2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版） 13页

‎2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合M=，N=，则MN等于（ ）‎ A．｛0｝ B．｛0，5｝‎ C．｛0，1，5｝ D．｛0，－1，－5｝‎ ‎【答案】C ‎【解析】,选C.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据对数式的真数大于零求解出的范围即为定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以定义域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数的定义域，难度较易.形如(且)的定义域即为时的解集.‎ ‎3．等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】故选B ‎4．下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依次判断函数的定义域和表达式是否相等，判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ A. ，函数的定义域均为，表达式相同，故表示同一函数；‎ B. 定义域为，定义域为，不相同；‎ C. 定义域为 的定义域为，不相同；‎ D. 定义域为，的定义域为，不相同；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同一函数的判断，意在考查学生对于函数定义的理解和掌握情况.‎ ‎5．函数在区间上递增，则a的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用二次函数的对称轴以及开口方向得到关于的不等式，从而可求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为的对称轴为且的开口向下，‎ 又因为在上递增，所以，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数的单调性求解参数范围，难度较易.‎ 分析二次函数的单调性时要从两个方面考虑问题：二次函数的对称轴，二次函数的开口方向.‎ ‎6．若，，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出的范围，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据指数函数的单调性可得，‎ 根据对数函数的单调性可得 ‎,‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎7．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是( ).‎ A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ 分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果．‎ 解：根据题意，可作出函数图象：‎ ‎∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）‎ 故选A．‎ ‎8．函数的值域是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：由于，所以.即值域为，故选C.‎ ‎【考点】值域.‎ ‎9．已知，则方程根的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或2个或3根 ‎【答案】B ‎【解析】在同一平面直角坐标系中作出与的图象，图象的交点数目即为方程根的个数.‎ ‎【详解】‎ 作出，图象如下图：‎ 由图象可知：有两个交点，所以方程根的个数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与方程的应用，着重考查了数形结合的思想，难度一般.‎ ‎(1)函数的零点数方程根的个数与 图象的交点数；‎ ‎(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.‎ ‎10．已知是函数的一个零点若，，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为为单调递增，所以，，选B.‎ 二、填空题 ‎11．计算：（1）______.‎ ‎（2）______.‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】(1)根据整数指数幂和分式指数幂的运算法则完成计算；‎ ‎(2)利用对数运算性质以及对数恒等式完成计算.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎；‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数的计算，难度较易.‎ ‎(1)计算负分数指数幂时可先转为正分数指数幂然后再计算；‎ ‎(2)计算对数时注意对数的运算法则以及对数的换底公式和对数恒等式的运用.‎ ‎12．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm，面积是______.‎ ‎【答案】2 4 ‎ ‎【解析】根据周长等于弧长加上两个半径以及弧长的计算公式即可求解出半径，再利用扇形面积公式即可求解出扇形面积.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为，弧长为，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以. 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形的弧长与面积公式的简单应用，难度较易.‎ 已知扇形的圆心角为，半径为，则弧长为，扇形面积为.‎ ‎13．已知角α的终边经过点，则是______，的值是______.‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】根据三角函数的定义可求解出的值，从而可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数的定义求解三角函数值，难度较易.‎ 已知角终边上一点(不在单位圆上)的坐标，可先求出到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解三角函数值.‎ ‎14．已知函数，______，若，则______.‎ ‎【答案】0 5 ‎ ‎【解析】根据所在的区间段即可计算出，从而计算出；分别考虑每段函数解析式等于，求解出满足的的值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以；‎ 当时，，所以，不符合，‎ 当时，，所以，不符合，‎ 当时，，所以，符合.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值以及根据分段函数值求参数，难度较易.‎ ‎(1)处理嵌套函数值的计算，可采取由内而外的方法逐步计算；‎ ‎(2)处理分段函数的计算，关键是对应定义域去完成相关问题的求解.‎ ‎15．已知幂函数是在上的减函数，则m的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据是幂函数得到的可取值，再根据在上递减，分别代入的值进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为是幂函数，所以，所以或，‎ 当时，，此时在上递增，不符合，‎ 当时，，此时在上递减，符合.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的定义以及单调性求解参数，难度较易 ‎.幂函数，当时在上递增，当时在上递减.‎ ‎16．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】（0,1）‎ ‎【解析】‎ 函数的图象如上图所示：‎ 由函数图象可得当k∈（0，1）时 方程f（x）=k有两个不同的实根，‎ 故答案为：（0，1）‎ ‎17．设是定义在R上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据奇偶性求解出的解析式，判断出的单调性并将转化为，从而得到关于的不等式，利用恒成立思想求解出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的奇函数，所以，‎ 当时，，所以，所以，所以，‎ 因为在上递增，在上递增，且，所以在上递增，‎ 又因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以在上恒成立，所以在上恒成立，‎ 所以，，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式以及根据函数的单调性求解参数范围，难度较难.‎ ‎(1)若(且)，则；‎ ‎(2)利用函数的单调性可将函数值之间大小关系转化为自变量之间的大小关系.‎ 三、解答题 ‎18．若集合，，且，求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解一元二次方程求出集合，根据可分为和两种情况来讨论，构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，满足 ‎②当时，‎ ‎ 或 或 综上所述：实数的值为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成参数的取值缺失.‎ ‎19． (本题12分)已知.‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；‎ ‎（3）求使的的取值范围.‎ ‎【答案】略 ‎【解析】略 ‎20．(1)为何值时，.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；‎ ‎(2)若函数有4个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ① m＝4或m＝－1；②(－5，－1)；(2) (－4,0)．‎ ‎【解析】试题分析：（1）①有且仅有一个零点⇔方程有两个相等实根⇔Δ＝0；②设f(x)的两个零点分别为，则＝－2m，＝3m＋4.由题意，知；‎ ‎（2）数形结合，作出g(x)＝|4x－x2|和h(x)＝－a的图象即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)①有且仅有一个零点⇔方程有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.‎ ‎②设f(x)的两个零点分别为，‎ 则＝－2m，＝3m＋4.‎ 由题意，知⇔⇔‎ ‎∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．‎ ‎(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，‎ 则|4x－x2|＝－a.‎ 令g(x)＝|4x－x2|，‎ h(x)＝－a.‎ 作出g(x)，h(x)的图象．‎ 由图象可知，当0＜－a＜4，‎ 即时，g(x)与h(x)的图象有4个交点.‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间、值域；‎ ‎（2）求函数在区间的最大值.‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为，值域；(2) ‎ ‎【解析】(1)先求解出的解析式，然后根据复合函数的单调性求解的单调增区间以及函数值域；‎ ‎(2)采用换元法令，根据二次函数的对称轴与区间的关系，得到二次函数在指定区间的单调性，从而求解出函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，为单调递减函数，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数的单调递增区间为，‎ 因为，所以，‎ 所以的值域为.‎ ‎（2）令，即求在上的最大值，‎ 对于，‎ 当时：，在上单调递增，所以，‎ 当时：对称轴，在上单调递增，所以，‎ 当时：对称轴，‎ 若，即时，在上单调递增，上单调递减，所以，‎ 若，即时，在上单调递增，所以，‎ 综上可知.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的单调区间、最值、值域问题，难度一般.‎ ‎(1)复合函数的单调性判断方法：同増异减(内外层函数单调性相同时整个函数为增函数，‎ 内外层函数单调性相反时整个函数为减函数)；‎ ‎(2)求解形式的函数的最值，可根据与的单调性来分析；‎ 求解 形式的函数的最值，可采用换元法求解函数的值域，同时要注意新元范围.‎ ‎22．已知 ‎ （1）当，且有最小值2时，求的值。‎ ‎ （2）当时，有恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）； (2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求得，利用基本不等式求得 ，再分若a＞1，0＜a＜1列出相应的方程并求解．‎ ‎（2）由已知，在x∈[1，2]时恒成立．0＜a＜1，转化为在 x∈[1，2]时恒成立．‎ ‎（1）当时，，‎ 令，‎ 又在上是单调递增函数， 当时，有，令求得，舍去 当时，有，令求得，‎ ‎（2）当时，有恒成立，即 当时，恒成立，‎ 由可得，‎ 再由 设 实数的取值范围为 点睛：第一问是复合函数问题，函数做差，转化为内层是对勾函数形式的最值问题；‎ 第二问当时，外层函数是减函数，根据单调性转化为，再由不等式恒成立求参问题，变量分离，转函数最值问题.‎