2020_2021学年新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册 30页

§1 　指数幂的拓展　 § 2 　指数幂的运算性质 激趣诱思 知识点拨 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一 , 它侵害田地的面积 S ( 单位 :hm 2 ) 与年数 t ( 年 ) 满足关系式 S=S 0 ·1 . 057 t , 其中 S 0 ( 单位 :hm 2 ) 为侵害面积的初始值 . 如果求 10 年后侵害的面积 , 则 S=S 0 ·1 . 057 10 ; 如果求 15 . 5 年后侵害的面积 , 就需要计算 S=S 0 ·1 . 057 15 . 5 , 这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、指数幂的拓展 1 . 正分数指数幂 2 . 负分数指数 幂 激趣诱思 知识点拨 3 . 无理 数 指数 幂 一般地 , 给定正数 a , 对于任意的正无理数 α , a α 都是一个确定的实数 . 自然地规定 a - α = . 这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数 . 2 . 正数的负分数指数幂总表示正数 , 而不是负数 . 3 . 0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 用根式表示下列各式 : (1) 已知 x 5 = 2 020, 则 x= 　 ;   (2) 已知 x 4 = 2 020, 则 x= 　 .   微 练习 2 已知 x 7 = 5, 用指数幂的形式表示 x= 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 微 思考 激趣诱思 知识点拨 二、指数幂的运算性质 对于任意正数 a , b 和实数 α , β , 指数幂均满足下面的运算性质 : a α · a β =a α + β , ( a α ) β =a αβ , ( a · b ) α =a α · b α . 名师点析 1 . 实数指数幂的运算性质除了上述三个外 , 还有如下两个常用 : a α ÷ a β =a α - β , 2 . 在幂和根式的化简运算中 , 一般将根式化为分数指数幂的形式 , 再利用幂的 运算 性质 进行 计算 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列运算中正确的是 ( 　　 ) A. a 2 · a 3 =a 6 B.( -a 2 ) 3 = ( -a 3 ) 2 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用分数指数幂的定义求 值 反思感悟 解与分数指数幂有关的方程时 , 一般是利用分数指数幂与根式的对应关系 , 转化求解 . 答案 : D 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : A 　 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 根式的化简 ( 求值 ) 例 2 求下列各式的值 : 分析 (1) 首先利用根式的性质直接化简两个根式 , 然后进行运算 ;(2) 首先将被开方数化为完全平方式 , 然后开方化为绝对值的形式 , 根据 x 的取值范围去掉根号即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 在对根式进行化简时 , 若被开方数中含有字母参数 , 则要注意字母参数的取值范围 , 即 确定 中 a 的正负 , 再结合 n 的奇偶性给出正确结果 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 该例中的 (2), 若 x<- 3 呢 ? (2) 该例中的 (2), 若 x> 3 呢 ? 解 : 由例题解析可知原式可化为 |x- 1 |-|x+ 3 |. (1) 若 x<- 3, 则 x- 1 < 0, x+ 3 < 0, 故该式 =- ( x- 1) - [ - ( x+ 3)] = 4; (2) 若 x> 3, 则 x- 1 > 0, x+ 3 > 0, 故该式 = ( x- 1) - ( x+ 3) =- 4 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 指数幂的化简与求值 例 3 计算下列各式的值 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 对于既含有分数指数幂 , 又含有根式的式子 , 一般把根式统一化成分数指数幂的形式 , 以便于计算 . 如果根式中的根指数不同 , 也应化成分数指数幂的形式 . 2 . 对于计算题的结果 , 不强求统一用什么形式来表示 , 但结果不能同 时含有根号和分数指数 , 也不能既含有分母又含有负指数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 条件求 值 (1) a+a - 1 ; 　 (2) a 2 +a - 2 ; 　 (3) a 2 -a - 2 . 得 a+a - 1 + 2 = 5, 即 a+a - 1 = 3 . (2) 由 a+a - 1 = 3, 两边平方 , 得 a 2 +a - 2 + 2 = 9, 即 a 2 +a - 2 = 7 . (3) 设 y=a 2 -a - 2 , 两边平方 , 得 y 2 =a 4 +a - 4 - 2 = ( a 2 +a - 2 ) 2 - 4 = 7 2 - 4 = 45 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决条件求值问题的一般方法 —— 整体法 对于条件求值问题 , 一般先化简代数式 , 再将字母取值代入求值 . 但有时字母的取值未知或不易求出 , 这时可将所求代数式恰当地变形 , 构造出与已知条件相同的结构 , 从而通过 “ 整体法 ” 巧妙地求出代数式的值 . 利用 “ 整体法 ” 求值时常用的变形公式如下 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : ∵ x+y= 12, xy= 9, ∴ ( x-y ) 2 = ( x+y ) 2 - 4 xy= 12 2 - 4 × 9 = 108 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 用换元法处理指数幂中的化简与证明 问题 分析 看见三个式子连等 , 立刻想到赋中间变量 , 通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明 : 令 pa 3 =qb 3 =rc 3 =k , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 对于 “ 连等式 ”, 常用换元法处理 . 如本例 , 我们可令它等于一个常数 k , 然后以 k 为媒介化简 , 这样使问题容易解决 . 2 . 换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致 , 关键时候还要检验 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ∵ a , b , c 为正整数 , 且 a x =b y =c z ≠1 , ∴ a , b , c 均不为 1 . ∴ 1