北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习数学试题答案 7页

1 人大附中 2019-2020 学年度高三 6 月数学统一练习题 参考答案和评分标准 2020.6.27 一、选择题（共 10个小题，每小题 4分，共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B A B D A A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸中．） 题 号 11 12 13 14 15 答 案 1 2 10 3 ( , ) 3  1 2（ ， ） ①②④ 注：15 题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分 14分） 解： 如果选①：因为 3a  ， 2 6b  ， 2B A   ， 所以在 ABC△ 中，由正弦定理得 3 2 6 sin sin 2A A  ．………………3 分 所以 2sin cos 2 6 sin 3 A A A  ． 故 6 cos 3 A  ．……………………6 分 (0, )A  ， 所以 2 3 sin 1 cos 3 A A   ． 又因为 2B A   ，所以 2 1 cos 2cos 1 3 B A   ．………………9 分 所以 2 2 2 sin 1 cos 3 B B   ．在 ABC△ 中， sin sin( )C A B  sin cos cos sinA B A B  5 3 9  ．……………………12 分 所以 sin 5 sin a C c A   ．……………………14分 如果选②：因为 3a  ， 2 6b  ， sin sin 2B A ， 2 sin 2sin cosB A A ，由正弦定理得：……………………3 分 2 cosb a A ． 故 6 cos 3 A  ，……………………6 分 由余弦定理可得： 2 6 9 24 2 2 6 3 c c     ，………………9 分 2 8 15 0c c   ，解得 5c  或 3.……………………14分 如果选③： 3 15 2 ABCS  ，则 3 15 1 = sin 2 2 ABCS ab C  则： 10 sin 4 C  ，………………3 分 所以 6 cos 4 C   .………………6 分 当 6 cos 4 C  时， 2 2 2 6 2 cos 9 24 2 3 2 6 15 4 c a b ab C          ， 15c  ； 当 6 cos 4 C   时， 2 2 2 6 2 cos 9 24+2 3 2 6 51 4 c a b ab C         ， 51c  . ……………………14 分 17. （本小题满分 14分） 解：（Ⅰ）证明：因为 ADEF 为正方形， 所以 AF AD ．……………………1分 又因为平面 ADEF 平面 ABCD，………2分 且平面 ADEF 平面 ABCD AD ，………3分 AF 平面 ADEF ． 所以 AF 平面 ABCD．………………4分 CD平面 ABCD． 所以 AF CD ．………………6分 （II）由（Ⅰ）可知， AF 平面 ABCD， 所以 AF AB ．又 AF AD ， 90BAD  ，所以 , ,AB AD AF 两两垂直． 分别以 , ,AB AD AF 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图）．…………8 分 因为 1AB AD  ， 3BC  ， 所以 (0,0,0), (1,0,0), (1,3,0), (0,1,0), (0,1,1), (0,0,1)A B C D E F ， 所以 ( 1,0,1), (1,2,0), (0,0,1)BF DC DE    ． 3 设平面CDE 的一个法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0, 0. DC DE       n n 即 2 0, 0. x y z     ……………………10分 令 2x  ，则 1y   ， 所以 (2, 1,0) n ．…………………………12分 设直线BF 与平面CDE 所成角为 ， 则 | 2 ( 1) | 10 sin | cos , | 55 2 BF         n ．………………14 分 18. （本小题满分 14分） 解： （Ⅰ）设事件 A 为” 从表中东部城市中任取一个，空气质量为良” 1 分 6 个东部地区空气质量为良的有上海，石家庄 2 个城市 --------3 分   2 1 6 3 P A   --------------------------------------4 分 （Ⅱ）“优”类城市有 2 个，“轻度污染”类城市有 4 个．4 分 根据题意 的所有可能取值为：1, 2, 3 ． ………………5分 1 2 4 2 3 6 1 ( 1) 5 C C P C     , 2 1 4 2 3 6 3 ( 2) 5 C C P C     ， 3 0 4 2 3 6 1 ( 3) 5 C C P C     ． …8 分  的分布列为： ------------------------10 分 所以 1 3 1 1 2 3 2 5 5 5 E        ． ………………11 分 （III） 2 1S 2 2S ------------------14 分 19．（本小题满分 15分） 解：（I） 0m  时， 2 ( ) x x f x e    2 2 2 2 2 '( ) x x xx e xe x f x ee      ---------------3 分  1 5 3 5 1 5  1 2 3 P 4 设切点为 0 0 0 2 , x x x e       ， 则切线方程为   0 0 0 0 0 2 2 2 x x x x y x x e e     -----------------------------5 分  0,0 点代入，   0 0 0 0 0 2 2 2 x x x x x e e     化简解得 0 0x  --------6分  0 2k f    ------------7 分 (II)法 1： 由题意知 2 2 2 ( ) x x m f x e e    在[1，2]上恒成立，-------------9分 且存在 0x 使得 0 2 2 ( )f x e  整理得 2 2 2 xm x e e   --------------------11分 令   2 2 2 xg x x e e   ，则m 为  g x 在[1，2]上的最大值 ---------12分   2 2 2 xg x e e    ，在[1，2]上单调递减，令   0 2g x x    所以   0g x  在[1，2]上恒成立，当且仅当  2 0g  -------13 分 所以  g x 在[1，2]上单调递增，所以  g x 在[1，2]上的最大值为  2 2g  所以 2m  --------------------15分 法 2： f′（x）＝ ， -----------------------8分 ①当 m+2≥4，即 m≥2时，f′（x）＞0 在（1，2）上恒成立， 故 f（x）在（1，2）上单调递增，则 f（x）在[1，2]上的最大值为 f（2）＝ ， 故 m＝2，满足 m≥2； ---------------------------------- 10 分 ②当 m+2≤2，即 m≤0时，f′（x）＜0 在（1，2）上恒成立， 故 f（x）在（1，2）上单调递减，则 f（x）在[1，2]上的最大值为 f（1）＝ ， 故 m＝2﹣ ，不满足 m≤0，舍去； ------------------------12 分 ③当 2＜m+2＜4，即 0＜m＜2 时，由 f′（x）＝0 可得 x＝ ． x 时，f′（x）＞0；当 x 时，f′（x）＜0， 5 即 f（x）在[1， ）上单调递增，在（ ，2]上单调递减， 故 f（x）的最大值为 2 2 2 2 2 2 2 2 m m m m m f e e            ，即 ， --- --14 分 所以，m＝2，不满足 0＜m＜2，舍去． 综上可知，m＝2． -----------------15 分 20．（本小题满分 14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 5 3 ，所以 2 2 5 1 3 c b a a    ，整理得 2 24 9 b a ． 故椭圆的方程为 2 2 2 2 1 4 9 x y a a   ． 由已知得椭圆过点 3 3 ,1 2        ， 所以 2 2 927 1 4 4a a   ，解得 2 9a  ， 所以椭圆的E 方程为 2 2 1 9 4 x y   ．……………………5 分 （Ⅱ）由题意得直线 l 的方程为 1y kx  ．………………6 分 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， AB 的中点  0 0,C x y 由 2 2 1 1 9 4 y kx x y        消去 y 整理得  2 24 9 18 27 0k x kx    ， 其中 2 2 218 4 9( ) 4 27 ( ) 432(3 1) 0k k k        ． 则 1 2 1 22 2 18 27 , 4 9 4 9 k x x x x k k        ，所以 1 2 0 2 9 2 4 9 x x k x k      ，…………9 分 ∴ 0 0 2 4 1 4 9 y kx k     ，∴点 C 的坐标为 2 2 9 4 , 4 9 4 9 k C k k        ．………………10 分 假设在 x 轴存在点  ,0M m ，使得 AMB 是以 AB 为底的等腰三角形， 则点  ,0M m 为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点． ①当 0k  时，则过点C 且与 l 垂直的直线方程 2 2 1 9 4 4 9 4 9 k y x k k k           ， 6 令 0y  ，则得 2 5 5 44 9 9 k x m k k k        ． 若 0k  ，则 5 5 5 4 1249 2 9k k k k     ，∴ 5 0 12 m   ．………………11 分 若 0k  ，则 5 5 5 4 4 12 9 9k k k k        ，∴ 5 0 12 m  ．………………12 分 ②当 0k  时，则有 0m  ．…………………………13 分 所以存在点 M 满足条件,且 m 的取值范围是 5 5 , 12 12       .……………………14 分 21. （本小题满分 14分） 解： （Ⅰ）有序整点列 1 2 3(0,2), (3,0), (5,2)A A A 与 1 2 3(0,2), (2,5), (5,2)B B B 互为正交点列. -------------------------1 分 理由如下： 由题设可知 1 2 2 3(3, 2), (2,2)  A A A A , 1 2 2 3(2,3) (3 3)B B B B  ， ， , 因为 1 2 1 2 0A A B B , 2 3 2 3 0A A B B 所以 1 2 1 2 2 3 2 3 A A B B A A B B， . 所以整点列 1 2 3(0,2), (3,0), (5,2)A A A 与 1 2 3(0,2), (2,5), (5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------4 分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 1 2 2 3 3 4(3,1), (3, 1) (3,1)A A A A A A   ， ， 设点列 1 2 3 4, , ,B B B B 是点列 1 2 3 4, , ,A A A A 的正交点列， 则可设 1 2 1 2 3 2 3 4 3( 1,3), (1,3) ( 1,3)B B B B B B      ， , 1 2 3   ， ， Z 因为 1 1 4 4,与 与A B A B 相同，所以有          1 2 3 1 2 3 - + - =9 ① 3 +3 +3 =1 ② …………………………8 分 因为    1 2 3 ， ， Z，方程②不成立， 所以有序整点列 1 2 3 40,0), 3,1), 6,0)( ( ( , 9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------10 分 7 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列 (5)A . -------------------------------------------11 分 当 5n  时，设 1 ( , ), , ,i i i i i iA A a b a b  Z 其中 ,i ia b 是一对互质整数， 1,2,3,4i  若有序整点列 1 2 3 4 5, , , ,B B B B B 是点列 1 2 3 4 5, , , ,A A A A A 的正交点列, 则 1 ( , ), 1,2,3,4i i i i iB B b a i    ，由 4 4 1 i+1 =1 1    i i i i i A A B B 得 4 4 =1 1 4 4 =1 1 , . i i i i i i i i i i b a a b                 ① ② ……………………13 分 取 1 ,(0,0)A =3, 1,2,3,4ia i  , 1 2 3 42, 1, 1, 1b b b b      由于 1 2 3 4 5, , , ,B B B B B 是整点列，所以有 , 1,2,3,4i i  Z . 等式②中左边是 3 的倍数，右边等于 1，等式不成立， 所以存在无正交点列的整点列 (5)A . -------------------------------14 分