陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试卷 Word版含解析 13页

- 1 - 咸阳市高新一中 2020—2021 学年度第一学期高一年级第三次 考试数学 数学 A 卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 { | 0 4}, { | 0 2}A x x B y y      ，则下列对应 f 中不能构成 A 到 B 的映射的 是( ) A. 1: 2f x y x  B. : 2f x y x   C. :f x y x  D. : | 2 |f x y x   【答案】B 【解析】 根据映射定义， 1: 2f x y x  ， :f x y x  ， : 2f x y x   中的对应 f 中 均能构成 A 到 B 的映射，而对于 : 2f x y x   ，当 4x  ， 6y  ，而 6 B ，不能构成 A 到 B 的映射，选 B. 2. 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ） A. 只和这个平面内的一条直线平行 B. 只和这个平面内的两相交直线不相 交 C. 和这个平面内的任何一条直线都平行 D. 和这个平面内的任何一条直线都不 相交 【答案】D 【解析】 【分析】 由线面平行的性质逐项判断即可得解. 【详解】若一条直线和一个平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行，故 A 错误； 该直线与平面内的所有直线平行或者异面，故 B、C 错误，D 正确. 故选：D. - 2 - 3. 函数    12 ln 14 xf x x    的定义域是（ ） A.  1,2 B.  2,1 C.  2,1 D.  2,1 【答案】D 【解析】 【分析】 求出使解析式有意义的自变量的范围． 【详解】由题意 12 04 1 0 x x       ，解得 2 1x- £ < ． 故选：D． 4. 已知幂函数 f(x)的图像经过点(9，3)，则 f(2)－f(1)＝( ) A. 3 B. 1－ 2 C. 2 －1 D. 1 【答案】C 【解析】 设幂函数为f(x)＝xα，由 f(9)＝9α＝3，即 32α＝3，可得 2α＝1，α＝ 1 2 .所以 f(x)＝ 1 2x ＝ x ， 故 f(2)－f(1)＝ 2 －1. 5. 若 3loga  ， 7log 6b  ， 2log 0.8c  ，则（ ） A. b c a  B. b a c  C. c a b  D. a b c  【答案】D 【解析】 【分析】 先判断得到 c＜0，a＞1，1>b＞0，进而得解. 【详解】由题得 2 2log 0.8 log 1 0c    ， 3 3log log 3 1a    ， 7 7log 6 log 1 0,b    7 7log 6 log 7 1b    ， 所以 a b c  . 故选 D 【点睛】本题主要考查对数函数的运算和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平， - 3 - 属于基础题. 6. 下列命题中： ①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当 n=0 时，幂函数 y=xn 的图象是一条直线； ④当 n＞0 时，幂函数 y=xn 是增函数； ⑤当 n＜0 时，幂函数在第一象限内的函数值随 x 的值增大而减小． 其中正确的是 （ ） A. ①和④ B. ④和⑤ C. ②和③ D. ②和⑤ 【答案】D 【解析】 当 1y x 时，不过(0,0)点，①错误； 当 0x  时， 0y  ，故幂函数的图象不可能在第四象限内，故②对 当 0n  时， ny x 中 0x  ，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错； 2y x 在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是增函数，④错． 幂函数 ny x ，当 n 0 时，在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小．⑤对 故选 D. 7. 函数 y＝ax－ 1 a (a>0，且 a≠1)的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 - 4 - 【分析】 就 1a  、 0 1a  分类讨论可得正确的选项. 【详解】当 1a  时， 1xy a a   为增函数，当 0x  时， 11 1y a    且 11 0y a    ， 故 A,B 不符合. 当 0 1a  时， 1xy a a   为减函数，当 0x  时， 11 0y a    ，故 C 不符合，D 符合. 故选：D. 【点睛】本题考查与指数函数有关的函数图象的识别，注意根据底数合理分类，并结合特殊 点处的函数值的符号与大小进行判断，本题属于基础题. 8. 函数   4xf x e x   的零点所在的区间为（ ） A. (1,2) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (2,3) 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数 xy e 与 y x 在 R 上均是单调增函数， 所以函数   4xf x e x   是 R 上的单调增函数， 因为 (1) 1 4 3 0f e e      ， 2 2(2) 2 4 2 0f e e      ， 又函数 ( )f x 的图象连续不间断， 所以函数 ( )f x 的零点所在的区间为 (1,2) . 故选：A 【点睛】本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题. 9. 如图 Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若 O′B′＝ 2 ，则这个平面图形的 面积是 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 2 - 5 - 【答案】C 【解析】 由直观图可知，原平面图形是 Rt△OAB，其中 OA⊥OB，则 OB＝O′B′＝ 2 ，OA＝2O′A′＝4， ∴S△OAB＝ 1 2 OB·OA＝2 2 ，故选 C． 点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准； 2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为 S 原，它的 斜二测画法直观图的面积为 S 直，则有 S 直＝ 2 4 S 原(或 S 原＝2 2 S 直). 10. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱 在侧视图中表现为一条对角线，逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 【详解】我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故 D 不正确； 中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故 A，C 不正确； - 6 - 故选：B 【点睛】本题考查了空间几何体三视图问题，考查了空间想象能力. 11. 若关于 x 的方程 3 1 0x a   有两个不同的实数解.则实数 a 的取值范围是（ ） A.  0,1 B.  0,1 C.  0,  D.  1,+ 【答案】A 【解析】 【详解】关于 x 的方程 3 1 0x a   有两个不同的实数解等价于函数   3 1xf x   的图象与 直线 y a 有两个不同的公共点，画出函数   3 1xf x   的图象如图所示： 由图可知 0 1a  时函数   3 1xf x   的图象与直线 y a 有两个不同的公共点， 即实数 a 的取值范围是 0,1 ， 故选 A. 12. 已知函数 (3 1) 4 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x      是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. 10, 3      C. 1 1,7 3     D. 1 1,7 3      【答案】C 【解析】 【分析】 利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可． 【详解】解：因为 (3 1) 4 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x      为 R 上的减函数， - 7 - 所以有 3 1 0 0 1 (3 1) 1 4 1a a a a a log          … ，解得 1 1 7 3a „ ，即 1 1,7 3a     故选：C ． 【点睛】本题考查分段函数的性质，函数单调性的性质，属于中档题． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 ,a R b R  ，若  1 1, ,ln , ,0a b b a b      ，则 a b  __________． 【答案】-2 【解析】 因为  1 1, ,ln , ,0a b b a b      ，显然 1, 0, ln 0, 1, , 1a b b b a aa        或 1a  （舍去）， 2a b   ，故答案为 2 . 14. 已知函数  f x 是定义在 R 上的偶函数， 0x  时，   3f x x ，那么  2f 的值是 ________. 【答案】 8 ； 【解析】 【分析】 由已知可得 f（2）＝f（﹣2），结合 x＜0 时，f（x）＝x3，可得答案． 【详解】∵当 x＜0 时，f（x）＝x3，∴f（﹣2）＝﹣8，又∵f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴f（2）＝f（﹣2）＝﹣8， 故答案为：-8. 【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质得 f（2）＝f（﹣2）. 15. 已知函数   2 3f x x  ，  1 4x x N x    ，则函数  f x 的值域为_________. 【答案】 1,1,3,5 ； 【解析】 【分析】 先确定函数的定义域，进而可得函数的值域，即可得解. - 8 - 【详解】由题意，集合   1 4 1,2,3,4x N x    ， 又  1 2 3 1f     ，  2 4 3 1f    ，  3 6 3 3f    ，  4 8 3 5f    . 所以函数  f x 的值域为 1,1,3,5 . 故答案为： 1,1,3,5 . 16. 已知  y f x 在定义域  1,1 上是减函数，且    1 2 1f a f a   ，则 a 的取值范围是 ______． 【答案】 0 2 3a  【解析】 【详解】试题分析：由题设， ， 解答得 20 3 （ ，）. 考点：函数性质． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17. 已知 0a  ，集合 1 1 28 2 x A x            ，  2B x x   或 x a . （1）若 RA B ð ，求实数 a 的取值范围； （2）若 2a  ，求 A B ， A B ， R A Bð . 【 答 案 】（ 1 ） 3a  ；（ 2 ）  2A B x x    或 1x   ，  2 3A B x x    ，  R A B ð  2x x   或 3x  . 【解析】 【分析】 （1）由指数不等式可得  1 3A x x    ，结合补集的定义可得  2R B x x a   ð ，再 由集合间的关系即可得解； - 9 - （2）由交集、并集、补集的定义，运算即可得解. 【详解】（1）由题意，  1 1 2 1 38 2 x A x x x                ， ∵  2R B x x a   ð ， RA B ð ， ∴ 3a  ； （2）当 2a  时，  2B x x   或 2x  ， ∴  2A B x x    或 1x   ，  2 3A B x x    ， 又 ARð  1x x   或 3x  ，∴  R A B ð  2x x   或 3x  . 18. 求下列各式的值： （1） 1 2 2.5 05 3 3 3[(0.064 ) ] 3 π8    ． （ 2 ） 2 22(lg 2) lg 2 lg5 (lg 2) lg2 1     ． 【答案】（1）0（2）1 【解析】 【详解】（1）原式 2 12.5 32 3 5 270.8 18                 ， 1 1  0 ． （ 2 ）    2 2 2 lg 2 lg 2 lg5 lg 2 lg2 1     2 21 1 1 2 2 22 lg 2 lg2 lg5 lg 2 lg2 1                 2 2 1 1 12 lg2 lg2 lg5 lg2 lg2 12 2 2                2 21 1 12 lg2 lg2 lg5 lg2 12 2 2                1 1lg2 lg2 lg5 lg2 12 2     - 10 -  1 1lg2 lg 2 5 1 lg22 2      1 1lg2 1 lg2 12 2     ． 19. 已知函数    3log 1xf x a ＝ ， 0a  且 1a  . （1）求该函数的定义域； （2）若该函数的图象经过点  2,1M ，讨论  f x 的单调性并证明. 【答案】（1）见解析；（2）  f x 在 0,  上是增函数；证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由对数函数的性质转化条件为 1 0xa   ，按照 1a  、 0 1a  讨论，结合指数函数的 性质即可得解； （2）代入点可求得 2a  ，由函数单调性的定义任取 2 1 0x x  ，结合指数函数、对数函数 的性质可得    2 1f x f x ，即可得解. 【详解】（1）要使函数  f x 有意义，只需 1 0xa   ，即 1xa  ， ①当 1a  时，解得 0x  ； ②当 0 1a  时，解得 0x  ； 故当 1a  时，函数的定义域为 0,  ； 当 0 1a  时，函数的定义域为 ,0 ； （2）由  2 1f  得  2 3log 1 1a   ，∴ 2 4a  ，即 2a  ， 故函数  f x 的定义域为 0,  ，  f x 在 0,  上是增函数，证明如下： 任取 2 1 0x x  ，则 2 12 2 1x x  ， ∴ 2 12 1 2 1 0x x    ， 2 1 2 1 12 1 x x   ， 即        1 1 2 2 32 1 3 3log 2 1 log 2 2 1log 02 11 x x x xf x f x      ， ∴    2 1f x f x ， - 11 - 故  f x 在 0,  上是增函数. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是指数函数、对数函数性质的熟练应用. 20. 已知实数 x 满足 9 12 3 27 0x x- × + £ ，函数 2 2( ) log log2 2 x xf x   . （1）求实数 x 的取值范围； （2）求函数 ( )f x 的最大值和最小值，并求出此时 x 的值. 【答案】（1）1 2x  ；（2） 2x  时， min( ) 0f x  ，当 2log 0x  ，即 1x  时， min( ) 2f x  . 【解析】 试题分析：（1）将原不等式因式分解得( )( )3 3 3 9 0x x- - £ ，解得 23 3 3 ,1 2x x    ；（2） 根 据 对 数 的 运 算 公 式 ， 化 简   2 2 3 1log 2 4f x x      ， 而 20 log 1x≤ ≤ ， 故 当 2log 1, 2x x  时函数有最小值为 0 ，当 2log 0, 1x x  时函数有最大值为 2 . 试题解析： （1）由9 12 3 27 0x x    得 2 3 12 3 27 0x x    即  3 3 3 9 0x x   ，∴3 3 9x  ， 1 2x  . （2）因为     2 2 22log log log 1 log 22 2 x xf x x x       2 2 2 2 2 3 1log 3log 2 log 2 4x x x         ，∵1 2x  ，∴ 20 log 1x  ，当 2log 1x  ， 即 2x  时，  min 0f x  ，当 2log 0x  ，即 1x  时，  max 2f x  . 21. 如图所示，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 、N 、E 、F 分别是棱 1 1A B 、 1 1A D 、 1 1B C 、 1 1C D 的中点.求证：平面 //AMN 平面 EFDB . - 12 - 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 连接 MF ，由线面平行的判定可得 / /AM 平面 EFDB ，同理可得 / /AN 平面 EFDB ，再由 面面平行的判定即可得证. 【详解】证明：连接 MF ，如图， ∵ M 、 F 是 1 1A B 、 1 1C D 的中点，四边形 1111 DCBA 为正方形， ∴ 1 1/ /MF A D 且 1 1MF A D ， 又 1 1 / /A D AD 且 1 1A D AD ，∴ / /MF AD 且 MF AD ， ∴四边形 AMFD 是平行四边形. ∴ / /AM DF . ∵ DF  平面 EFDB ， AM  平面 EFDB ， ∴ / /AM 平面 EFDB ，同理 / /AN 平面 EFDB ， 又 AM  平面 ANM ， AN  平面 ANM ， AM AN A ， ∴平面 / /AMN 平面 EFDB . - 13 - 22. 已知函数 2( ) 4f x ax ax b   （ 0a  ） （1）若在区间[0，1]上有最大值 1 和最小值-2．求 a，b 的值； （2）在（1）条件下，若在区间[ 1,1] 上，不等式 f（x）  x m  恒成立，求实数 m 的取值 范围． 【答案】(1) a=b=1;(2) 实数 m 的取值范围是（-∞，-1）. 【解析】 试题分析：（1）由于对称轴为 x=2，所以根据二次函数图像可确定最值取法，列方程组解得 a， b 的值；（2）分离参变得 x 2-3x+1＞ m，只要解 x 2-3x+1 在 1,1 上最小值，即得实数 m 的取 值范围． 试题解析：（1）  0,1x f（x）=a（x2-4x）+b=a（x-2）2+b-4a ∵a＞0，∴函数图象开口向上，对称轴 x=2， ∴f（x）在[0，1]递减；∴f（0）=b=1，且 f（1）=b-3a=-2，∴a=b=1； （2）f（x）＞-x+m 等价于 x 2-4x+1＞-x+m， 即 x 2-3x+1-m＞0，要使此不等式在  -1,1x 上恒成立， 只需使函数 g（x）=x2-3x+1-m 在[-1，1]上的最小值大于 0 即可． ∵g（x）=x2-3x+1-m在[-1，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0 得，m＜-1． 因此满足条件的实数 m 的取值范围是（-∞，-1）．