高中数学北师大版新教材必修一同步课件：3-1　指数幂的拓展 31页

第三章　指数运算与指数函数 §1 　指数幂的拓展 必备知识 · 自主学习 1.n 次方根 如果 x n =a, 那么 x 叫 a 的 n 次方根 , 其中 n>1,n∈N * . 可用下表表示 : n 为奇数 n 为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x= ______ x= ______ x=0 不存在 【 思考 】 正数 a 的 n 次方根一定有两个吗 ? 请说明理由 . 提示 : 不一定 . 当 n 为偶数时 , 正数 a 的 n 次方根有两个 , 且互为相反数 , 当 n 为奇数时 , 正数 a 的 n 次方根只有一个且仍为正数 . 2. 根式 (1) 式子 叫作根式 ,n 叫作根指数 ,a 叫作被开方数 . (2) 性质 : 当 n>1,n∈N * 时 , ①( ) n =__; ② = a 【 思考 】 式子 ( ) 4 与 中的 a 的范围一样吗 ? 为什么 ? 提示 : 不一样 , 式子 ( ) 4 中 a≥0, 中 a∈R. 3. 分数指数幂的意义 (a>0,m,n∈N * , 且 n>1) 【 思考 】 分数指数幂中 , 为什么规定底数 a>0? 提示 : 当 a=0 时 ,a 0 及 a 的负分数指数幂没有意义 ; 当 a<0 时 , 若 n 为偶数 , m 为奇数 , 则 无意义 . 4. 无理数指数幂 一般地 , 给定正数 a, 对于任意的正无理数 α,a α 是一个实数 . 规定 :a -α = 【 思考 】 指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的 ? 提示 : 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) =-2. ( 　　 ) (2) ( 　　 ) (3) 是一个确定的实数 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. (2)×. (3)√. 由无理数指数幂的定义知正确 . 2. 若 n0, 所以原式 =-(m+n)-(m-n)=-2m. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) = _______ .  【 解析 】 答案 : 关键能力 · 合作学习 类型一　 n 次方根的概念及相关的应用 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 的值为 ( 　　 ) A.-6 B.2 -2 C.2 D.6 2. 把 (a-1) 根号外的 (a-1) 移到根号内等于 ( 　　 ) A.- B. C.- D. 3. 若 , 则实数 a 的取值范围是 　　　　 .  【 解析 】 1. 选 A. =-6, 所以原式 =-6+4- + -4=-6. 2. 选 C. 由 ≥ 0 且 1-a≠0 得 a<1, 则 a-1<0, 所以 (a-1) 3. 因为 = , 所以 1-3a≥0, 所以 a≤ . 答案 : 【 解题策略 】 根式化简与求值的思路及注意点 (1) 思路 : 首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式 , 然后运用根式的性质进行化简 . (2) 注意点 : ① 正确区分 ( ) n 与 两式 . ② 运算时注意变式、整体代换 , 以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用 , 必要时要进行讨论 . 类型二　写分数指数幂 ( 数学抽象 ) 【 典例 】 把下列各式中的正数 a 写成分数指数幂的形式 : (1)a 7 =26; (2)a -3 =4 7 ; (3)a m =5 n (m,n∈N + ); (4)a -2m =7 6n (m,n∈N + ). 【 思路导引 】 根据分数指数幂的定义书写 . 【 解析 】 (1)a= ; (2)a= ; (3)a= ; (4)a= 【 解题策略 】 关于写分数指数幂 写分数指数幂时可以利用等价式 a n =b m ⇔a= (a,b>0,m,n∈N + ,m,n 互素 ,n>1), 书写时注意 m,n 的顺序不能颠倒 . 【 跟踪训练 】 把下列各式中的 b(b>0) 写成分数指数幂的形式 : (1)b -4 =81; (2)b 3 =5 -4 ; (3)b -3n = π 5m (m,n∈N + ). 【 解析 】 (1)b=81 ;(2)b= ;(3)b= 类型三　分数指数幂的计算 ( 数学运算 ) 角度 1 　用分数指数幂表示根式  【 典例 】 用分数指数幂表示下列各式 : (1) (m>0); (2) (a>b). 【 思路导引 】 利用分数指数幂与根式的关系表示 . 【 解析 】 (1) (2) 【 变式探究 】 本例 (1) 若变为 , 用分数指数幂怎样表示 ? 【 解析 】 角度 2 　分数指数幂的计算  【 典例 】 计算 : 【 思路导引 】 利用指数幂的定义计算 . 【 解析 】 (1) 设 b=27 , 则 b 3 =27 2 =729=9 3 , 所以 b=9. 【 解题策略 】 关于分数指数幂的计算 分数指数幂计算的依据是定义 , 一般先将要求的指数幂设为 b, 再变形后利用同方次的指数幂底数相等来求值 . 【 题组训练 】 1. 根式 等于 ( 　　 ) 　　　　　　　 【 解析 】 选 A. 原式 = 2. 计算 = 　　　　 .  【 解析 】 设 b= , 则 b 3 = 所以 b= , 所以 答案 : 课堂检测 · 素养达标 1. 下列各等式中成立的是 (a>0) ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为 所以成立的是 2. 若 x<3, 则 -|x-6| 的值是 ( 　　 ) A.-3 B.3 C.-9 D.9 【 解析 】 选 A. 若 x<3, 则 x-3<0,x-6<0, 所以 -|x-6|=|x-3|-|x-6|=3-x+x-6=-3. 3. 将 化成分数指数幂为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 4.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 已知 m 10 =2, 则 m 等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 因为 m 10 =2, 所以 m 是 2 的 10 次方根 , 又因为 10 是偶数 , 所以 2 的 10 次方根有两个 , 且互为相反数 , 所以 m=± .