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  • 2021-06-16 发布

高考数学热点难点突破技巧第04讲导数中不等式的证明问题的处理

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第 04 讲:导数中不等式的证明问题的处理 【知识要点】 导数中不等式的证明,是历年高考的热点、重点和难点,但是还是有章可循的.常用的方法 有:直接求函数的最值、构造函数求函数的最值、构造函数不等式、比较两边函数最值等. 【方法讲评】 方法一 直接求函数的最值 使用情景 恒成立或 恒成立 解题步骤 一般先求函数 最小(大)值,再证明 或 . 【例 1】已知函数 . (Ⅰ)讨论函数 的极值点的个数; (Ⅱ)若 有两个极值点 ,证明: . (ⅰ) 时, , 所以 取得极小值, 是 的一个极小值点. ( ⅱ ) 时 , 即 时 , 令 , 得 显然, ,所以 在 取得极小值, 有一个极小值点. (ⅲ) 时, 时,即 时, , 在 是减函数, 无极值点. 当 时, ,令 ,得 当 和 时 , 时, ,所以 在 取 得极小值,在 取得极大值,所以 有两个极值点. 综上可知:(ⅰ) 时, 仅有一个极值点; (ⅱ) 当 时, 无极值点; (ⅲ)当 时, 有两个极值点. 设 , 所以 时, 是减函数, ,则 所以 得证. 【 点 评 】 本 题 的 第 ( 2 ) 问 就 是 证 明 , 所 以 要 构 造 函 , ,再利用导数求函数 的单调性和最小值即可. 【例 2】(2016 年全国Ⅱ高考) (Ⅰ)讨论函数 的单调性,并证明当 时, ; (Ⅱ)证明:当 时,函数 有最小值.设 的最小值为 ,求函数 的值域. 【解析】⑴证明: ∵当 时, ∴ 在 上单调递增 ∴ 时, ∴ ∴ . 【点评】(1)本题第一问证明不等式,要证明函数 ,不是很方便. 要注意观察,当 时, ,所以可以把不等式的两边同时除以 ,得 ,即证明函数 .(2)我们在解答题目时,要注意观察题目,寻 找它们之间的内部联系,从而找到解题途径. 【反馈检测 1】【2017 课标 3,文 21】已知函数 (1)讨论 的单调性;(2)当 a﹤0 时,证明 . 【反馈检测 2】(2016 年全国高考 III 卷)设函数 . (I)讨论 的单调性;(II)证明当 时, ; (III)设 ,证明当 时, . 方法二 构造函数求最值 使用情景 恒成立或 恒成立 解题步骤 转化成证明 【例 3】已知 是自然对数的底数, . (1)求曲线 在点 处的切线方程;(2)当 时, 求证: . (2)设 ,则 .设 , 则 在 内单调递 增, 当 时, . 即 , 时, . 当 时, 在 内单调递增. 当 , 时, , 即 【点评】(1)本题第 2 问证明 ,不能理解为左边函数的最小值不大于右边函 数的最大值,因为不等式两边的自变量都是 ,所以它表示当两个函数取相同的自变量时, 总是有 .(2)这种问题,只好构造函数 ,求函数的单调性, 求函数 的最小值,再证明 . (3)在本质上,这种方法和第一种方法是一样 的,都是转化成函数的最值. 【反馈检测 3】已知函数 ,其中 为常数. (1)讨论函数 的单调性; ( 2 ) 若 存 在 两 个 极 值 点 , 求 证 : 无 论 实 数 取 什 么 值 都 有 . 【反馈检测 4】已知函数 . (Ⅰ)讨论 的单调性;(Ⅱ)设 ,证明:当 时, ; (Ⅲ)设 是 的两个零点,证明 . 方法三 构造函数不等式 使用情景 一般与数列求和和数列不等式证明有关. 解题步骤 一般先观察证明的不等式和已知或前面的结论,构造一个函数不等式,再给 赋值,得到一个与 有关的不等式,再把这个不等式作为通项,对不等式求和, 再分析解答. 【例 4】已知函数 . (1)讨论 的单调性与极值点;(2)若 ,证明:当 时, 的 图 象 恒 在 的 图 象 上 方 ; ( 3 ) 证 明 : . 【解析】(1) , 当 时, 在 上恒成立, 所以 在 单调递增,此时 无极值点. 当 时, , 在 上的变化情况如下表: 1 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知 在 和 上单调递增,在 上单调递减. 为极大值点, 为极小值点. (3)由(2)知 ,即 ,∵ ,∴ , 令 ,则 ,∴ ∴ ∴不等式成立. 【点评】(1)本题如果利用第二种方法,构造函数求最值,比较困难,不是很适宜,因为 这个函数很复杂. (2)注意观察左边函数是数列的求和,只能把左边数列的通项先进行放 缩,才能求和. 怎么放缩,只能利用前面的条件构造一个恰当的不等式 ,再给 赋值 把数列的通项进行放缩,再对不等式求和,从而达到解题目标. 【反馈检测 5】设 ,曲线 在点 处的切线与直线 垂 直. (Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)若对于任意的 , 恒成立,求 的取值范 围; (Ⅲ)求证: . 【反馈检测 6】已知函数 (1)当 时,求 的单调递减区间;(2)若当 时, 恒成立,求 的 取值范围; (3)求证: 方法四 比较两边函数的最值 使用情景 或 ,但是不宜按照方法二构造函数求最值. 解题步骤 证明 【例 5】已知函数 . (1)判断函数 的单调性; (2)求证:当 时, . 【解析】(1)由题得, . 令 ,则 . 当 时, , 在区间 上单调递增; 当 时, , 在区间 上单调递减. ∴ 在 处取得唯一的极小值,即为最小值.即 ,∴ , ∵ ,∴ .∴ ,即 在区间 上是减函数. ∴ 时, . ∴ ,即 . 【点评】本题就是证明 ,因为证明 比较困难.到 底选方法二还是方法四,需要大家自己去观察分析,熟练生巧. 【反馈检测 7】已知 . (Ⅰ)对一切 恒成立,求实数 的取值范围; (Ⅱ)当 时,求函数 在区间 上的最值; (Ⅲ)证明:对一切 ,都有 成立. 高考数学热点难点突破技巧第 04 讲: 导数中不等式的证明问题的处理参考答案 【反馈检测 1 答案】(1)当 时, 在 单调递增;当 时, 在 单调递增,在 单调递减;(2)详见解析. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , 当 a < 0 时 , 在 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 . 所以 等价于 ,即 设 ,则 当 x∈(0,1)时, ;当 x∈(1,+ )时, .所以 在(0,1)单调 递增,在(1,+ )单调递减.故当 x=1 时, 取得最大值,最大值为 g(1)=0.所以当 x>0 时, ≤0,.从而当 a<0 时, ,即 . 【反馈检测 2 答案】(I)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【反馈检测 2 详细解析】(1)由题设, 的定义域为 , 令 当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减. (2)由(1)知, 在 处取得最大值,最大值为 . 所以当 时, . 故当 ( 3 ) 由 题 设 , 设 , 则 . 当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减. 由(2)知, ,故 ,又 ,故当 时, . 所以当 时, . 【反馈检测 3 详细解析】(1)函数的定义域为 . 记 ,判别式 . ①当 即 时, 恒成立, ,所以 在区间 上单调递增. ② 当 时 , 方 程 有 两 个 不 同 的 实 数 根 , 记 , ,显然 . (ⅰ)若 , 图象的对称轴 , . 两根 在区间 上,可知当 时函数 单调递增, ,所 以 ,所以 在区间 上递增. (ⅱ)若 ,则 图象的对称轴 , ., 所以 ,当 时, ,所以 ,所以 在 上单 调递减.当 或 时, ,所以 ,所以 在 上单调递增. 综上,当 时, 在区间 上单调递增;当 时, 在 上单调递减,在 , 上单调递增. (2)由(1)知当 时, 没有极值点,当 时, 有两个极值点 , 且 , 记 所以 在 时单调递增, 所以 ,所以 . 【反馈检测 4 详细解析】(Ⅰ) 的定义域为 , 求导数,得 , 若 ,则 ,此时 在 上单调递增, 若 ,则由 得 ,当 时, ,当 时, , 此时 在 上单调递减,在 上单调递增. (Ⅱ)令 ,则 . 求导数,得 , 当时 , , 在 上是减函数. 而 , , 故当 时, 由(Ⅱ)得 ,从而 ,于是 , 由(Ⅰ)知, . 【反馈检测 5 答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)详见解析. 【反馈检测 5 详细解析】 (Ⅰ) 由题设 ,∴ . (Ⅱ) , , ,即 设 ,即 . ①若 , ,这与题设 矛盾 ②若 当 , 单调递增, ,与题 设矛盾. ③若 当 , 单调递减, ,即不等式成立 综上所述, . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 时, 时, 成立. 不妨令 所以 , ………… 累加可得 【反馈检测 6 答案】(1) , (2) (3)详见解析. (3)由(2)知 , 取 得 ,即 即 . 【 反 馈 检 测 7 答 案 】( Ⅰ ) ;( Ⅱ ) 时 , , 当 时 , ;(Ⅲ)证明见解析. 【反馈检测 7 详细解析】 (Ⅰ)对一切 恒成立,即 恒成立. 也就是 在 上恒成立.令 ,则 . 时, , 时, . 因此 在 处取极小值,也是最小值,即 ,所以 . 当 时, ,因此 在 上单调递增,故 , . ( Ⅲ ) 问 题 等 价 于 证 明 , . 由 ( Ⅱ ) 知 时 , 的 最 小 值 是 , 当 且 仅 当 时 取 等 号 . 设 ,则 ,易知 ,当且仅当 时 取到. 从而可知对一切 ,都有 .