【数学】重庆市沙坪坝第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考试题（解析版） 15页

重庆市沙坪坝第一中学2019-2020学年高一上学期10月月考 数学试题 www.ks5u.com 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则为( )‎ A. {1,2,4} B. {2,3,4} ‎ C. {0,2,4} D. {0,2,3,4}‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，故选C.‎ ‎2.集合的真子集的个数为（ ）‎ A 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程的解为：，‎ 所以集合，‎ 它的真子集为，，，共有3个真子集.‎ 故选B.‎ ‎3.已知函数，若，则实数的值是（ ）‎ A. 或 B. 或 ‎ C. D. 3或或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】（ⅰ）若，则，‎ ‎，（舍去）；‎ ‎（ⅱ）若，则.综上，或.故选B.‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A：是奇函数，不满足题意；‎ 选项B：是奇函数，不满足题意；‎ 选项C：是偶函数，且在上单调递增，满足题意；‎ 选项D：是偶函数，在上单调递减，不满足题意．‎ 故选C.‎ ‎5.下列各组函数中，与相等的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】选项A：函数与函数的对应关系不同，不满足题意；‎ 选项B：函数与函数的对应关系不同，不满足题意，不满足题意；‎ 选项C：函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，不满足题意；‎ 选项D：函数的定义域为，函数，‎ 定义域为，满足题意．故选D.‎ ‎6.函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要是函数有意义，须满足：，‎ 解得：或，‎ 令，则有，‎ 函数上单调递增，在上单调递减，‎ 而函数是减函数，‎ 根据复合函数单调性同增异减的规则，可知：‎ 在上单调递减，在上单调递增.‎ 故选D.‎ ‎7.已知函数的图像的图象如下，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知f(0)<0，故有，即，‎ 由图可知，函数的两根分别为和，‎ 所以有：，即 ，又故，，‎ 所以 故选A.‎ ‎8.已知函数存在四个单调区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数存在四个单调区间,‎ 函数的图象与轴有两个不同的交点，‎ 则，解之得：或，‎ 故的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎9.已知函数，则函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由，得，‎ 即函数的定义域为，‎ 又观察得函数在上递减，‎ 所以函数在上递减，‎ 所以函数的最大值为，最小值为，‎ 即函数的值域为，‎ 故选C．‎ ‎10.记表示中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数的图象如图，‎ 直线与曲线交点，，，，‎ 故时，实数的取值范围是或.‎ 故选A.‎ ‎11.设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，，若 对一切成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，，‎ 是定义在上的奇函数，则.‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎ 对一切成立，即，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 故选B.‎ ‎12.已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对称，对于任意，都有成立. 则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数的图象关于点中心对称，‎ ‎∴函数的图象关于点中心对称，即函数是奇函数，‎ 对任意的正数，，恒成立，‎ 不妨设，则，‎ 设，则不等式等价为，且函数是偶函数，‎ 即在上为增函数，则函数在上是减函数.‎ 当时，不等式即，即，‎ 所以；‎ 当时，不等式即，即，‎ 所以；‎ 因此不等式的解集为：．‎ 故选：C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把最简答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.已知集合且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，故答案为：.‎ ‎14.定义在上的奇函数满足：当，则_________，‎ ‎__________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). ‎ ‎【解析】由定义在上的奇函数满足：当，‎ 可得，‎ 当，，‎ 则.‎ 故答案为：（1）0；（2）−3.‎ ‎15.已知函数满足： ，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①，‎ 用替换上式中的，得：②，‎ 联立①②，得，‎ ‎,‎ ‎，‎ 令（），‎ 则（），‎ 当时，函数有最小值，.‎ 故答案为：‎ ‎16.已知，函数，若存在，使得，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 即,去掉绝对值可得，‎ 由，可得 ‎∴有 ，‎ 令，显然存对任意使得成立.‎ 为使成立，需，‎ ‎∴实数的取值范围为：.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设函数的定义域为集合. ‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ 解：（1）由题意：‎ ‎∴. ‎ ‎（2），‎ 当时，取得最小值，；‎ 当时，取得最大值，.‎ 又，则，但时，‎ 故值域为.‎ ‎18.已知集合，，. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1）由题意：‎ ‎，∴‎ ‎∴. ‎ ‎（2）∵，∴‎ ‎∵∴ ∴‎ ‎19.已知二次函数对任意，都有，函数的最小值为，且. ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1）设，由 得 ‎ 所以 ‎ ‎（2）由题意：不等式对任意恒成立，‎ ‎①当时，满足题意；‎ ‎②当时，要想使不等式恒成立，则，，‎ ‎∴‎ 综上：的取值范围：.‎ ‎20.已知函数是奇函数，其中. ‎ ‎（1）若在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，求的值.‎ 解：（1）是奇函数 ‎∴，. ‎ ‎∴，故∵在上是增函数. ‎ 当，不满足 当，∴，∴，∴‎ 综上：. ‎ ‎（2）由题意：原不等式等价于 ‎∵‎ 又它的解集为，是方程的两个正根 ‎∴ ∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴或（舍去）‎ ‎∴的值.‎ ‎21.设函数满足：对任意实数都有，且当时，. ‎ ‎（1）证明：在R为减函数；又若在上总有成立，试求的最小值；‎ ‎（2）设函数， 当时，解关于的不等式：.‎ 解：（1）设任意的两个实数且，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴ ，‎ 故在R上是减函数. ‎ ‎∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴. ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴原不等式等价于：‎ 而是减函数，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴当，解集是 当，（i），∴，解集 ‎（ii），∴，解集 ‎（iii），∴，解集 ‎22.已知一次函数，且，设. ‎ ‎（1）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数 ‎①求函数在上的最大值的表达式；‎ ‎②若对任意都存在，使得()成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1）设，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ 方法一：不等式恒成立 等价于恒成立. ‎ 即对恒成立， ‎ 令，的对称轴为，‎ 则有或或 ‎ 解得. 故实数的取值范围是. ‎ 方法二：不等式恒成立等价于恒成立. ‎ 即等价于对一切恒成立， ‎ 即恒成立，得恒成立， ‎ ‎∵当时，，，∴， ‎ 因此，实数的取值范围是. ‎ ‎（2）①，‎ 其图像如图所示：‎ 当时，，根据图像得：‎ ‎（ⅰ）当时， ‎ ‎（ⅱ）当时， ‎ ‎（ⅲ）当时， ‎ 综合有 ‎②设的值域为，的值域为，‎ ‎∴，又 令，∴，∴. ‎ ‎∴当，，矛盾，舍去；‎ 当，是增函数，∴，‎ ‎∴，∴‎ 当，，矛盾，舍去；‎ 综上：的取值范围：.‎