高中数学（人教版必修5）配套练习：2-5等比数列的前n项和第1课时 6页

第二章 2.5 第 1 课时 一、选择题 1．设等比数列{an}的前 n 项和 Sn，已知 a1＝2，a2＝4，那么 S10 等于( ) A．210＋2 B．29－2 C．210－2 D．211－2 [答案] D [解析] ∵q＝a2 a1 ＝2，∴S10＝21－210 1－2 ＝2(210－1)＝211－2，选 D． 2．等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋a，则 a 的值为( ) A．3 B．0 C．－1 D．任意实数 [答案] C [解析] S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，18 6 ＝ 6 3＋a ， 所以 a＝－1. 3．设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3＝3a3，则公比 q 的值为( ) A．－1 2 B．1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或1 2 [答案] C [解析] 当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3 符合题意； 当 q≠1 时，S3＝a11－q3 1－q ＝3a1q2. ∵a1≠0， ∴1－q3＝3q2(1－q)． 由 1－q≠0，两边同时约去 1－q，得 1＋q＋q2＝3q2， 即 2q2－q－1＝0，解得 q＝－1 2. 综上，公比 q＝1，或 q＝－1 2. 4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1 4 ，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( ) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．32 3 (1－4－n) D．32 3 (1－2－n) [答案] C [解析] ∵a5 a2 ＝q3＝1 8 ，∴q＝1 2. ∴an·an＋1＝4·(1 2)n－1·4·(1 2)n＝25－2n， 故 a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝ 81－ 1 4n 1－1 4 ＝32 3 (1－4－n)． 5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝3，S4＝15，则 S6＝ ( ) A．31 B．32 C．63 D．64 [答案] C [解析] 解法 1：由条件知：an>0，且 a1＋a2＝3， a1＋a2＋a3＋a4＝15， ∴ a11＋q＝3， a11＋q＋q2＋q3＝15， ∴q＝2. ∴a1＝1，∴S6＝1－26 1－2 ＝63. 解法 2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即 122＝3(S6 －15)，∴S6＝63. 6．已知等比数列前 20 项和是 21，前 30 项和是 49，则前 10 项和是( ) A．7 B．9 C．63 D．7 或 63 [答案] D [解析] 由 S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(21－S10)2＝S10(49－21)， ∴S10＝7 或 63. 二、填空题 7．设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前 7 项和为________． [答案] 127 [解析] 设数列{an}的公比为 q(q>0)， 则有 a5＝a1q4＝16， ∴q＝2，数列的前 7 项和为 S7＝a11－q7 1－q ＝1－27 1－2 ＝127. 8．已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，Sn＝93，an＝48，公比 q＝2，则项数 n＝________. [答案] 5 [解析] 由 Sn＝93，an＝48，公比 q＝2，得 a12n－1＝93， a1·2n－1＝48 ⇒2n＝32⇒n＝5. 三、解答题 9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由题设，知公差 d≠0， 由 a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得 1＋2d 1 ＝1＋8d 1＋2d ， 解得 d＝1，或 d＝0(舍去)． 故{an}的通项 an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知 2an＝2n，由等比数列前 n 项和公式，得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n 1－2 ＝2n＋1－2. 10．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. [解析] (1)∵S1，S3，S2 成等差数列，2S3＝S1＋S2， ∴q＝1 不满足题意． ∴2a11－q3 1－q ＝a1＋a11－q2 1－q ， 解得 q＝－1 2. (2)由(1)知 q＝1 2 ， 又 a1－a3＝a1－a1q2＝3 4a1＝3， ∴a1＝4. ∴Sn＝ 4[1－－1 2 n] 1＋1 2 ＝8 3[1－(－1 2)n]. 一、选择题 1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则 a3＋a4＋a5 的值为( ) A．21 B．42 C．63 D．84 [答案] D [解析] ∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21， 又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7， ∵an>0，∴q>0，∴q＝2， ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84. 2．等比数列{an}中，已知前 4 项之和为 1，前 8 项和为 17，则此等比数列的公比 q 为( ) A．2 B．－2 C．2 或－2 D．2 或－1 [答案] C [解析] S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2. 3．在各项为正数的等比数列中，若 a5－a4＝576，a2－a1＝9，则 a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值 是( ) A．1 061 B．1 023 C．1 024 D．268 [答案] B [解析] 由 a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9， ∴a4 a1 ＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3×45－1 4－1 ＝1 023. 4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和，已知 a2a4＝1，S3＝7，则 S5＝( ) A．15 2 B．31 4 C．33 4 D．17 2 [答案] B [解析] {an}是正数组成的等比数列，∴a3＝ a2a4＝1，又 S3＝7，∴ a1q2＝1 a11－q3 1－q ＝7 ， 消去 a1 得，q2＋q＋1 q2 ＝7，解之得 q＝1 2 ，∴a1＝4，∴S5＝4× 1－ 1 25 1－1 2 ＝31 4 . 二、填空题 5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________. [答案] 3 [解析] 若 q＝1 时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4S3，故 q≠1， ∴a11－q6 1－q ＝4·a11－q3 1－q ，∴1＋q3＝4，∴q3＝3. ∴a4＝a1q3＝3. 6．已知等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公 比 q＝________. [答案] 2 [解析] 由题意，得 S 奇＋S 偶＝－240 S 奇－S 偶＝80 ， 解得 S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q＝S 偶 S 奇 ＝－160 －80 ＝2. 三、解答题 7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，S3＝7 2 ，首项 a1＝1 2. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知 S3＝a1＋a2＋a3＝7 2 ，1 2 ＋1 2q＋1 2q2＝7 2. q2＋q－6＝0， (q＋3)(q－2)＝0 q＝2 或 q＝－3.(舍) ∴an＝a1·qn－1＝2n－2. (2)bn＝6n－61＋log22n－2 ＝6n－61＋n－2＝7n－63. bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7， ∴数列{an}是等差数列． 又 b1＝－56，∴Tn＝nb1＋1 2n(n－1)×7 ＝－56n＋1 2n(n－1)×7 ＝7 2n2－119 2 n. 8．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足 a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4， b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和． [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 d＝a4－a1 3 ＝12－3 3 ＝3. 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 q3＝b4－a4 b1－a1 ＝20－12 4－3 ＝8，解得 q＝2. 所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1， 从而 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． (2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 数列{3n}的前 n 项和为 3 2n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和为 1×1－2n 1－2 ＝2n－1. 所以，数列{bn}的前 n 项和为 3 2n(n＋1)＋2n－1.