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- 2021-06-16 发布
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(一)教学目标
1.知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
2.过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用正确知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.
3.情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.
(二)教学重点、难点
重点:两条直线平行和垂直的条件.
难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题.
(三)教学方法
尝试指导与合作交流相结合,通过提出问题,观察实例,引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.
由学生回忆上节课内容,再由老师引入新课.
设置情境引入新课
概念形成
1.特殊情况下,两条直线平行与垂直.
两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0° ,两直线互相垂直.
由学生讨论得出答案
概念深化
2.两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直.
设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2
借助计算机,让学生通过度量,感知的关系.
.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的,所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(图),那么它们的倾斜角相等;a1 = a2.(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系)
∴tga1 = tga2.
即k1 = k2.
反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1 = k2,那么tga1 = tga2.
由于0°≤a1<180°,0°≤a<180°,
∴a1 = a2
又∵两条直线不重合,
∴l1∥l2.
结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1∥l2k1 = k2.
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2;反之则不一定.
通过斜率相等判定两直线平行,是通过代数方法得到几何结论,体现了用代数方法研究几何问题的思想.
下面我们研究两条直线垂直的情形.
如果l1⊥l2,这时,否则两直线平行.
设(图)甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方;乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方;丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有
.
借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使l1(或l2)转动起来,但仍保持l1⊥l2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证,可使为锐角,钝角等.
通过计算机的演示,培养学生的观察、猜想,归纳的数学思想方法.
因为l1、l2的斜率分别是k1、k2,即,所以.
∴.
即或k1k2 = –1,
反过来,如果即k1·k2 = –1不失一般性,设k1<0.
k2>0,
那么.
可以推出a1 = 90°+.
l1⊥l2.
结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
注意:结论成立的条件,即如果k1·k2 = –1,那么一定有l1⊥l2;反之则不一定.
应用举例
例1 已知A (2,3),B (–4,0),P(– 3,1),Q(–1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论.
借助计算机作图,使学生通过观察猜想:BA∥PQ,再通过计算机加以验证.(图略)
例1 解:直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5,
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5,
因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BA∥PQ.
通过例题的讲解,使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.
借助计算机作图,使学生通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B (2, –1),C (4,2),D (2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
例3 已知A(–6,0),B (3,6),P (0,3),Q (–2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
例4 已知A(5, –1),B (1,1),C (2,3),试判断三角形ABC的形状.
分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.(图略)
课堂练习 P94 练习1、2.
例2 解:直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5,
直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5,
因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BA∥PQ.
例3 解:直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3,
直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2,
因为k1·k2 = –1,所以AB⊥PQ.
归纳总结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;
(2)应用条件,判定两条直线平行或垂直.
(3)应用直线平行的条件,判定三点共线.
由学生归纳,教师再补充完善.
培养学生的概括能力
课后作业
见习案3.1的第二课时
由学生独立完成
巩固深化新学知识
备选例题
例1 试确定M的值,使过点A(m + 1,0),B(–5,m)的直线与过点C(–4,3),D(0,5)的直线平行.
【解析】由题意得:
由于AB∥CD,即kAB = kCD,
所以,所以m = –2.
例2 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0,1),B (1,0),C (3,2),求第四个顶点D的坐标.
【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y)
因为AD⊥CD,AD∥BC 所以kAD·kCD = –1,且kAD = kBC
,
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
例3 已知定点A(–1,3),B(4,2),以A、B为直径的端点,作圆与x轴有交点C,求交点C的坐标.
【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC,设C (x,0)
则
所以
所以x = 1或2,所以C (1,0)或(2,0)
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