【数学】甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高一上学期期末考试试题（解析版） 9页

甘肃省金昌市永昌四中 2019-2020 学年 高一上学期期末考试试题 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.过点 A(－2，0)与 B(－5，3)的直线的倾斜角为（ ）． A. 45° B. 75° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】因为 ，而 ， 或 ， 所以 ． 故选：C． 2.圆 x2+4x+y2=0 的圆心和半径分别为（　　） A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2 【答案】C 【解析】圆的方程可化为 ，可知圆心为 ，半径为 2. 故答案为 C. 3.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， （ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】A 【解析】由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可 得 ， ，可得 . 4.平行直线 与 的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C ( ) 3 0 15 2k −= = −− − − tank α= 0 90α≤ <  90 180α< <  135α =  ( )2,0− ( )2,0 ( )2,0− ( )2,0 ( )2 22 4x y+ + = ( )2,0− α β l m l α⊂ m β⊂ l β⊥ α β⊥ α β⊥ l m⊥ //l β //α β //α β //l m l β⊥ l α⊂ α β⊥ 5 12 3 0x y+ + = 10 24 5 0x y+ + = 2 13 1 13 1 26 5 26 【解析】因为两平行直线 与 间的距离是 ， 即 ， 所以两平行直线 与 间的距离是 ． 故选 C． 5.两圆 和 的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 【答案】D 【解析】由题意可得两圆方程为： 和 则两圆圆心分别 ： 和 ；半径分别为： 和 则圆心距： 则 两圆相交 本题正确选项：D. 6.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2，则 V1：V2=（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 【答案】D 【解析】由圆柱与圆锥的体积公式得 V1：V2= 3：1，则选 D． 7.过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是（ ） A. x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 【答案】A 【解析】设与直线 平行的直线方程为 ， 将点 代入直线方程 可得 ，解得 ． 则所求直线方程为 ．故 A 正确． 8.若 是圆 的弦, 的中点是 ,则直线 的方程是( ) A. B. 为 0ax by m+ + = 0ax by n+ + = 2 2 m n a b − + 5 12 3 0x y+ + = 10 24y 6 0x + + = 5 12y 3 0x + + = 10 24y 5 0x + + = 2 2 5 6 1 2610 24 − = + 2 2 1 0x y+ − = 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = 2 2 1x y+ = ( ) ( )2 22 1 9x y− + + = ( )0,0 ( )2, 1− 1 1r = 2 3r = ( ) ( )2 22 0 1 0 5d = − + − − = 1 2 1 25r r r r− < < + ∴ PQ 2 2 9x y+ = PQ ( )1,2 PQ 2 3 0x y+ − = 2 5 0x y+ − = C. D. 【答案】B 【解析】因为 的中点与圆心连线垂直 PQ，所以 , 所以直线 的方程是 ,选 B. 9.圆 上的点到直线 距离的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆 的标准方程 ，圆心 ，半径 为 1，圆心到直线 的距离 ， 所以根据圆的几何特征，圆上的点到直线距离的最大值为 . 故选：B 10.设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则 ③若 ， ，则 ④若 ， ，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】对于①，因为 ，所以经过 作平面 ，使 ，可得 ， 又因为 ， ，所以 ，结合 得 ．由此可得①是真命题； 2 4 0x y− + = 2 0x y− = PQ 1 0 1 2 0 2PQk −= − = −− PQ 12 ( 1) 2 5 02y x x y− = − − ∴ + − = 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2x y− = 2 1 2+ 22 2 + 1 2 2+ 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( )1,1 2 0x y− − = 1 1 2 2 1 1 d − −= = + 1 2+ m n α β γ m α⊥ / /n α m n⊥ / /α β / /β γ m α⊥ m γ⊥ / /m α / /n α //m n α γ⊥ β γ⊥ / /α β / /n α n β lβ α∩ = / /n l m α⊥ l α⊂ m l⊥ / /n l m n⊥ 对于②，因为 且 ，所以 ，结合 ，可得 ，故②是真命题； 对于③，设直线 、 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线， 而平面 是正方体下底面所在 平面， 则有 且 成立，但不能推出 ，故③不正确； 对于④，设平面 、 、 是位于正方体经过同一个顶点的三个面， 则有 且 ，但是 ，推不出 ，故④不正确． 综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A. 11.正六棱锥底面边长为 ，体积为 ，则侧棱与底面所成的角为（ ）． A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】因为正六棱锥的底面边长为 ，所以 ，又体积为 ， 所以棱锥的高 ，所以侧棱长为 ，所以侧棱与底面所成的角为 ．故选 B． 12.圆 与圆 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直 平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【 解 析 】 圆 的 圆 心 为 ， 圆 的 圆 心 为 ，两圆的相交弦 的垂直平分线即为直线 ，其方程为 ，即 ； 故选 A. 的 / /α β / /β γ / /α γ m α⊥ m γ⊥ m n α / /m α / /n α //m n α β γ α γ⊥ β γ⊥ α β⊥ / /α β a 33 2 a a 2 23 3 36 4 2S a a= × =底面积 33 2 a h a= 2a 45° 2 2 2 5 0x y x+ − − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y− + = 1 0x y− + = 2 2 2 5 0x y x+ − − = (1,0)M 2 2 2 4 0x y x y+ + − = ( 1,2)N − AB MN 0 2 0 1 1 1 y x − −=− − − 1 0x y+ − = 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.直线 与直线 的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】由 解得， ． 故答案为： ． 14.直线 3x-4y+5=0 被圆 x2+y2=7 截得的弦长为______． 【答案】2 【解析】∵圆心（0，0）到直线 3x-4y+5=0 的距离为 =1， ∴所求距离为 ． 故答案为 . 15.已知在四面体 中， 分别是 的中点，若 ， 则 与 所成的角为 【答案】 【解析】取 中点 ，连结 EG，FG，则 ， 为 与 所成的角． ． 16.当 为任意实数时，直线 恒过定点 ，则以点 为圆心，半径为 的圆的方程为__________． 【答案】 2 3 7 0x y+ − = 5 9 0x y− − = ( )2 1， 2 3 7 0 5 9 0 x y x y + − =  − − = 2 1 x y =  = ( )2 1， 6 2 2 5 3 4+ 2 7 1 2 6− = 2 6 ABCD E F、 AC BD、 2 4,CD AB EF AB= = ⊥ EF CD 30 AD G / / , / / 90EG CD FG AB EFG∴∠ =  FEG∠ EF CD 2, 1 30EG FG FEG= = ∴∠ =  a ( 1) 1 0a x y a− − + + = C C 5 2 2 2 4 0x y x y+ + − = 【解析】 整理关于 的表达式 ，关于 的方程各项为 0， ，解得 ，恒过定点 ，以 为圆心，半径为 的圆为： 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分） 17.（1）设直线 l 过点（2，3）且与直线 2x+y+1=0 垂直，l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点， 求|AB|； （2）求过点 A（4，-1）且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 l 的方程． 【解】（1）设直线 的斜率为 ，由题意知， ， ． 而直线 经过点 ，所以直线 ： 即 x-2y+4=0． 令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=-4，∴A（-4，0），B（0，2）， 则|AB|= =2 ． （2）当直线 不过原点时，设直线 l 的方程为 x+y=c，代入（4，-1）可得，c=3， 此时直线 方程为：x+y-3=0； 当直线 过原点时，设直线 方程为： ， 因为直线 过点 ，所以 ，解得 ， 此时直线 方程为：x+4y=0． 综上：直线 ：x+4y=0 或 x+y-3=0． 18.如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 底 面 ， ， 和 分别是 和 的中点. ( )1 1 0a x y a− − + + = a 1 1 0a x x y+ − + − =（ ）（ ） a 1 0 1 0x x y+ = + − =， 1 2x y= − =， 1,2C −（ ） C ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = l k ( )2 1k × − = − 1 2k∴ = l ( )2,3 l ( )13 22y x− = − 16 4+ 5 l l l l y kx= l ( )4 1−, 4 1k = − 1 4k = − l l P ABCD− / /AB CD AB AD⊥ 2CD AB= PAD ⊥ ABCD PA AD⊥ E F CD PC 求证：（1） 底面 ； （2） 平面 ； （3）平面 平面 . 【解】（1）∵PA⊥AD，平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD， 由平面和平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面 ABCD． （2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 故四边形 ABED 为平行四边形，故有 BE∥AD． 又 AD⊂平面 PAD，BE 不在平面 PAD 内，故有 BE∥平面 PAD． （3）平行四边形 ABED 中，由 AB⊥AD 可得，ABED 为矩形，故有 BE⊥CD ①． 由 PA⊥平面 ABCD，可得 PA⊥AB，再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD， ∴CD⊥平面 PAD，故有 CD⊥PD． 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点，可得 EF∥PD，∴CD⊥EF ②． 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线，故有 CD⊥平面 BEF． 由于 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD． 19.已知圆 C： 内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. （1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （2）当直线 l 的倾斜角为 45º 时，求弦 AB 的长. 【解】（1）已知圆 C： 的圆心为 C（1，0），因直线过点 P、C，所以直线 l 的斜率为 ，直线 l 的方程为 y=2(x-1)，即 2x-y-2=0． （2）当直线 l 的倾斜角为 45º 时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0. 所以圆心 C 到直线 l 的距离为 ． 因为圆的半径为 3，所以，弦 AB 的长 ． 20.如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中， 面 ABCD， . PA ⊥ ABCD / /BE PAD BEF ⊥ PCD ( )2 21 9x y− + = ( )2 21 9x y− + = 2 0 22 1k −= =− 1 2 d = 2 212 3 ( ) 34 2 AB = − = 90 ,ABC SA∠ = ⊥ 11, 2SA AB BC AD= = = = (1)求四棱锥 S-ABCD 体积; (2)求证：面 (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值． 【解】证明：（1）S 梯形 ABCD= （AD+BC）·AB= （ +1）×1= ， VS-ABCD= × ×1= . （2）∵SA⊥面 ABCD ∴SA⊥BC ， 又 AB⊥BC，∴BC⊥平面 SAB， ∴平面 SAB⊥平面 SBC . （3）连接 AC，∵SA⊥面 ABCD， ∴∠SCA 为 SC 与底面 ABCD 所成的角， 在 Rt△ABC 中，AC= = ， 在 Rt△SAC 中，tan∠SCA= = = . 21.已知一个圆与 轴相切，圆心在直线 上，且该圆经过点 A（6，1），求该圆的 方程． 【解】因为圆心在 x-3y=0 上，所以设圆心坐标为（3m，m）且 m＞0， 根据圆与 y 轴相切得到半径为 3m，所以圆的方程为（x-3m）2+（y-m）2=9m2， 把 A（6，1）代入圆的方程得：（6-3m）2+（1-m）2=9m2， 化简得：m2-38m+37=0，则 m=1 或 37， 所以，圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x-111)2+(y-37)2=1112． 22.如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB 平面 ABC，△VAB 为等边三角形，AC BC 且 的 SAB SBC面⊥ 1 2 1 2 1 2 3 4 1 3 3 4 1 4 2 2AB BC+ 2 SA AC 1 2 2 2 y 3 0x y− = ⊥ ⊥ AC=BC= ，O，M 分别为 AB，VA 的中点． （1）求证： 平面 MOC； （2）求证：平面 MOC 平面 VAB； （3）求三棱锥 A-MOC 的体积． 【解】（1）∵O，M 分别为 AB，VA 的中点，∴ VB， ∵VB⊄平面 MOC，OM⊂平面 MOC，∴ 平面 MOC； （2）∵AC=BC，O 为 AB 的中点，∴OC⊥AB， 又∵平面 VAB⊥平面 ABC，平面 ABC∩平面 VAB=AB，且 OC⊂平面 ABC， ∴OC⊥平面 VAB，∵OC⊂平面 MOC，∴平面 MOC⊥平面 VAB； （3）在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1， ∴等边三角形 VAB 的边长为 2，S△VAB= ，∵O，M 分别为 AB，VA 的中点． ∴ ．又∵OC⊥平面 VAB， ∴三棱锥 . 2 //VB ⊥ //OM //VB 2 3 1 3S S4 4AMO VAB∆ ∆= = 1 3 3V V 13 4 12A MOC C MOA− −= = × × =