江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试卷 14页

www.ks5u.com 江苏省扬大附中2019-2020学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共有12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.在下列选项中，能正确表示集合0，和关系的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求解一元二次方程，得：或，可得，即可作差判定，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，解方程，得：或，，‎ 又0，，所以，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合B是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题．‎ ‎2.设全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由Venn图中阴影部分确定的集合为B∩（∁UA），然后根据集合的基本运算求解即可．‎ ‎【详解】由Venn图中阴影部分可知对应集合B∩（∁UA），‎ ‎∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，‎ ‎∴∁UA＝{4，5}，B∩（∁UA）＝{4}．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定对应的集合是解决本题的关键．‎ ‎3.函数（且）的图象恒过定点（）‎ A. （0，3） B. （1，3） C. （-1，2） D. （-1，3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3，故可得函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过定点．‎ ‎【详解】令x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a0+2＝3‎ ‎∴函数y＝ax+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（﹣1，3）‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题．‎ ‎4.若函数，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ 当时，．‎ 故选．‎ ‎5.已知是奇函数，当时，当时，等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，，则，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式；‎ ‎【详解】当时，，则．‎ 又是R上的奇函数，所以当时．‎ 故选项A正确．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.满足条件的所有集合A的个数是 （ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：满足题意的集合A可以为，共4个 考点：集合的子集 ‎7.下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用奇偶性和单调性的定义，判断即可得到所求结论．‎ ‎【详解】A，令y＝f（x）＝x（x﹣1），f（﹣x）＝x（x+1），﹣f（x）＝﹣x（x﹣1）＝x（1﹣x），不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不为奇函数；‎ B，y＝f（x）x，f（﹣x）x，﹣f（x）=x不满足f（﹣x）＝﹣f（x），不奇函数；‎ C，y＝f（x）＝x满足f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，‎ 又x=时，y＝3+=，x=时，y＝2+=，即，但，所以不满足在（0，1）上是增函数；‎ D，y＝f（x）＝2x（x≠0）满足f（﹣x）＝﹣f（x ‎），为奇函数，且在（0，1）递增，符合题意；故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和单调性的定义，属于基础题．‎ ‎8.已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解.‎ ‎【详解】由集合中有且只有一个元素，‎ 得a=0或,‎ ‎∴实数a的取值集合是{0, }‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.‎ ‎9.如图，函数的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则的值为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得f（3）＝1，1，从而求得f[]＝f（1）的值．‎ ‎【详解】由题意可得f（3）＝1，∴1，∴f[]＝f（1）＝2，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数的值，考查了函数图像的应用，属于基础题．‎ ‎10.已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为上的减函数，根据和时，均单调递减，且，即可求解.‎ ‎【详解】因为函数为上的减函数，‎ 所以当时，递减，即，当时，递减，即，‎ 且，解得，‎ 综上可知实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11.设为奇函数，且在内是减函数，，则的解集为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件画出函数f（x）的单调性的示意图，数形结合可得 0的解集．‎ ‎【详解】∵f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，故在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎∵f（2）＝0，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，故函数f（x）的图象如图所示：‎ 则由0可得x•f（x）＜0，即x和f（x）异号，故有x＜﹣2，或x＞2，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．‎ ‎12.若函数在上值域为，则在上的值域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数h（x），根据函数的奇偶性及对称性即可求解．‎ ‎【详解】函数在[m,n]上的值域为[2,4]，‎ 设h（x）＝=，则h（x）在[m,n]上的值域为[1,3]，‎ 且满足h（﹣x）＝h（x），‎ ‎∴h（x）是定义域R上的奇函数；∴h（x）在[n,m]上的值域为[3,1]‎ 又g（x）＝h（x）2，∴g（x）在[n,m]上的值域为[5,3]‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题．‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.函数y=+的定义域为____________．‎ ‎【答案】[，3）∪（3，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 具体函数的定义域，要求函数的每一部分要有意义，最终将每一部分的定义域取交集即可.本题需满足,解不等式即可.‎ ‎【详解】函数y=+有意义，需满足，解得x≥且x≠3，∴函数的定义域为[，3）∪（3，+∞）．‎ 故答案为[，3）∪（3，+∞）.‎ ‎【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，常见的有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，次数是零次幂的式子，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.‎ ‎14.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵为偶函数，∴，.‎ 考点：偶函数的性质.‎ ‎15.已知函数，则的值为 .‎ ‎【答案】−76‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：分段函数求值 ‎16.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】[2，4]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象和性质可得：函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8，可得m的取值范围．‎ ‎【详解】函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线 ‎∴f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8‎ ‎∵函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，‎ ‎∴2≤m≤4‎ 即m的取值范围是[2，4]．‎ 故答案为[2，4]．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．‎ 三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.计算 ‎（1）；‎ ‎（2）已知，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；‎ ‎（2）由x+x﹣1＝3，可得（x+x﹣1）2＝9，即x2+x﹣2＝7，将所求平方，代入即可得答案．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎（2）∵＝3，‎ ‎∴（）2＝x2+x﹣2+2＝9，‎ ‎∴x2+x﹣2＝7．‎ 则（）2＝x2+x﹣2﹣2＝5，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是有理指数幂的定义，有理指数幂的化简和求值，熟练掌握有理指数幂的运算性质，是解答的关键，是中档题．‎ ‎18.已知全集，集合，‎ ‎；‎ 已知集合，且，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据补集与交集的定义，计算即可；‎ ‎（2）根据集合间的包含关系，列不等式组求出a的取值范围．‎ ‎【详解】全集，集合，，‎ ‎，‎ ‎；‎ 集合，‎ 又，，‎ 解得，‎ 实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了集合间的基本运算问题，考查不等式的解法，是基础题．‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；‎ ‎（2）由函数的单调性即可得函数最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：在区间上是增函数.‎ 证明如下：‎ 任取，且，‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴函数在区间上是增函数.‎ ‎（2）由（1）知函数在区间上是增函数，‎ 故函数在区间上的最大值为，‎ 最小值为.‎ 点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；‎ ‎（4）下结论.‎ ‎20.已知函数()是偶函数，当时，．‎ ‎(1) 求函数的解析式；‎ ‎(2) 若函数在区间上具有单调性，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用偶函数的性质求对称区间上的表达式；(2)明确函数的单调区间，函数在区间上具有单调性即或. 试题解析：‎ ‎（1）当时， ‎ 为偶函数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2) 由题意可知：函数的单调增区间是，‎ 单调减区间是 ‎ 又函数在区间上具有单调性 或 即或 ‎ 解得.‎ ‎21.经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足 ‎（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；‎ ‎（2）求该商场日收益的最小值（千元）．‎ ‎【答案】（1）；（2）千元 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可 ‎（1）‎ ‎（2）时，单调递增，最小值在处取到，；‎ 时，单调递减，最小值在时取到，‎ 单调递减，最小值在时取到，则最小值为，‎ 由，可得最小值为．　‎ 答：该商场日收益的最小值为千元．　‎ ‎22.二次函数在区间上有最大值4，最小值0.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，若在时恒成立，求的范围.‎ ‎【答案】（1）g（x）＝x2﹣2x+1；（2）[33，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式．‎ ‎（2）求解f（x）的解析式，f（x）﹣kx≤0在x∈[，8]，分离参数即可求解．‎ ‎【详解】（1）g（x）＝mx2﹣2mx+n+1（m＞0）‎ 其对称轴x＝1，x∈[0，3]上，‎ ‎∴当x＝1时，f（x）取得最小值为﹣m+n+1＝0，…①．‎ 当x＝3时，f（x）取得最大值为3m+n+1＝4，…②．‎ 由①②解得：m＝1，n＝0‎ 故得函数g（x）的解析式为：g（x）＝x2﹣2x+1‎ ‎（2）由f（x）‎ 当x∈[，8]时，f（x）﹣kx≤0恒成立，‎ 即x2﹣4x+1﹣kx2≤0恒成立，‎ ‎∴x2﹣4x+1≤kx2‎ ‎∴k．‎ 设，则t∈[，8]‎ 可得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k．‎ 当t＝8时，（1﹣4t+t2）max＝33‎ 故得k的取值范围是[33，+∞）‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎