四川省成都市实验外国语学校2020届高三模拟考试（三）数学（文）试题 Word版含解析 23页

- 1 - 成都市实验外国语学校高 2017 级数学模拟（三）文 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合  2| 1 ,A x y x x Z    ，  2| 1,B y y x x A    ，则 A B 为（ ） A.  B.  0, C.  1 D.   0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数 21 ,y x x Z   的定义域化简集合 A 的表示， 求函数 2 1,y x x A   的值域化简集合 B 的表示，最后利用交集的定义进行求解即可. 【详解】因为    2| 1 , 1,0,1A x y x x Z      ，    2| 1, 2,1B y y x x A     ， 所以  1A B  . 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力. 2.若复数 z 满足 1 3i z i   ，则 z 的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】 计算  1 2i z  ，利用复数除法运算得到答案. 【详解】  1 3 3 1 2i z i      ，故      2 12 11 1 1 iz ii i i       ，故虚部为 1 . 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合 应用能力. 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经 过点 ( 2,1)P ，则 cos2  （ ） - 2 - A. 2 2 3 B. 1 3 C. 1 3  D. 2 2 3  【答案】B 【解析】 【分析】 先由角 的终边过点 ( 2 1)P ， ，求出 cos ，再由二倍角公式，即可得出结果. 【详解】解：因为角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 ( 2 1)P ， ， 所以 2 6cos 32 1     ， 因此 2 1cos2 2cos 1 3     . 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公 式即可，属于基础题. 4.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含 乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳 爻，“ ”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个 爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3 个，由此求出概率. - 3 - 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦， 取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾） 共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共 3 个， 所以，所求的概率 3 1 6 2P   . 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意 识，属于基础题． 5.下列判断正确的是（ ） A. 两圆锥曲线的离心率分别为 1e ， 2e ，则“ 1 2 1e e  ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条 件 B. 命题“若 2 1x  ，则 1x  .”的否命题为“若 2 1x  ，则 1x  .” C. 若命题“ p q ”为假命题，则命题“ p q ”是假命题 D. 命题“ x R  ， 22x x ."的否定是“ 0x R  ， 0 2 02x x .” 【答案】D 【解析】 【分析】 对于 A ，取特值： 1 1 3e  ， 2 3 2e  ，可知 A 不正确；对于 B ，只否定了结论，没有否定条件， 故 B 不正确；对于C ，命题 p 与命题 q一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“ p q ” 是真命题，所以C 不正确；对于 D ，根据命题的否定的概念，可知 D 正确. 【详解】对于 A ，若两圆锥曲线均为椭圆，则 10 1e  ， 20 1e  ，所以 1 20 1e e  ，所 以“ 1 2 1e e  ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的必要条件，取 1 1 3e  ， 2 3 2e  满足 1 2 1e e  ， 此时一个圆锥曲线为椭圆，一个圆锥曲线为双曲线，所以“ 1 2 1e e  ”不是“两圆锥曲线均为 椭圆”的充分条件，故 A 不正确； 对于 B ，命题“若 2 1x  ，则 1x  .”的否命题为“若 2 1x  ，则” 1x  ，故 B 不正确； 对于C ，若命题“ p q ”为假命题，则 p 与 q至少有一个为假命题，当 p 为假命题， q为 真命题时，“ p q ”为真命题，故C 不正确； - 4 - 对于 D ，命题“ x R  ， 22x x ."的否定是“ 0x R  ， 0 2 02x x .”是正确的，故 D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了充要条件，考查了椭圆和双曲线的离心率，考查了命题的真假判断，考 查了否命题和命题的否定，属于基础题. 6.函数 2 ( )cos( ) x xe e xf x x  的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可. 【详解】由题知,函数 ( )f x 的定义域为 ( ,0) (0, )  ,关于原点对称, 且     2 2 cos( ) cos ( ) ( )( ) x x x xe e x e e x f x f xx x           , 所以 ( )f x 是奇函数,所以排除 C,D; 又∵   2 2 cos 1 1( ) 0 e e f ee                 ,所以排除 A, 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除 - 5 - 即可解决，属于中等题. 7.在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，且  cos 2 cos 0a C b c A  ＝ ， 则角 A 的大小为（ ） A. 4  B. 3  C. 2  D. 3 4  【答案】A 【解析】 【分析】 先利用正弦定理化边为角可得sin cos sin cos 2 sin cosA C C A B A  ，再进一步化简求出 2cos 2A  即可得出角 A． 【详解】∵  cos 2 cos 0a C b c A   ， 由正弦定理可得sin cos sin cos 2 sin cosA C C A B A  ，即 sin 2 sin cosB B A .∵sin 0B  ，∴ 2cos 2A  .∵ 0 A   ，∴ 4A  .选 A． 【点睛】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换，属中等难度题． 8.设 m，n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A. 若 / /m  ， / /n  ，则 //m n B. 若 / /  ，m  ，n  ，则 //m n C. 若  ， m   ， n  ，则 n  D. 若 m  ， //m n ，n  ，则  【答案】D 【解析】 【分析】 利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论． 【详解】解：由 m ， n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 / /m  ， / /n  ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 在 B 中，若 / /  ， m  ， n  ，则 m 与 n 平行或异面，故 B 错误； 在C 中，若  ， m   ， n  ，则 n 与  相交、平行或 n  ，故C 错误； - 6 - 在 D 中，若 m  ， //m n ， n  ，则由面面垂直的判断定理得  ，故 D 正确． 故选： D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，属于中档题． 9.若实数 x，y 满足约束条件 2 0 4 0 2 5 0 x y x y x y            ，则 1 1 yz x   的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求得目标函数的最 值，得到答案. 【详解】由题意，作出约束条件 2 0 4 0 2 5 0 x y x y x y            所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数 1 1 yz x   表示可行域内点 ( , )P x y 与定点 ( 1,1) 的连线的斜率， 因为点( 1,1) 恰好在直线 2 0x y   上， 结合图象，可得当点 ( , )P x y 在线段 AB 时，能使得目标函数 1 1 yz x   取得最大值， 又由直线 2 0x y   的斜率为 1，所以最大值为 max 1z  . 故选：A. - 7 - 【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域， 结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算能力. 10.定义在 R 上的偶函数  f x 满足    2f x f x  ，且在[－1，0]上单调递减，设  2.8a f  ，  1.6b f  ，  0.5c f ，则 a 、b ， c 大小关系是（） A. a b c  B. c a b  C. b c a  D. a c b  【答案】D 【解析】 【分析】 由    2f x f x  可求函数周期 2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利 用单调性比较大小. 【详解】∵偶函数  f x 满足    2f x f x  ，∴函数的周期为 2. 由于    2.8 0.8a f f    ，      1.6 0.4 0.4b f f f     ，    0.5 0.5c f f   ， 0.8 0.5 0.4     .且函数  f x 在[－1，0]上单调递减，∴ a c b  . 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题. - 8 - 11.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F , 1 2 6,F F P 是 E 右 支上的一点， 1PF 与 y 轴交于点 A ， 2PAF 的内切圆在边 2AF 上的切点为Q ，若 3AQ  ， 则 E 的离心率是( ) A. 2 3 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公 式即可得到所求的值 【详解】设 2PAF 的内切圆在边 2PF 上的切点为 M ，在 AP 上的切点为 N 则 PM PN ， 3AQ AN  2 2QF MF 由双曲线的对称性可得： 1 2 2 23AF AF AQ QF QF     由双曲线的定义可得 1 2 1 2 2 23PF PF PA AF PM MF QF AN NP PM MF           2 3 2a  解得 3a  又 1 2 6F F  ，即有 3c  则离心率 3ce a   故选C 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求 出 a 的值是本题的关键，综合性较强 12.已知函数 33( ) 1xf x xe   ，其导函数为  f x ，则 - 9 -        2020 2020 2019 2019f f f f      的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首 先 根 据 题 意 得 到 ( ) ( ) 3f x f x   ，  f x 为 偶 函 数 ， 再 计 算        2020 2020 2019 2019f f f f      即可. 【详解】因为 33( ) 1xf x xe   ，  3 33( ) 1 3 1 x xxf x x e xee      ， 所以 ( ) ( ) 3f x f x   . 又因为 2 2 3( ) 3( 1) x x ef x xe    ，  2 2 2 2 3 3( ) 3 3( 1) ( ) (1 ) x x x x e ef x x f xxe e             所以  f x 为偶函数. 所以 (2020) ( 2020) (2019) ( 2019) 3f f f f       . 故选：C 【点睛】本题主要考查求导公式，同时考查了函数的奇偶性，属于简单题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量  1, 3a  ， ( )3,1= r b 则向量 a  在向量b  方向上的投影为____________. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据 | || | cosa b a b a      ，b  ，得 a 在 b 上的投影为| | cosa a  ， | | a bb b    ，求出 a b  ， 代入投影的公式计算即可． - 10 - 【详解】向量  1, 3a  ， ( )3,1= r b ， 3+ 3 2 3a b   ，| | 2b  ，  a 在 b 方向上的投影为| | cosa a  ， 2 3 32| | a bb b      ． 故答案为： 3 ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题． 14.函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1 有极大值又有极小值，则 a 的范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】 将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解 a 的取值范围即可. 【详解】由题意可得：    2' 3 6 3 2f x x ax a    ， 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程  23 6 3 2 0x ax a    有两个不同的实数根， 即：    26 4 3 3 2 0a a       ，整理可得：整理可得：   36 1 2 0a a   ， 据此可知 a 的取值范围是 2a  或 1a   . 【点睛】(1)可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右 侧 f′(x)的符号不同． (2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值． 15.已知函数 ( ) 3sin cos ( 0)f x x x     ，其图象与直线 2y  的两个相邻交点的距离 等于 ，则 ( )f x 的单调递增区间为______________． 【答案】 , 3 6k k       【解析】 函数   3sin cos 2sin 6f x x x x          ，因为  y f x 的图象与直线 2y  的两 个相邻交点的距离等于π，函数的周期T  ，所以 2  ，所以   2sin 2 6f x x  （ ），因 为 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z         ，解得 [ ]3 6x k k    ， ， k Z ，即函数的单 - 11 - 调增区间为[ ]3 6k k k Z    ， ， ，故答案为[ ]3 6k k k Z    ， ， . 16.已知抛物线方程 2 4y x ， F 为焦点， P 为抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的 交点，定义： | |( ) | | PFd P FQ  .已知点 ( 1,4 2)P  ，则 ( )d P ______；设点 ( 1, )( 0)P t t  ， 则 2 ( ) | |d P PF 的值为____. 【答案】 (1). 4 (2). 2 【解析】 【分析】 （1）根据直线 PF 的方程 2 2( 1)y x   ，求出点 1( , 2)2Q ，再利用焦半径公式，即可得 答案； （2）根据 | |2 ( ) | | 2 2 | || | PQd P PF PFFQ     ，再利用抛物线的定义，即可得答案； 【详解】（1） ( 1,4 2)P  ， (1,0)F ， | | 6PF  ， 直线 PF 的方程为 2 2( 1)y x   ，与 2 4y x 联立得： 22 5 2 0x x   ， 解得： 1 2x  或 2x  ，  1( , 2)2Q ， | | 6( ) 41| | 12 PFd P FQ     ； （2）设准线与 x 轴的交点为 M ，QN PM 于 N ，  | | | | | | | |2 ( ) | | 2 | | 2 | | 2 2 | || | | | | | PF PQ QF PQd P PF PF PF PFFQ FQ FQ         | | | |2 2 | | 2 2 | | 22| | PQ PFPF PFNQ        ， 故答案为： 4,2 . - 12 - 【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、 转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设等差数列 na 的前 n 项的和为 nS ，且 4 62S   ， 6 75S   ，求： （1）求 na 的通项公式 na ； （2）求数列 na 的前 14 项和. 【答案】（1） 3 23na n  ；（2）147 . 【解析】 【分析】 （1）由已知条件列出关于 1,a d 的方程组，求出 1,a d 可得到 na ； （2）由通项公式 na 先判断数列 na 中项的正负，然后再化简数列 na 中的项，即可求出结 果. 【详解】解：（1）设等差数列 na 的公差为 d，依题意得 1 1 4 34 622 6 56 752 a d a d         ， 解得 1 20, 3a d   ， ∴  20 1 3 3 23na n n       ； （2）∵ 3 23na n  ， - 13 - ∴由 0na  得 8n  ， 2 2( 20 3 23) 3 43 3 43 2 2 2 2n n n n nS n n       ∴ 1 2 3 14 1 2 7 8 14 14 72a a a a a a a a a S S                2 23 43 3 4314 14 7 72 2 2 2               7 42 43 7 21 43 147     . 【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题. 18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超 过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人 数可构成等差数列. （1）求 ,m n 的值； （2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于 300 元的男性有 20 人，低于 300 元的男性有 25 人，根据统计数据完成下列 2 2 列联表，并判断是否有99%的 把握认为消费金额与性别有关？ （3）分析人员对抽取对象每周的消费金额 y 与年龄 x 进一步分析，发现他们线性相关，得到 回归方程 ˆ 5y x b   .已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁，试判断一名年龄为 25 岁的年 轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） 2 2 列联表 男性 女 性 合 计 - 14 - 消费金额 300³ 消费金额 300 合计 临界值表： 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    【答案】（1） 0.0035m  ， 0.0025n  （2）详见解析（3）395 元 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图可得 0.006m n  ，结合 0.0015 2m n  可得 ,m n 的值. （2）根据表格数据可得 2 8.249K  ，再根据临界值表可得有99% 的把握认为消费金额与性 别有关. （3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到 520b  ，利用线性回归方程 可计算年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 0.01 0.0015 2 0.001 0.006m n      ， 由中间三组的人数成等差数列可知 0.0015 2m n  ， 可解得 0.0035m  ， 0.0025n  （2）周平均消费不低于 300 元的频率为 0.0035 0.0015 0.001 100 0.6   ，因此 100 人 中，周平均消费不低于 300 元的人数为100 0.6 60  人. 所以 2 2 列联表为 男性 女性 合计 - 15 - 消费金额 300³ 20 40 60 消费金额 300 25 15 40 合计 45 55 100 2 2 100(20 15 25 40) 8.249 6.63545 55 60 40K        所以有99% 的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为 0.15 150 0.25 250 0.35 350 0.15 450 0.10 550 330          ， 由题意330 5 38 b    ，∴ 520b  5 25 520 395y      . ∴该名年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额为 395 元. 【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为 1，注意直方图中，各矩形的高是 频率 组距； （2）两类变量是否相关，应先计算 2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过 ,x y . 19.如图 1，在平行四边形 ABCD 中， 4AD ， 2 2AB  ， 45DAB  ， E 为边 AD 的 中点，以 BE 为折痕将 ABE△ 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到图 2 几何体 P EBCD ． （1）证明： PD BE ； （2）当 BC ⊥平面 PEB 时，求三棱锥 C PBD 的体积． - 16 - 【答案】（1）证明见解析；（2） 8 3 ． 【解析】 【分析】 （1）由已知条件和勾股定理可得 EB AD ，根据折叠的不变性可得 EB PE ，EB ED ， 由线面垂直的判定和性质可得证； （2）由线面垂直的性质可得出 PE  平面 BCD， PE 就是三棱锥 P CBD 的高，再运用等 体积法可得出三棱锥的体积. 【详解】（1）依题意，在 ABE△ 中（图 1）， 2AE  ， 2 2AB  ， 45EAB   ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cos45EB AB AE AB AE      28 4 2 2 2 2 42        ， ∴ 2 2 2AB AE EB  ，即在平行四边形 ABCD 中， EB AD ． 以 BE 为折痕将 ABE△ 折起，由翻折不变性得， 在几何体 P EBCD 中， EB PE ， EB ED ．又 ED PE E ，∴ BE 平面 PED ， 又 BE  平面 PEB ，∴ PD BE ． （2）∵ BC ⊥平面 PEB ， PE  平面 PEB ，∴ BC PE ． 由（1）得 EB PE ，同理可得 PE  平面 BCE ，即 PE  平面 BCD ， PE 就是三棱锥 P CBD 的高． 又 45DCB DAB    ， 4BC AD  ， 2 2CD AB  ， 2PE AE  ， ∴ 1 1 2sin 45 4 2 2 42 2 2CBDS BC CD         △ ， 1 1 84 23 3 3C PBD P CBD BCDV V S PE       △ ， 因此，三棱锥 C PBD 的体积为 8 3 ． 【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解， 属于中档题. 20.已知椭圆 E 的左右焦点分别是 1( 3,0)F  、 2 ( 3,0)F ，且经过点 22, 2M       . （1）求椭圆 E 的标准方程： - 17 - （2）设 AC，BD 是过椭圆 E的中心且相互垂直的椭圆 E 的两条弦，问是否存在定圆 G，使得 G 为四边形 ABCD 的内切圆?若存在，求圆 G 的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）存在， 2 2 4 5x y  . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义，求出 , ,a b c ，得到椭圆的标准方程； （2）先分析 BC 与 x 轴垂直时，得到圆 2 2 4 5x y  为四边形 ABCD 的内切圆，再当 BC 与 x 轴 不垂直时，设 BC 的方程为 y kx m  ，与椭圆联立，得到根与系数的关系，再由OB OC ， 得到 ,m k 的关系式，再分析原点O 到 BC 的距离 d 为定值 2 5 5 ，再理可得，O 到直线 AB，直 线 CD，直线 AD 的距离都是 2 5 5 ，知存在定圆 G，使得 G 为四边形 ABCD 的内切圆，并求得内 切圆的方程. 【详解】（1）设椭圆 E 的标准方程是 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， 由椭圆的定义可知， 1 2 | 2MF MF a  ， 所以 2 2 2 22 22 ( 2 3) ( 2 3)2 2a                 ， 所以 2a  ，因为 3c  ，所以 1b  ， 故椭圆 E 的标准方程为 2 2 14 x y  . （2）若 BC 与 x 轴垂直，则 AB 与 x 轴平行，此时四边形 ABCD 为正方形， 2 5| | | | 5x y  ，所以圆 2 2 4 5x y  为四边形 ABCD 的内切圆. 若 BC 与 x 轴不垂直，则 AB 与 x 轴不平行， 设直线 BC 的斜率为 k，直线 BC 的方程为 y kx m  ， 与椭圆 E 的交点为    1 1 2 2, , ,B x y C x y ，由 2 24 4 y kx m x y      ， - 18 - 得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ， 所以 1 2 2 8 1 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k   ， 因为 OB OC ，所以 1 2 1 2 0x x y y  ， 即   2 2 1 2 1 21 0k x x mk x x m     ，   2 2 2 2 2 4 4 81 01 4 1 4 m kmk mk mk k       ， 所以 2 25 4 4m k  ， 圆心 O 到直线 BC 的距离为 2 | | 2 5 51 md k    ， 同理可证圆心 O 到直线 AB，直线 CD，直线 AD 的距离都是 2 5 5 ， 所以四边形 ABCD 的内切圆 G 的方程为 2 2 4 5x y  ; 综上所述，存在定圆 G，使得 G 为四边形 ABCD 的内切圆， 内切圆的方程为 2 2 4 5x y  . 【点睛】本题考查了椭圆定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离， 还考查了设而不解，联立方程组，根与每每的关系等基本技巧，考查了学生的逻辑推理、直 观想象与数学运算等数学核心素养，难度较大. 21.已知函数 2( ) 1 xef x ax bx    ，其中 0a  ，b R ，e 为自然对数的底数. (1)若 1b  ，且当 0x  时， ( ) 1f x  总成立，求实数 a 的取值范围； (2)若 0b  ，且 ( )f x 存在两个极值点 1x ， 2x ，求证： 2 1 2 1( ) ( ) 2 ef x f x   【答案】(1) 10 2a  ；(2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)由已知可得 2 2 1 2( ) ( ) ( 1) x ae ax x af x ax x        ，只需对 2 1a a  与 0 的大小关系分类讨论，确定 - 19 - 函数的单调性，从而确定函数 ( )f x 的最小值，即可求出实数 a 的取值范围； (2)根据 1x ， 2x 是 ( ) 0f x  的根，可得 1x 与 2x 的关系及其范围，进而可将 1 2( ) ( )f x f x 用 含有 1x 的式子表示，构造函数即可证出. 【详解】(1)若 1b  ，则 2( ) 1 xef x ax x    ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2( )( 1) (2 1) [ (1 2 ) ]( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x ae ax xe ax x e ax e ax a x af x ax x ax x ax x                 ， 因为 0a  ， 0x  ， 所以当1 2 0a a   ，即 10 2a  时， ( ) 0f x  ， 所以函数 ( )f x 在[0,+ ) 上单调递增，所以 min( ) (0) 1 1f x f   ，符合题意； 当1 2 0a a   ，即 1 2a  时， 2 1(0, )ax a  时， ( ) 0f x  ； 2 1( , )ax a   时， ( ) 0f x  ， 所以函数 ( )f x 在 2 1(0, )a a  上单调递减，在 2 1( , )a a   上单调递增， 所以 min( ) (0) 1f x f  ，不符合题意， 综上：实数 a 的取值范围为 10 2a  . (2) 若 0b  ，则 2( ) 1 xef x ax   ， 所以 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 2 1)( ) ( 1) ( 1) x x xe ax e ax e ax axf x ax ax         ， 因为 ( )f x 存在两个极值点，所以 24 4 0a a  ，所以 1a  ， 令 ( ) 0f x  ，得 2 2 1 0ax ax   ， 所以 1 2,x x 是方程 2 2 1 0ax ax   的两个根， 所以 1 2 2x x  ， 1 2 1 (0,1)x x a   ，且 2 1 11 2ax ax  ， 2 2 21 2ax ax  ， 不妨设 1 2x x ，则 1 20 1 2x x    ， 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) 1 1 2 2 2 x x x x x xe e e e e ef x f x ax ax ax ax a x x             - 20 - 1 2 1 2 1 122 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1( ) [(2 ) ]2 2 2 x x x x x xx e x e x e x e x e x ea x x        ， 令 2( ) (2 ) (0 1)x xh x x e xe x     ， 所以 2 2 2( ) (2 ) (1 )( ) 0x x x x x xh x e x e e xe x e e             ， 所以 ( )h x 在 (0,1) 上单调递增，所以 ( ) (1) 2h x h e  ， 所以 1 2( ) ( )f x f x e  ，又 2 1 2 ee  ， 所以 2 1 2 1( ) ( ) 2 ef x f x   . 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题 解决问题的能力，属于中档题. 22.己知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 21 1 1 x t ty t         （t 为参数）.以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 5cos 3 4       . （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P，求 1 1 PA PB  的值. 【答案】（1）C：  2 24 1 1x y x    ；l： 1 3 5 2 2 4x y  ；（2）8. 【解析】 【分析】 直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程. 将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案. 【详解】解：（1）曲线 C 的参数方程为 2 2 21 1 1 x t ty t         （ t 为参数）， - 21 - 转化为直角坐标方程为  2 24 1 1x y x    ， 直线 l 的极坐标方程 5cos 3 4       ， 直角坐标方程为： 1 3 5 2 2 4x y  . （2）由于直线与 x 轴的交点坐标为 5 ,02       ， 所以直线的参数方程为 5 3 2 2 1 2 x t y t      ( t 为参数)， 代入 2 24 1x y  得到： 2 2 15 1 0t t   ， 所以： 1 2 2 15t t  ， 1 2 1t t   ， 则：  2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 41 1 8t t t tt t PA PB t t t t      . 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的 意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题. 23.已知 a ，b ， c 均为正实数，求证： （1）  2( ) 4a b ab c abc   ； （2）若 3a b c   ，则 1 1 1 3 2a b c      . 【答案】证明过程详见解析 【解析】 【分析】 ⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化 简后的不等式成立 ⑵由基本不等式可得 1 2 31 2 2 2 a aa      ，同理可得另外两个也是成立，结合已知 条件即可求证结果 【详解】证明：(1)要证   2 4a b ab c abc   ， - 22 - 可证 2 2 2 2 4 0a b ac ab bc abc     ，需证    2 2 2 2b 2 2 0a c ac a c b bc      ， 即证    2 2 0b a c a c b    ，当且仅当 a b c  时，取等号，由已知，上式显然成立， 故不等式  2 4a b ab c abc   成立． (2)因为 , ,a b c 均为正实数， 由不等式的性质知 1 2 31 2 2 2 a aa      ，当且仅当 1 2a   时，取等号， 1 2 31 2 2 2 b bb      当且仅当 1 2b   时 ，取等号， 1 2 31 2 2 2 c cc      当且仅当 1 2c   时，取等号， 以上三式相加，得  2 1 1 1 62 a b c da b c          所以 1 1 1 3 2a b c      ，当且仅当 1a b c   时，取等号． 【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不 等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果． - 23 -