2019-2020学年山东省师大附中高一上学期12月月考数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年山东省师大附中高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出=，再与求交集.‎ ‎【详解】‎ 全集，集合,‎ 则=，又，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的最大值是3，则它的最小值是（ ）‎ A．0 B．1 C． D．与有关 ‎【答案】C ‎【解析】设，转化为在上的最大值是3,分的符号进行分类讨论，先求出的值，再求其最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 当时，不满足条件.‎ 当时,当时，有最大值3，‎ 即，则，则当时，有最小值-1，‎ 当时, 当时，有最大值3，‎ 即，则，则当时，有最小值-1，‎ 综上的最小值是-1.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的最值，还可以由函数的最大值是3，得到，函数的最小值为，从而得到函数的最小值，属于基础题.‎ ‎3．设，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，且>0，，可得 的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数在上是增函数有：‎ ‎，‎ 由指数函数在上是增函数有：‎ ‎，‎ 由指数函数在上是减函数有：‎ 且>0.‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查对数值和指数值大小的比较，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎4．在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的零点存在性定理，由f（1）与f（1.5）的值异号得到函数f（x）在区间（1，1.5）内有零点，同理可得函数在区间（1.25，1.5）内有零点，从而得到方程 的根所在的区间．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（1）＜0，f（1.5）＞0， ‎ ‎∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点 ‎ 又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0， ‎ ‎∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点， ‎ 由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间．着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是 A．y=100x B．y=50x2–50x+100‎ C．y=50×2x D．y=100log2x+100‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题设的选项给定的函数，逐一进行验证，即可得到能较好反映销售量和投放市场月数之间的关系，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的解析式应用问题，其中熟记指数函数、二次函数及对数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎6．函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 对任意的，有,‎ 即对任意的,设，都有，‎ 所以在上单调递减.‎ 又函数为偶函数，即.‎ 则的图像关于直线对称.‎ 所以, 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.‎ ‎7．函数的图象形状大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先判断出函数是偶函数，则其图像关于轴对称，可以排除C,D，然后再由的符号可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 的定义域为，.‎ ‎.‎ 所以为偶函数，排除C,D.‎ 又，则排除A.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像，函数的奇偶性，已知函数解析式选择图像的试题要对定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等进行研究，属于中档题.‎ ‎8．，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出函数的图像，然后令，则可得为函数图像与的交点的横坐标，根据图像可得的范围，同时,可得,即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由作出函数的图像如下:‎ 不妨设,则，‎ 即，则，‎ 所以,‎ 又由图可知，则，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数，对数运算性质及数形结合思想，正确画出函数图像和熟练掌握对数函数的图像是解决本题的关键，属于中档题.‎ 二、多选题 ‎9．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 选项A，在上单调递增，所以A正确.‎ 选项B，在上单调递增，所以B正确.‎ 选项C，在上单调递增，所以C正确.‎ 选项D，在上单调递减，所以D不正确.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎10．下列函数，最小正周期为的有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】根据三角函数的图像性质和函数的最小正周期的公式可判断出答案.‎ ‎【详解】‎ 选项A，为偶函数，图像关于轴对称，其图像如下，不是周期函数,所以A不正确.‎ 选项B，作出函数的图像如下，观察可得其最小正周期为，所以B正确.‎ 选项C，由周期的计算公式可得的最小正周期为2，所以C不正确.‎ 选项D，由周期的计算公式可得的最小正周期为，所以D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的周期，三角函数的图像性质，属于基础题.‎ ‎11．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）‎ A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则.‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】将点(4,2)代入函数，求出的值，根据幂函数的性质对选项进行逐一判断即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 将点(4,2)代入函数得：，则.‎ 所以，‎ 显然在定义域上为增函数，所以A正确.‎ 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.‎ 当时，，即，所以C正确.‎ 当若时，‎ ‎=.‎ ‎=.‎ ‎==.‎ 即成立，所以D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的基本性质，其中选项D还可以直接由基本不等式进行证明，属于中档题.‎ ‎12．定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）‎ A．的值域为 ‎ B．的值域为 ‎ C．不等式成立的范围是 D．不等式成立的范围是 ‎【答案】AC ‎【解析】根据题目给出的定义运算法则先求出的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由函数，有,‎ 即，作出函数的图像如下，‎ 根据函数图像有的值域为，‎ 若不等式成立，由函数图像有 当即时成立，‎ 当即时也成立. ‎ 所以不等式成立时，.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.‎ 三、填空题 ‎13．已知函数，则________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先求出，再求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，又=.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数和复合函数的函数值的求法，属于基础题.‎ ‎14．已知，且，则的值是________.‎ ‎【答案】或1‎ ‎【解析】由，结合指数对数互化，可用表示出,再代入化简，可解出的值.‎ ‎【详解】‎ 由，得.‎ 当时，,满足条件.‎ 当时，由，即，将代入得:‎ ‎,即,得 所以或1.‎ 故答案为：或1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用对数的定义解决问题，以及对数换底公式的灵活应用，属于中档题.‎ ‎15．设，其中a、b、α、β为非零常数．若，则 ________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由结合诱导公式，可得1，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由，有 ‎=‎ ‎=.‎ 即.‎ 又 ‎=+2=3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式进行化简求值，整体代换的方法，属于中档题.‎ ‎16．在△ABC中，若，，则A=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件利用诱导公式化简可得：，，两式平方相加可解出，进一步求出角.‎ ‎【详解】‎ 由，得 (1).‎ 由，得 (2).‎ 由得：,即.‎ 由(2)和为三角形的内角，可知角均为锐角，则.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简和同角三角函数间的基本关系，属于中档题.‎ 四、解答题 ‎17．求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果；‎ ‎（2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）原式 ‎；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型.‎ ‎18．（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）-1.‎ ‎【解析】（1）由条件利用诱导公式得，即，将所求式子转化为含的式子再代入求值.‎ ‎（2）由=，=，进行角变换，将所求角的三角函数转化为已知角的三角函数进行求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，有,‎ 即，‎ 所以 ‎= ‎ ‎=‎ ‎==.‎ 所以的值为1.‎ ‎（2）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==.‎ 所以的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，角之间的变换，寻找所求角与已知角之间的关系，属于中档题.‎ ‎19．已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.‎ ‎(1)求a、b的值；‎ ‎(2)设，若不等式在x∈上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）函数的对称轴方程为，开口向上，则在上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得的值.‎ ‎(2)由题意只需，则只需要求出在上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）开口方向向上，且对称轴方程为 ，‎ 在上单调递增 ‎.‎ ‎ 解得且.‎ ‎（2）在上恒成立 所以只需.‎ 有（1）知 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎20．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．‎ ‎(1)试求的函数关系式；‎ ‎(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）能，见解析.‎ ‎【解析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.‎ ‎(2)对分段函数，分别解不等式，求出 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，‎ 将点(14,81)代入得c＝－，‎ ‎∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；‎ 当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.‎ 所以p＝f(t)＝‎ ‎(2)当t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，‎ 解得:，‎ 所以；‎ 当t∈(14,40]时，log (t－5)＋83≥80，‎ 解得5