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- 2021-06-16 发布
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2020年1月浙江省普通高中学业水平考试
数学仿真模拟试题B· 解析版
选择题部分
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
1.【答案】C
【解析】易得,,
所以.故选C.
2.已知,是实数,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分也不必要条件
2.【答案】B
【解析】当,时,,但不满足,故不是充分条件;
由不等式的性质可知, 由可得,故是必要条件.故选B.
3.设函数,则
A.−1 B.0 C.1 D.3
3.【答案】B
【解析】因为,所以,故选B.
4.设是双曲线上的动点,则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为
A.4 B. C. D.
4.【答案】A
【解析】由题得.由双曲线的定义可知到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.故选A.
5.若函数()的最小正周期为,则
A.5 B.10 C.15 D.20
5.【答案】B
【解析】根据周期公式以及得,故选B.
6.设,,,则
A. B. C. D.
6.【答案】C
【解析】,,
,∴,故选C.
7.满足的图形面积为
A. B. C. D.
7.【答案】C
【解析】由题意,可得,画出对应的平面区域,如图所示,
其中四边形为正方形,因为,所以,即所表示的图形的面积为.故选C.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8.【答案】A
【解析】由题意,根据给定的几何体的三视图可知,该几何体的左侧是一个底面半径为1,母线长为2的半圆柱,右侧是一个底面半径为1,高为1的半圆锥,所以该几何体的体积为,故选A.
9.已知是等差数列,且,,则=
A.−12 B.−11 C.−6 D.−5
9.【答案】C
【解析】因为数列是等差数列,所以公差,
所以,解得,故选C.
10.若向量,,则
A. B. C.3 D.
10.【答案】D
【解析】由题得,则=,故选D.
11.已知、为两条不同的直线,、为两个不同的平面,,,则下列结论不可能成立的是
A.,且 B.,且
C.,且 D.与、都相交
11.【答案】D
【解析】如图,正方体中,令平面为平面,平面为平面,则为直线,,不妨设为直线,
平面平面,平面,且,即A项成立;
同理满足,且,即B项成立;
平面,平面,平面,即,,且成立,即C选项成立.
故排除A,B,C.
对于D,若,且,则或, 所以不可能与相交,同理,不可能与相交,故D不可能成立.
故选D.
12.已知圆的圆心在轴的正半轴上,点在圆上,且圆被直线截得的弦长为,则圆的方程为
A. B.
C. D.
12.【答案】B
【解析】由题意,设圆心坐标为(),因为在圆上,所以圆的半径为,又圆心到直线的距离为,且圆被直线截得的弦长为,所以,解得,所以,因此,所求圆的方程为.故选B.
13.若两个非零向量、,满足,则向量与的夹角为
A. B. C. D.
13.【答案】C
【解析】由得:,又,所以向量与的夹角满足,解得,故选C.
14.在中,角,,的对边分别为,,,,,则的值为
A.2 B.3 C.4 D.5
14.【答案】C
【解析】由,及正弦定理得,
由余弦定理得,,即,
又,所以,即,又,所以.故选C.
15.已知函数有三个零点,则
A.4 B.6 C.8 D.12
15.【答案】C
【解析】画出与的图象如下图所示:
,
由有三个零点,得当时方程在区间内有两个相等的实根,所以,得或,
若,,舍去;若,满足条件,所以;
当时,的两根之积为,所以,
所以,故选C.
16.设二次函数,若对任意的实数,都存在实数使得不等式成立,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
16.【答案】D
【解析】问题条件的反面为“若存在实数,对任意实数使得不等式成立”,即
只要在上的最大值与最小值之差小于2即可.
当,得;当,得;当.
所以.
综上可得,所求实数的取值范围是,故选D.
17.平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,点在抛物线上,且满足,,则为
A. B. C. D.
17.【答案】A
【解析】设,则,
由得,
因为,所以结合,,得,
因此,
从而,
故选A.
18.如图,在菱形ABCD中,,线段AD,BD,BC的中点分别为E,F,K,连接EF,FK
.现将绕对角线BD旋转,令二面角A-BD-C的平面角为,则在旋转过程中有
A. B. C. D.
18.【答案】B
【解析】如图,绕旋转形成以圆为底面的两个圆锥(为圆心,为半径,为的中点),,,
当且时,与等腰中,为公共边,且,,.
当时,,
当时,,
综上,,即.
C、D选项比较与的大小关系,由图可知即比较与的大小关系,根据特殊值验证:当时,,当时,,∴C、D都不正确.
故选B.
非选择题部分
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.已知,若,则______;______.
19.【答案】;
【解析】,
,所以,.
20.已知直线,若,则______.
20.【答案】1或−3
【解析】因为l1⊥l2,所以k·(k﹣1)+(1﹣k)·(2k+3)=0,解得 k=1或k=﹣3,故答案为1或﹣3.
21.已知向量,,,,若,则的最小值为______.
21.【答案】
【解析】∵,∴,即,
∵,,∴,当且仅当时取等号,
∴的最小值是.故答案为.
22.已知数列满足,,为数列的前项和,则满足不等式的的最大值为______.
22.【答案】8
【解析】对变形得:,即,故可以分析得到数列是首项为12,公比为的等比数列.
所以,,
所以,
故,解得最大正整数.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本小题满分10分)
在中,内角、、所对的边分别为、、,已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,解不等式.
23.(本小题满分10分)
【解析】(Ⅰ)因为,所以,
又,所以.(3分)
所以.(5分)
(Ⅱ)因为,,所以.(6分)
所以,(8分)
解得,.(10分)
24.(本小题满分10分)
已知椭圆的焦距为4,点P(2,3)在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P引圆的两条切线PA,PB,切线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别为A,B,试问直线AB的斜率是否为定值?若是,求出其定值;若不是,请说明理由.
24.(本小题满分10分)
【解析】(Ⅰ)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2,则左焦点为F1(﹣2,0),右焦点为F2(2,0),
所以|PF1|=5,|PF2|=3,所以2a=|PF1|+|PF2|=5+3=8,即,(2分)
所以b2=a2−c2=12,
故椭圆C的方程为.(4分)
(Ⅱ)设PA: ,则,所以;
设PB:,则,所以,
所以,为方程的两根,即.(6分)
设,,联立,
有,
,.
同理联立,可得:,(8分)
则.
故直线AB的斜率是定值,且定值为.(10分)
25.(本小题满分11分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求在时的值域;
(Ⅱ)若对任意,,均有,求的取值范围.
25.(本小题满分11分)
【解析】(Ⅰ)当时,,
因为,所以,则,
所以在时的值域为.(3分)
(Ⅱ)依题意对任意,,恒成立,
所以在时恒成立,则.(5分)
对任意,函数在区间上单调递减,
由已知,均有,
所以在时恒成立,
即在时恒成立.(7分)
①当,时,,则符合题意.(8分)
②当时,在时恒成立,则在时恒成立,
令,所以则.(10分)
由①、②可得的取值范围为.(11分)