陕西省西安市西北工业大学附属中学2020届高三下学期高考猜题卷（三）理科数学试题 Word版含解析 23页

陕西省西安市西工大附中高考猜题卷（三）‎ 理科数学 本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将集合化简，然后利用交集的概念求解.‎ ‎【详解】集合，又，‎ 则.‎ - 23 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，较简单，准确求解集合是关键.‎ ‎2. 复数（，是虚数单位）是纯虚数，则m等于（ ）‎ A. -1 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法法则化简式子，然后根据纯虚数的概念，简单计算可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 由复数是纯虚数 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念，重在计算与理解，属基础题.‎ ‎3. 已知，“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算两个函数为增函数的参数满足的条件，然后根据充分条件、必要条件的概念可得结果.‎ - 23 -‎ ‎【详解】由题可知：幂函数在上为增函数，则 指数函数为增函数，则 所以不能得到，但能得到 所以“幂函数在上为增函数”是 ‎“指数函数为增函数”成立的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的概念，熟知概念，审清题意，细心计算，属基础题.‎ ‎4. 在等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，结合等比数列的通项公式可得公比，进一步可得结果.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为 由， ‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式以及基本量的计算，重在计算，属基础题.‎ ‎5. 某公司引进先进管理经验，在保持原有员工人数基础上，注重产品研发及员工待遇，提高产品质量和员工积极性，效益显著提高.同时该公司的各项成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司2018年和2019年的运营成本及利润占当年总收入的比例，已知2019年和2018年的材料设备费用相同，则下列说法不正确的是（ ）‎ - 23 -‎ A. 该公司2019年利润是2018年的3倍 B. 该公司2019年的员工平均工资是2018年的2倍 C. 该公司2019年的总收入是2018年的2倍 D. 该公司2019年的研发费用等于2018年的研发和工资费用之和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2018年全年收入为，则2019年全年收入为，由2019年和2018年的材料设备费用相同得，再根据题意依次讨论即可得答案.‎ ‎【详解】解：2018年全年收入为，则2019年全年收入为，‎ 因为2019年和2018年的材料设备费用相同，所以，即：，故C选项正确；‎ 对于A选项，2018年的利润为：，2019年的利润为：，故正确；‎ 对于B选项，2019年的平均工资为：， 2018年的平均工资为：，故B选项不正确；‎ 对于D选项，2019年的研发费用为：，2018年的研发和工资费用之和为：，故正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查根据折线图分析相关的统计数据，考查数据分析能力与运算能力，是中档题．‎ ‎6. 已知双曲线的一条渐近线过点 - 23 -‎ ‎，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直线的斜率，可得出的值，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】设坐标原点为，直线的斜率为，所以，，‎ 因此，该双曲线的离心率.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线方程时，利用公式求解双曲线的离心率较为方便，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7. 函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据函数的解析式，求得，得到函数为偶函数，排除B、D项，再结合，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数的定义域为，‎ 所以定义域关于原点对称，‎ 又由，‎ 所以函数为偶函数，排除B、D项；‎ 当时，可得，排除C项，‎ 所以只有A选项适合.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎8. 已知正四棱锥中，，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用几何法求出外接球的半径即可.‎ ‎【详解】如图所示，连接，相交于点，连接，则球心位于上，‎ 因为，所以，‎ 即，所以球心位于点，球体的半径 所以球的表面积为.‎ 故选：D.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查几何体的外接球问题，较简单，解答时只要分析出球心的位置，采用几何法解出球体的半径即可解决问题.‎ ‎9. 有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，则至少有一对双胞胎相邻的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算四人站在一起的站法，再分别计算恰有一对双胞胎相邻的站法和恰有两对双胞胎相邻的站法，最后按照概率计算公式计算即可.‎ ‎【详解】四人站成一排合影共有种站法，‎ 其中恰有一对双胞胎相邻的站法有种站法，‎ 其中恰有两对双胞胎相邻的站法有种站法，‎ 所以至少有一对双胞胎相邻的概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.‎ ‎10. 关于函数，有以下4个结论：‎ ‎①的最小正周期是；‎ ‎②的图象关于点中心对称；‎ ‎③的最小值为；‎ - 23 -‎ ‎④在区间内单调递增.‎ 其中所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①③④ B. ①③ C. ②④ D. ②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案 ‎【详解】‎ ‎1、由，知：最小正周期，故①正确 ‎2、由正弦函数的性质，知：中，，则对称中心为，故②错误 ‎3、由的化简函数式知：，故③正确 ‎4、因为在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：在上递增，可得，，有一个单调增区间为，故上不单调，故④错误 故选：B ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误 ‎11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，过点M作，为垂足，已知直线的斜率为2，的面积为10，则p等于（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由条件可将用表示出来，再结合面积即可求出p.‎ ‎【详解】 ‎ 设，可知，，‎ ‎，得，，‎ 由抛物线的性质可知，‎ ‎，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质，属于基础题.‎ ‎12. 若对，，恒成立，则实数a的最小为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的最值消掉参数，转化为 恒成立，分离参数，令 - 23 -‎ ‎，求导判断出函数的最值即可得到的取值范围，进而求出实数的最小值．‎ ‎【详解】，‎ 所以对 恒成立，‎ 等价于 恒成立，即 恒成立，‎ 令，则，‎ 于是当 时，； 当 时，，‎ 即函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，‎ 所以，因此，即实数 的最小值为，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值，考查导数解决恒成立问题,考查了分离参数法的应用，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13. 已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设知，又单位向量，的夹角是，即可得方程求值 ‎【详解】由向量，，知：‎ - 23 -‎ ‎∴，而单位向量，的夹角是 ‎∴，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量模为1，属于简单题 ‎14. 已知曲线上在点处的切线方程为，则实数___________.‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 和满足切线方程，代入即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 把点代入切线方程得：，‎ ‎，‎ 故答案为：-1.‎ ‎【点睛】此题考曲线在某点的导数的几何意义，属于简单题.‎ ‎15. 已知是等差数列的前n项和，若，，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件求出首项和公差，即可求出通项公式和前项和，再根据数列的单调性可求出 - 23 -‎ 的最小值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ ‎，解得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ 恒成立，，‎ 在单调递增，‎ 由此可以判断数列为递增数列，‎ 故的最小值为.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查由数列的单调性求最值，属于中档题.‎ ‎16. 如图，在正方体中，，点M，N分别在棱和上，且，则线段的长度的最大值为___________，此时，三棱锥的体积为___________.‎ - 23 -‎ ‎【答案】 (1). (2). 3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，则，，根据列方程可得，所以当时，取得最大值，根据以及棱锥的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】设，，则，，‎ 在正方体中，因为，所以，‎ 所以，，，‎ 因，所以，‎ 即，化简得，‎ 所以，所以当时，取得最大值，‎ 所以线段的长度的最大值为，‎ 此时.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎（1）求角B；‎ ‎（2）若的面积为1，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理进行边角互化，然后结合余弦定理求出，然后得出角；‎ ‎（2）利用面积公式求出，然后利用余弦定理求出，再运用正弦定理得出.‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理得：，即，‎ 所以，则.‎ ‎（2）若的面积为，则，解得，‎ 由余弦定理得，‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，考查三角形的面积公式，难度一般.‎ ‎18. 已知等腰梯形，如图（1）所示，，，沿将△折起，使得平面平面，如图（2）所示，连接，得三棱锥.‎ - 23 -‎ ‎（1）求证：图（2）中平面；‎ ‎（2）求图（2）中的二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的性质定理即可证面；（2）构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，即可得，，，，可求得二面角对应的法向量，进而根据法向量夹角与二面角关系即可求得二面角的正弦值 ‎【详解】（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中 ‎∴，又面面，面，而面面 ‎∴面 ‎（2）如下图示，构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，由题意知：，，，则，，，‎ 令为面ABD的一个法向量，则 - 23 -‎ ‎，若y=1，有 令为面CBD一个法向量，则 ‎，若y=1，有 ‎∴与的夹角为，则，故 根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角的正弦值为 ‎【点睛】本题考查了空间向量与立体几何，利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，应用平面的法向量，结合向量数量积的坐标表示求法向量夹角的正弦值，进而可得二面角的正弦值 ‎19. 某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差.通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）.‎ ‎（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率.‎ ‎（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图.‎ ‎①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；‎ - 23 -‎ ‎②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望.‎ 附：若，则；；.‎ ‎【答案】（1）0.1814；（2）①85，②分布列见解析，期望为2.4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正态分布的对称性求、，而车速在之外的车辆需矫正速度，即可求车辆需矫正速度的概率；（2）①根据中位数的概念即可得到车速的中位数，②由题意车速在之间的不需要矫正速度且不需要矫正速度的车辆数的取值为，进而利用二项分布的概率公式求不同的概率，并得到分布列，即可计算期望值 ‎【详解】（1）由，‎ ‎∴‎ 由题意，知：快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率为 ‎（2）①由图知：100辆车的速度在有26辆，在有34辆 ‎∵同一区间中数据均匀分布，知：40辆速度在之间的车中，速度为83、84、85、86各有10辆 ‎∴100辆车的速度的中位数为85‎ ‎②由题意知：不需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之间的不需要矫正速度 ‎∴不需要矫正速度的概率：，需要矫正速度的概率：‎ - 23 -‎ ‎∴由上：，分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了概率与统计，利用正态分布的对称性求满足正态分布事件的发生概率，应用二项分布求出不同取值的概率并得到分布列，进而求其期望值 ‎20. 已知函数.‎ 证明：（1）在区间上存在唯一的零点.‎ ‎（2）对任意，都有.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的导函数知在上单调递减，且、即可证结论；（2）由题设不等式在上恒成立，证恒成立，即，利用导数与函数单调性、极值情况证明，结论即得证 ‎【详解】（1）由题意知：在上有恒成立 ‎∴在上单调递减，而，，‎ 可知：在区间上存在唯一的零点 ‎（2）要证：对任意，都有 - 23 -‎ 需证：恒成立 令，故，而在单调增 ‎∵，‎ ‎∴必，使得，即有 ‎∴在上，单调减；在上，单调增 故 在对任意恒成立得证 ‎∴对任意，都有 ‎【点睛】本题考查了利用导函数研究零点个数，并应用导函数研究函数的单调性、极值点，进而证明不等式恒成立，注意零点作为中间参数证明函数最小值大于0的应用 ‎21. 已知点，直线，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与交于、两点，判断是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2），理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，利用可得出关于、所满足的等式，化简可得曲线的方程；‎ ‎（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在轴时，求出 - 23 -‎ 的值；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合两点间的距离公式计算出的值.综合可得出结论.‎ ‎【详解】（1）设点，由可得，化简得，‎ 因此，曲线的方程为；‎ ‎（2）在椭圆中，，.‎ 当直线垂直于轴时，；‎ 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设点、，‎ 联立，消去并整理得，‎ ‎，由韦达定理得，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ - 23 -‎ 同理可得，‎ 所以，.‎ 综上所述，（定值）.‎ ‎【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数，且），在以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（b为常数，）.‎ ‎（1）点A的极坐标为，若直线l过点A，求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C有两个交点，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（1）l：，C：；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；‎ ‎（2）利用直线和圆的位置关系的应用求出参数的范围．‎ ‎【详解】（1）直线的极坐标方程为，经过点的极坐标为，‎ - 23 -‎ 所以，解得，‎ 的直角坐标方程为．‎ 曲线的参数方程为（其中为参数，且，消去参数得．‎ ‎（2）直线的方程，与曲线有两个交点，‎ 利用图象，‎ 所以当时，直线与半圆相切，当时，直线与圆有一个交点，‎ 故当时，有两个交点．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和普通方程互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎23. 已知a，b，c均为正实数，且满足.‎ 证明：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；‎ - 23 -‎ ‎（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．‎ ‎【详解】（1）由，，均为正实数，且满足，‎ ‎，‎ 可得，当且仅当时取得等号．‎ 则，‎ 当且仅当，时取得等号．‎ ‎（2）由，，均为正实数，且满足，‎ ‎，当且仅当取得等号，‎ 同理可得，当且仅当取得等号，‎ 同理可得，当且仅当取得等号，‎ 上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法，考查逻辑推理能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ - 23 -‎