【数学】天津市蓟州区擂鼓台中学2019-2020学年高一下学期期末训练（04） 10页

天津市蓟州区擂鼓台中学2019-2020学年高一下学期期末 数学训练（04）‎ 一、选择题 ‎1. 复数等于（ ） ‎ A． B. C. D. [.‎ ‎2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱 体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为‎50m，∠ ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）‎ A.m B.m C.m D.m ‎ A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ 第4题图 ‎ ‎4. 设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　）‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎5. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ A．56 B．‎60 ‎ C．120 D．140‎ ‎7. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该 本的中位数、众数、极差分别是（ ）‎ A．46，45，56 B．46，45，‎53 C．47，45，56 D．45，47，53‎ ‎8. 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 设为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是 （ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎10. 如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（ ）‎ ‎ A．　　 B． C． 　　 D．‎ 二、填空题 ‎11. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是______________.（用数值表示）‎ ‎12. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　 　　．‎ ‎13. 已知（是虚数单位），计算_____（其中是的共轭复数）．‎ ‎14. 某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 ‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ 第15题图 P A D C M B ‎15. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 . ‎ 三、解答题 ‎16. 某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）‎ ‎（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果 ‎（Ⅱ）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率．‎ ‎17. 某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组 得到的频率分布表如下左图所示.‎ ‎（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？‎ ‎（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎30]‎ ‎②‎ 第4组 ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎18. 在中，，，分别为内角，，所对的边长．已知 ‎．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若，，的面积．‎ ‎19. 如图，在五面体中，四边形是正方形，⊥平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）证明⊥平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的正切值．‎ ‎20. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,,,分别是棱,的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明: 平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，‎ ‎（ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎．‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1. D 2. B 3. A 4. C 5. B 6. D 7. A 8. A 9. D 10. D 二、填空题 ‎11. 12. 12 13. 14. 180 15. ‎ 三、解答题 ‎16. 【解析】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.‎ ‎17‎ 所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为 ‎ ‎18. 【解析】（I）由正弦定理，设 则 所以 即，‎ 化简可得又，‎ 所以，因此 ‎（II）由得 由余弦定理 解得a=1．因此c=2．‎ 又因为所以 因此 ‎19. 【解析】（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以//.故为异面直线与所成的角.因为平面，所以.故.‎ 在△中，=1，=，==3,‎ 故==.‎ 所以异面直线和所成角的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）证明：过点作//,交于点，则.由,可得,从而,又,=,所以平面.‎ ‎(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即为的中点.取的中点，连接 则,因为//,所以//.过点作，交于，‎ 为二面角--的平面角。‎ 连接，可得平面,故.从而.由已知，可得=.由//,,得.‎ 在△中，,‎ 所以二面角--的正切值为．‎ ‎20. 【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，‎ 故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E为AD中点，‎ 因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，‎ 所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，‎ 所以EF//平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）（i）证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，‎ 故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，‎ 由，可解得PE=2．‎ 在三角形ABD中，由，可解得BE=1．‎ 在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，‎ 由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB，‎ 又BC//AD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，‎ 所以平面PBC平面ABCD．‎ ‎（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，‎ 由PB=，PA=，AB=得ABP为直角，而MB=PB=，可得AM=，‎ 故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，‎ 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．‎