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  • 2021-06-16 发布

高中数学(人教版必修5)配套练习:2-5等比数列的前n项和第1课时

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第二章 2.5 第 1 课时 一、选择题 1.设等比数列{an}的前 n 项和 Sn,已知 a1=2,a2=4,那么 S10 等于( ) A.210+2 B.29-2 C.210-2 D.211-2 [答案] D [解析] ∵q=a2 a1 =2,∴S10=21-210 1-2 =2(210-1)=211-2,选 D. 2.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+a,则 a 的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.任意实数 [答案] C [解析] S1=a1=3+a,S2-S1=a2=32+a-3-a=6,S3-S2=a3=33+a-32-a=18,18 6 = 6 3+a , 所以 a=-1. 3.设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,则公比 q 的值为( ) A.-1 2 B.1 2 C.1 或-1 2 D.-1 或1 2 [答案] C [解析] 当 q=1 时,S3=3a1=3a3 符合题意; 当 q≠1 时,S3=a11-q3 1-q =3a1q2. ∵a1≠0, ∴1-q3=3q2(1-q). 由 1-q≠0,两边同时约去 1-q,得 1+q+q2=3q2, 即 2q2-q-1=0,解得 q=-1 2. 综上,公比 q=1,或 q=-1 2. 4.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1 4 ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( ) A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C.32 3 (1-4-n) D.32 3 (1-2-n) [答案] C [解析] ∵a5 a2 =q3=1 8 ,∴q=1 2. ∴an·an+1=4·(1 2)n-1·4·(1 2)n=25-2n, 故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=23+21+2-1+2-3+…+25-2n = 81- 1 4n 1-1 4 =32 3 (1-4-n). 5.(2014·大纲全国卷文,8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= ( ) A.31 B.32 C.63 D.64 [答案] C [解析] 解法 1:由条件知:an>0,且 a1+a2=3, a1+a2+a3+a4=15, ∴ a11+q=3, a11+q+q2+q3=15, ∴q=2. ∴a1=1,∴S6=1-26 1-2 =63. 解法 2:由题意知,S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),即 122=3(S6 -15),∴S6=63. 6.已知等比数列前 20 项和是 21,前 30 项和是 49,则前 10 项和是( ) A.7 B.9 C.63 D.7 或 63 [答案] D [解析] 由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, ∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20), 即(21-S10)2=S10(49-21), ∴S10=7 或 63. 二、填空题 7.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项和为________. [答案] 127 [解析] 设数列{an}的公比为 q(q>0), 则有 a5=a1q4=16, ∴q=2,数列的前 7 项和为 S7=a11-q7 1-q =1-27 1-2 =127. 8.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,Sn=93,an=48,公比 q=2,则项数 n=________. [答案] 5 [解析] 由 Sn=93,an=48,公比 q=2,得 a12n-1=93, a1·2n-1=48 ⇒2n=32⇒n=5. 三、解答题 9.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由题设,知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1+2d 1 =1+8d 1+2d , 解得 d=1,或 d=0(舍去). 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式,得 Sn=2+22+23+…+2n=21-2n 1-2 =2n+1-2. 10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. [解析] (1)∵S1,S3,S2 成等差数列,2S3=S1+S2, ∴q=1 不满足题意. ∴2a11-q3 1-q =a1+a11-q2 1-q , 解得 q=-1 2. (2)由(1)知 q=1 2 , 又 a1-a3=a1-a1q2=3 4a1=3, ∴a1=4. ∴Sn= 4[1--1 2 n] 1+1 2 =8 3[1-(-1 2)n]. 一、选择题 1.若等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+a2+a3=21,则 a3+a4+a5 的值为( ) A.21 B.42 C.63 D.84 [答案] D [解析] ∵a1+a2+a3=21,∴a1(1+q+q2)=21, 又∵a1=3,∴1+q+q2=7, ∵an>0,∴q>0,∴q=2, ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22×21=84. 2.等比数列{an}中,已知前 4 项之和为 1,前 8 项和为 17,则此等比数列的公比 q 为( ) A.2 B.-2 C.2 或-2 D.2 或-1 [答案] C [解析] S4=1,S8=S4+q4·S4=1+q4=17∴q=±2. 3.在各项为正数的等比数列中,若 a5-a4=576,a2-a1=9,则 a1+a2+a3+a4+a5 的值 是( ) A.1 061 B.1 023 C.1 024 D.268 [答案] B [解析] 由 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, ∴a4 a1 =q3=64,∴q=4,∴a1=3, ∴a1+a2+a3+a4+a5=3×45-1 4-1 =1 023. 4.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( ) A.15 2 B.31 4 C.33 4 D.17 2 [答案] B [解析] {an}是正数组成的等比数列,∴a3= a2a4=1,又 S3=7,∴ a1q2=1 a11-q3 1-q =7 , 消去 a1 得,q2+q+1 q2 =7,解之得 q=1 2 ,∴a1=4,∴S5=4× 1- 1 25 1-1 2 =31 4 . 二、填空题 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. [答案] 3 [解析] 若 q=1 时,S3=3a1,S6=6a1,显然 S6≠4S3,故 q≠1, ∴a11-q6 1-q =4·a11-q3 1-q ,∴1+q3=4,∴q3=3. ∴a4=a1q3=3. 6.已知等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公 比 q=________. [答案] 2 [解析] 由题意,得 S 奇+S 偶=-240 S 奇-S 偶=80 , 解得 S 奇=-80,S 偶=-160, ∴q=S 偶 S 奇 =-160 -80 =2. 三、解答题 7.已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=7 2 ,首项 a1=1 2. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=6n-61+log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由已知 S3=a1+a2+a3=7 2 ,1 2 +1 2q+1 2q2=7 2. q2+q-6=0, (q+3)(q-2)=0 q=2 或 q=-3.(舍) ∴an=a1·qn-1=2n-2. (2)bn=6n-61+log22n-2 =6n-61+n-2=7n-63. bn-bn-1=7n-63-7n+7+63=7, ∴数列{an}是等差数列. 又 b1=-56,∴Tn=nb1+1 2n(n-1)×7 =-56n+1 2n(n-1)×7 =7 2n2-119 2 n. 8.(2014·北京文,15)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4, b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d=a4-a1 3 =12-3 3 =3. 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 q3=b4-a4 b1-a1 =20-12 4-3 =8,解得 q=2. 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1, 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 数列{3n}的前 n 项和为 3 2n(n+1),数列{2n-1}的前 n 项和为 1×1-2n 1-2 =2n-1. 所以,数列{bn}的前 n 项和为 3 2n(n+1)+2n-1.