‎ 由方程组，得点的横坐标为．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由于圆与相切，所以，∴；‎ 同理，，∴，‎ ‎∴，∵，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积的最大值为，最小值为．‎