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数 学
E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
5．E1，C3，B6，B7[2016·北京卷] 已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A.－>0
B．sin x－sin y>0
C.x－y<0
D．ln x＋ln y>0
5．C [解析] 选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以xb>1，0＝＝logab，此时>1，0，进而lg a0}，则A∩B＝( )
A．(－3，－ )
B．(－3，)
C．1，
D.，3
1．D [解析] 集合A＝(1，3)，B＝(，＋∞)，所以A∩B＝(，3).
E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
12.，13 [解析] 可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x2＋y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即2＝，最大值为OB2＝22＋32＝13.
2．E5[2016·北京卷] 若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B．3
C．4 D．5
2．C [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z＝2x＋y变为y＝－2x＋z，当目标函数的图像过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x＋y的最大值是4.
16．E5[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料
0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
16．216 000 [解析] 设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元，则
即目标函数为z＝2100x＋900y.
作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域．
由图可知当直线z＝2100x＋900y经过点M时，z取得最大值．
解方程组得M的坐标为(60，100)，
所以当x＝60，y＝100时，zmax＝2100×60＋900×100＝216 000.
13．E5[2016·全国卷Ⅲ] 若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
13. [解析] 可行域如图所示．
联立得A（1，），当直线z＝x＋y过点A时，z取得最大值，所以zmax＝1＋＝.
7．A2，E5[2016·四川卷] 设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．A [解析] 如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1，1)，半径为的圆及其内部；
②表示△ABC及其内部．
实数x，y满足②，则必然满足①，反之不成立.
故p是q的必要不充分条件．
4．E5[2016·山东卷] 若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
4．C [解析] 可行域如图所示，
设z＝x2＋y2，联立得由图可知，当圆x2＋y2＝z过点(3，－1)时，z取得最大值，即(x2＋y2)max＝32＋＝10.
2．E5[2016·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
2．B [解析] 可行域如图所示，由图可知，当直线z＝2x＋5y过点(3，0)时，z＝2x＋5y取得最小值6.
3．E5[2016·浙江卷] 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．3 D．6
3．C [解析] 易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故|AB|＝|MN|，易得M(－1，1)，N(2，－2)，则|MN|＝3，故|AB|＝3.
E6 基本不等式
14．C8、E6[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
14．8 [解析] 方法一：∵sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·tan Btan C＝，
由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋2≥8，
当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号．
方法二：同方法一可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
所以tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2⇒tan Atan Btan C≥8，
当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号．
9．B7，E6[2016·四川卷] 设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图像上点
P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
9．A [解析] 不妨设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中00，b>0.若关于x，y的方程组无解，则a＋b的取值范围是________．
10．(2，＋∞) [解析] 将方程组中的第一个方程化为y＝1－ax，代入第二个方程整理得(1－ab)x＝1－b，该方程无解应该满足1－ab＝0且1－b≠0，所以ab＝1且b≠1，所以由基本不等式得a＋b>2＝2，故a＋b的取值范围是(2，＋∞)．
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
21．B11，B12，E8[2016·四川卷] 设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
21．解：(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝，
此时，当x∈（0，）时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈（，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x，
则s′(x)＝ex－1－1.
而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又s(1)＝0，所以当x>1时，s(x)>0，
从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0，
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(1)有f（）0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．
综上，a∈[，＋∞).
E9 单元综合
8．E9[2016·浙江卷] 已知实数a，b，c.( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
8．D [解析] 若取a＝b＝10，c＝－110，则A错；若取a＝10，b＝－100，c＝0，则B错；若取a＝10，b＝－10，c＝0，则C错．故选D.
4．[2016·重庆七校联考] 下列不等式中成立的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b＞0，则＞
D．若a＞b＞0，则a＋＞b＋
4．D [解析] 在A中，若a＞b，则ac2≥bc2，当c＝0时取等号，故A错误；
在B中，若a＞b，则当a，b为负数时，a2＜b2，故B错误；
在C中，若a＞b＞0，则＞不一定成立，例如，3＞2，则<，故C错误；
在D中，若a＞b＞0，则>，∴a＋＞b＋，故D正确．
3．[2016·南昌一中月考] 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a＋＝4，则＋的最大值为( )
A. 3 B．3
C. 4 D. 4
3．C [解析] 因为x＝loga2，y＝logb2，所以＋＝＋＝log2a2＋log2b＝log2(a2b)．
又4＝a＋≥2，当且仅当a＝时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.
5．[2016·河南八市重点高中质检] 若实数x，y满足则z＝的最小值为( )
A. B．2 C. D.
5．A [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，其中A(3，0)，C(2，1)，易知z＝＝1＋∈，故选A.
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