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- 2021-06-16 发布
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河北省张家口市2019-2020学年高一上学期期末考试
数学试题
注意事顶:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2. 考试时间120分钟,满分150分.
3. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
4. 全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合A={x|–11},则A∪B=( )
A. (–1,1) B. (1,2) C. (–1,+∞) D. (1,+∞)
【答案】C
【解析】∵ ,∴ ,
故选C.
2.化为弧度是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.故选:B.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因,则,
所以.
故选:A.
4.在单位圆中,面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由扇形的面积公式,由题意,则,
所以圆心角的弧度数.故选:B.
5.下列函数中,周期为的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A:因的周期为,所以的周期为,故A正确;
对于B:因的周期为,所以的周期为,故B错误;
对于C:因的周期为,所以的周期为,故C错误;
对于D:因为奇函数,则函数为偶函数,则此函数不具有周期性,故D错误.
故选:A.
6.下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域和值域均为;函数的定义域和值域均为R;
函数的定义域为,值域为R;函数的定义域为R,值域为;
函数的定义域和值域均为.
故选:D.
7.若,则下面大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由,则,即A错误;则,即B错误;
则,即D错误;由,则,即C正确.
故选:C.
8.函数的零点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由题意得,即,令,,
则为上单调递增的指数函数经过;
为开口向下,对称轴为,顶点坐标的抛物线,
所以,当时,两函数图象有两个交点,
即函数有两个零点.故选:C.
9.若函数是偶函数,且当时,,则当时,( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,设,则,又当时,,
所以,
又函数是偶函数,即,
所以.
故选:A.
10.函数,的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数,由,则,
所以函数的值域为.
故选:C.
11.如图所示,设点是单位圆上的一定点,动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点所旋转过的的长为,弦的长为,则函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】取的中点为,设,
则,,
所以,即,根据正弦函数的图象知,C中的图象符合解析式.
故选:C.
12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
角A,B,C为△ABC的内角
故答案选C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.求值:______.
【答案】.
【解析】.故答案为:.
14.已知函数(,且)的图象恒过点,则点的坐标是______.
【答案】.
【解析】在函数(,且)中,当时,,
所以函数(,且)的图象恒过定点.
故答案为:.
15.若函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式为______.
【答案】.
【解析】由题意,周期,解得,
所以函数,又图象过点,
所以,得,
又,所以,
故函数的解析式为.
故答案为:.
16.关于下列结论:
①函数是偶函数;
②直线是函数的图象的一条对称轴;
③将函数的图象向左平移个单位后,所得图象的函数解析式为;
④函数的图象关于点成中心对称.
其中所有正确结论序号为______.
【答案】①②④.
【解析】①函数,故该函数为偶函数,故①正确;
②函数的图象对称轴方程为,
即,当时,此时,即直线是函数的图象的一条对称轴,故②正确;
③将函数的图象向左平移个单位后,
即,
故所得图象的函数解析式为,故③错误;
④函数的图象的对称中心为:,
即,取时,,
所以,函数的图象关于点成中心对称,故④正确.
故答案为:①②④.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)若,求实数的值.
解:(Ⅰ),
.
(Ⅱ)∵,
∴若,则,
得,,
∴.
18.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
解:(Ⅰ)∵,∴,
∴.
(Ⅱ)∵,
∴.
19.已知函数是奇函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的值域.
解:(Ⅰ)∵是奇函数,∴,即,
∴,
得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∵,∴,,
∴,∴.
∴,即.
综上,函数的值域为.
20.已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,求的最值以及取得最值时的值.
解:(Ⅰ)
.
令,,得,.
∴函数的单调递增区间是,.
(Ⅱ)∵,∴,
∴当,即时,取得最小值,最小值为0;
当,即时,取得最大值,最大值为3.
21.某企业生产,两种产品,根据市场调查与预测,产品的利润与投资成正比,其关系如图1,产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2,(注:利润与投资单位:万元)
(1)分别将,两种产品的利润表示为投资的函数关系,并写出它们的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,全部投入到,两种产品的生产,怎样分配资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).
解:(1)设投资为万元,产品的利润为万元,产品的利润为万元
由题设知;
由图1知,
由图2知,
则,.
(2)设产品投入万元,则产品投入万元,设企业利润为万元.
,
,令,则
则
当时,,
此时
所以当产品投入3.75万元,产品投入6.25万元,企业获得最大利润为4万元.
22.已知函数.
(Ⅰ)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若函数,且函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,由,知.
即恒成立.
由在区间上是减函数知,当时,,
所以实数的取值范围为.
(Ⅱ)已知,则函数.
由函数的图象的对称轴为直线及在区间上单调递增,知
①当且,即时,需满足,即,
此时满足题意的实数的取值范围是;
②当且,即时,需满足,即,此时实数不存在.
综上,满足题意的实数的取值范围是.