【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一4月月考试题（解析版） 14页

甘肃省兰州市第一中学 2019-2020 学年高一 4 月月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．） 1.下列各个角中与 2020°终边相同的是( ) A. B. 680° C. 220° D. 320° 【答案】C 【解析】 【详解】由题, , 故选:C 2.用秦九韶算法计算多项式 在 时的值时， 的值为（ ） A. 2 B. 19 C. 14 D. 33 【答案】C 【解析】依题意 ，所以 , 所以 , . 故选 C. 3.下列程序执行后输出的结果是（ ） 150°− 2020 220 5 360° = °+ × ° ( ) 6 5 3 22 3 5 6 7 8f x x x x x x= + + + + + 2x = 2v ( ) ( )( )( )( )( )2 3 0 5 6 7 8f x x x x x x x= + + + + + + 0 6 2v a= = 1 0 5 2 2 3 7v v x a= + = × + = 2 1 4 7 2 0 14v v x a= + = × + = A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【 解 析 】 初 始 条 件 ： ， 显 然 成 立 ， 进 入 循 环 体 ： ， 显 然 成 立 ， 进 入 循 环 体 ： ， 显 然 成 立 ， 进 入 循 环 体 ： ，显然 成立，进入循环体： ，显然 不成立，退出循环体，所以输出 的值，即 . 故选：A 4.下列各进制中，最大的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ， ，所以选 D. 5.从 2 004 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面 方法选取：先用简单随机抽样从 2 004 人中剔除 4 人，剩下的 2 000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率(　　) A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为 【答案】C 【解析】简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，每个个体被抽到的概率都相 等，都等于 ，其中 N 是个体总数，n 是被抽到的个体数． 考点：抽样方法 6.一钟表的秒针长 ，经过 ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 的 1− 5, 0n s= = 14s < 0 5 5, 5 1 4s n= + = = − = 5 14s= < 5 4 9, 4 1 3s n= + = = − = 9 14s= < 9 3 12, 3 1 2s n= + = = − = 12 14s= < 12 2 14, 2 1 1s n= + = = − = 14 14s= < n 1n = (9)85 (2)111111 (4)1000 (6)210 6 (9) (2)85 8 9 5 77,111111 2 1 63= × + = = − = 3 41000 =4 =64（ ） 2 6210 =2 6 +1 6+0=78× ×（ ） 25 1002 1 40 n N 12cm 25s 10cm 14cm 10πcm 14πcm 【解析】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为 ， 因此，秒针的端点所走的路线长 . 故选：C. 7.如果数据 ，方差是 的 平均数和方差分别是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查统计知识,样本特征数,平均数和方差的概念和计算. ;则 的平均数为 方差为 故选 B 8.已知 ，则角 的终边在（ ） A. 第二象限 B. 第三象限 C. 第二象限或第四象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由 ， ，故 在第二象限或 第四象限， 当 在第二象限时， ， ，不符合题意，舍去； 当 在第四象限时， ， ，符合题意； 综上所述，角 的终边在第四象限 故答案为：D 25 5π2π60 6 × = ( )5 12 cm6 π 10π× = 1 2, , , nx x x x 的平均数是 2 1 2, 2 3,2 3, ,2 3nS x x x+ + +则 x S和 22 3 4x S+ 和 22 3x S+ 和 22 3 4 12 9x S S+ + +和 1 2 ,nx x xx n + +⋅⋅⋅+= 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn = − + − +⋅⋅⋅+ − 1 22 3,2 3 2 3nx x x+ + ⋅⋅⋅ + 1 22 3 2 3 2 3 2 3;x x xnx xn + + + +⋅⋅⋅+ + = +′ = 2 2 2 1 2 1 [(2 3 ) (2 3 ) (2 3 ) ]ns x x x x x xn = + − + + − +⋅⋅⋅+ + −′ ′ ′ ′ 2 2 1 2 1 [(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) ]nx x x x x xn = + + + +⋅⋅⋅+ + 2 2 1 2 4[( ) ( ) ( ) ]nx x x x x xn = + + + +⋅⋅⋅+ + 24 .s= cos sin 1θ θ− > θ cos sin 1 1 2sin cos 1θ θ θ θ− > ⇒ − ⋅ > sin cos 0θ θ⋅ < θ θ cos 0,sin 0θ θ< > cos sin 0θ θ− < θ cos 0,sin 0θ θ> < cos sin 0θ θ− > θ 9.利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000，001，002， ，499 的产品进行抽样检验， 抽取一个容量为 10 的样本，若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机 数表中的第 11 行至第 15 行），根据图，读出的第 3 个数是（ ） 18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 52 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 53 37 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39 A. 841 B. 114 C. 014 D. 146 【答案】B 【解析】由已知随机数表法的使用方法进行选择编号分别为：389，449，114，242， ， 因此第 3 个数是 114. 故选：B 10.如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条 件是（ ） A. B. C. D. …  1 1 1 1 2 4 6 20 + + +…+ 8i > 9i > 10i > 11i > 【答案】C 【解析】由题意可知由 加到 需要进行 即当 时运算就结束了 故选 C. 11.考虑一元二次方程 ，其中 、 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先 后出现的点数，则方程有实根的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 将一枚骰子连掷两次先后出现的点数共有 种情况，方程有实根时 ，满足条件的共有 种情况，所以根据古典概型概率公式可得方程有实根的概 率为 ，故选 A. 12.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并 之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 （弦乘矢+矢乘矢），弧田是由 圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图 形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距 离之差.现有一弧田，其弦长 等于 ，其弧所在圆为圆 ，若用上述弧田面积计算公 式计算得该弧田的面积为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，作出示意图得 点 为弦 的中点，则 ，设 ，设该圆的半径为 ， 1 2 1 20 10i = 11 10i = > 2 0x mx n+ + = m n 19 36 7 18 4 9 17 36 6 6 36× = 2 4 0m n− ≥ 19 19 36 1 2 = AB 2 3 O 2 3 1 2 + AOB∠ = 4 π π 3 π 2 2π 3 C AB OC AB⊥ OC d= r ∴ ，∵ ，∴ ， 由题意，“弦”指 ，“矢”指 ， ∵该弧田的面积为 ， ∴ ， 即 ，解得 ，或 （舍去）， ∴ ，解得 ， ∴ ，∴ ， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案写在答题卡上．） 13.在空间直角坐标系 中，设点 是点 关于坐标平面 的对称点，点 关于 轴对称点 ，则线段 的长度等于__________． 【答案】 【解析】因为点 是点 关于坐标平面 的对称点，所以 ，又 因为点 关于 轴对称点 ，所以 . 因此 . 故答案为： 14.甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第 3 次球恰好传 回给甲的概率是________． 【答案】 【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 2 2 2 4 AB d r+ = 2 3AB = 2 2 3r d− = AB r d− 2 3 1 2 + ( ) ( )21 2 AB r d r d ⋅ − + − =  ( ) ( )22 3 2 3 1 2 2 r d r d− + − += ( ) ( )22 3 2 3 1r d r d− + − = + 1r d− = ( )2 3 1r d− = − + 2 2 3 1 r d r d  − =  − = 2 1 r d =  = 3AOC π∠ = 2 3AOB π∠ = O xyz− M ( )2, 3,5N − xoy ( )1,2,3P x Q MQ 6 M ( )2, 3,5N − xoy ( )2, 3, 5M − − ( )1,2,3P x Q ( )1, 2, 3Q − − 2 2 2(1 2) [( 2) ( 3)] [( 3) ( 5)] 6MQ = − + − − − + − − − = 6 1 4 所有传球方法共有： 甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙； 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙； 则共有 8 种传球方法． 记求第 3 次球恰好传回给甲的事件为 A，可知共有两种情况，，而总的事件数是 8， ∴P(A)= = . 故答案为 15.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江 月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的 思想设计如下图形,已知 , , , , , , ,则在扇形 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率. 【答案】 【解析】记“在扇形 中随机取一点,此点取自阴影部分”为事件 设 ,则 ，根据勾股定理,得 ，解得： ， ， 由几何概型概率计算公式，得 . 2 8 1 4 1 4 CE l⊥ DF l⊥ CB CD= AD BC⊥ 5DF = 2BE = 3 3AD = BCD 3 31) 4(P A π= − BCD A CD x= 3CA x= − 2 2 2( 3) (3 3)x x= − + 6x = 2π1 6 66 π扇 = × × =S 1 9 36 3 3 3 62 π 2π阴 = − × × = −S ( ) = 9 36 3 32 16 4 SP A S π π π − = −= 阴 扇 16.设函数 ，则 的定义域为__________． 【答案】 或 【解析】由题意可知： ， 故答案为： 或 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中 随机抽取 8 次，记录如下： 甲：82，81，79，78，95，88，93，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85 （1） 用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差； （2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中两个） 考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 解：（1）作出茎叶图如下 根据所给的数据得到： ， ， （2）因为甲、乙两位同学的平均数相等，但甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩较稳定， ( ) ln(tan 1) 3 2sinf x x x= − + − ( )f x π ππ2 π{ 24 3 + < ≤ +x k x k 3π π2 π 2 π }4 2 ，− < < − ∈k x k k Z tan 1 0 π ππ π ( )π 4 2π ( ) 4π π2 2 π 2 π3 33 2sin 0  − >  + < < + ∈  ≠ + ∈ ⇒    − ≤ ≤ + − ≥ x k x k k x k k k x k x Z Z { 2 24 3x k x k π ππ π+ < ≤ + 32 2π ππ π }4 2 ，− < < − ∈k x k k Z 82 81 79 78 95 88 93 58 88 4x = + + + + + + =+ 甲 92 95 80 75 83 80 90 58 88 5x = + + + + + + =+ 乙 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (82 85) (81 85) (79 85) (78 85) (95 85) (88 85) (93 35.585) 8 (84 85)S − + − + − + − + − + − + − =+ −=甲 2 2 2 2 2 2 2 2 2(92 85) (95 85) (80 85) (75 85) (83 85) (80 85) (90 85) ( 418 8 5 85)S − + − + − + − + − + − + − + −= =乙 派甲参赛比较合适． 18.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区 2014 年至 2018 年农村居民家庭人均纯 收入 （单位：千元）的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收 入 5 4 7 8 10 （1）求 关于 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2014 年至 2018 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， . 解：（1）由所给数据计算得 ， ， ， ， ， y t y y t ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  a y bt= −  ( )1 1 2 3 4 5 35t = × + + + + = ( )1 5 6 7 8 10 7.25y = × + + + + = ( )5 1 4 1 0 1 4 10i i t t = − = + + + + =∑ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 2 2.2 1 1.2 0 0.2 1 0.8 2 2.8 12i i i t t y y = − − = − × − + − × − + × − + × + × =∑ ( )( ) ( ) 1 2 1 1 12 1.210 n i i i n i t t y y b t t = = − − = = = − ∑ ∑   7.2 1.2 3 3.6a y bt= − = − × = 所求回归方程为 . （2）由（1）知， ，故 2014 年至 2018 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年 增加，平均每年增加 千元. 2019 年时 ， ， 故预测该地区 2019 年农村居民家庭人均纯收入约为 千元. 19.某班同学利用国庆节进行社会实践，对 的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯 是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳 族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 120 0.6 第二组 195 第三组 100 0.5 第四组 0.4 第五组 30 0.3 第六组 15 0.3 （1）补全频率分布直方图，并求 ， ， 的值；  1.2 3.6y t= + 1.2 0b = > 1.2 6t =  1.2 6 3.6 10.8y = × + = 10.8 [ )25,55 n [ )25,30 [ )30,35 P [ )35,40 [ )40,45 A [ )45,50 [ )50,55 n A P （2）求年龄段人数的中位数和众数； （3）从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动， 其中选取 3 人作为领队，求选取的 3 名领队中年龄都在 岁的概率． 解：（1）第二组的概率为 ， 所以高为 ．频率直方图如图： 第一组的人数为 ，频率为 ， 所以 ． 由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 ， 所以 ，第四组的频率为 ， [ )40,50 [ )40,50 1 (0.04 0.04 0.03 0.02 0.01) 5 0.3− + + + + × = 0.3 0.065 = 120 2000.6 = 0 04 5 0 2. .× = 200 10000.2n = = 1000 0.3 300× = 195 0.65300p = = 0.03 5 0.15× = 所以第四组的人数为 ，所以 ． （2）因为 ，所以中位数为 35；众数为 ； （3）因为 年龄段的“低碳族”与 岁年龄段的 “低碳族”的比值为 ， 所以采用分层抽样法抽取 6 人， 岁中有 4 人， 岁中有 2 人． 由于从 6 人中选取 3 人作领队的所有可能情况共 种， 其中从 岁中的 4 人中选取 3 名领队的情况有 种， 故选取 3 名领队中年龄都在 岁的概率为 ． 20.（1）已知函数 ，其中 ，求函数 的图象恰好经 过第一、二、三象限的概率； （2）某校早上 8:10 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:30～8:00 之间到校，且每 人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率. 解：（1）设函数 的系数 构成的数对为 ，则由题意知数对 可能为： ， ， 共 16 种情况. 要使得函数 的图象经过第一，二，三象限，则需 ，即 符合条件的数对为， 共 3 对. 模型符合古典概型的定义，所以所求事件的概率为 . （2）设小张和小王到校时刻分别为 ，且 . 两人到校时刻相差 10 分钟等价于 ，且 . 的 1000 0.15 150× = 150 0.5 60A = × = 5 0.04+5 0.06=0.5× × 30 35 32.52 + = [ )40,45 [ )45,50 60:30 2:1= [ )40,45 [ )45,50 3 6 20n C= = [ )40,45 3 4 4m C= = [ )40,45 4 1 20 5p = = 2( ) 4f x ax x b= + − { }, 2, 1,1,2a b∈ − − ( )f x ( )f x ,a b ( ),a b ( ),a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, 2 , 2, 1 , 2,1 , 2,2 , 1, 2 , 1. 1− − − − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 1,2 , 1, 2 , 1, 1 , 1,1 , 1,2− − − − ( )( ) ( ) ( )2, 2 2, 1 , 2,1 , 2,2− − ( )f x ( ) 0 16 4 0 0 0 a ab f b  > ∆ = + >  = − ≥ 0 4 0 a ab b >  > −  ≤ ( )( ) ( )1, 2 1, 1 , 2, 1 ,− − − 3 16P = ,x y [ ], 0,30x y∈ 10x y− > [ ], 0,30x y∈ 模型符合几何概型的定义，由图可知： 所以所求事件的概率为 . 21.已知函数 ，且 . （1）求 的值； （2）求 的值. 解：（1） ∵ ，∴ （2） 22.在△ABC 中， （1）求证：cos2 +cos2 =1； （2）若 cos（ +A）sin（ π+B）tan（C﹣π）＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 解：（1）证明：△ABC 中，A+B=π﹣C， 2 2 20 4 30 9 SP S = = =阴影 正方形 π 3πsin cos tan( π )2 2( ) cos( π)sin(3π )    − + − −      = + − x x x f x x x 1( ) 3f α = 2sin cos sin 2cos α α α α − + 2 22sin sin cos cosα α α α− − cos sin ( tan )( ) tancos sin x x xf x xx x −= =− 1( ) 3f α = 1tan 3 α = 2sin cos 2tan 1 sin 2cos tan 2 α α α α α α − −=+ + 12 1 13 1 723 × − = = − + 2 2 2 2 2 2 2sin sin cos cos2sin sin cos cos sin cos α α α αα α α α α α − −− − = + 2 2 1 12 12tan tan 1 9 3 11tan 1 19 α α α × − −− −= = = −+ + 2 A B+ 2 C π 2 3 2 ∴ = ﹣ ， ∴cos =cos（ ﹣ ）=sin ∴cos2 +cos2 =sin2 +cos2 =1； （2）证明：△ABC 中，cos（ +A）sin（ π+B）tan（C﹣π）＜0， ∴﹣sinA•（﹣cosB）•tanC＜0， 即 sinAcosBtanC＜0；又 A、B、C∈（0，π）， ∴sinA＞0，∴cosBtanC＜0，即 cosB＜0 或 tanC＜0， ∴B 为钝角或 C 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 2 A B+ 2 π 2 C 2 A B+ 2 π 2 C 2 C 2 A B+ 2 C 2 C 2 C π 2 3 2