高考数学热点难点突破技巧第04讲导数中不等式的证明问题的处理 15页

第 04 讲：导数中不等式的证明问题的处理 【知识要点】 导数中不等式的证明，是历年高考的热点、重点和难点，但是还是有章可循的.常用的方法 有：直接求函数的最值、构造函数求函数的最值、构造函数不等式、比较两边函数最值等. 【方法讲评】 方法一 直接求函数的最值 使用情景 恒成立或 恒成立 解题步骤 一般先求函数 最小（大）值，再证明 或 . 【例 1】已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的极值点的个数； （Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ． （ⅰ） 时， ， 所以 取得极小值， 是 的一个极小值点． （ ⅱ ） 时 ， 即 时 ， 令 ， 得 显然， ，所以 在 取得极小值， 有一个极小值点． （ⅲ） 时， 时，即 时， ， 在 是减函数， 无极值点． 当 时， ，令 ，得 当 和 时 ， 时， ，所以 在 取 得极小值，在 取得极大值，所以 有两个极值点． 综上可知：（ⅰ） 时， 仅有一个极值点； （ⅱ） 当 时， 无极值点； （ⅲ）当 时， 有两个极值点． 设 ， 所以 时， 是减函数， ，则 所以 得证． 【 点 评 】 本 题 的 第 （ 2 ） 问 就 是 证 明 ， 所 以 要 构 造 函 ， ，再利用导数求函数 的单调性和最小值即可. 【例 2】（2016 年全国Ⅱ高考） (Ⅰ)讨论函数 的单调性，并证明当 时， ； (Ⅱ)证明：当 时，函数 有最小值.设 的最小值为 ，求函数 的值域． 【解析】⑴证明： ∵当 时， ∴ 在 上单调递增 ∴ 时， ∴ ∴ ． 【点评】（1）本题第一问证明不等式，要证明函数 ，不是很方便. 要注意观察，当 时， ，所以可以把不等式的两边同时除以 ，得 ，即证明函数 .（2）我们在解答题目时，要注意观察题目，寻 找它们之间的内部联系，从而找到解题途径. 【反馈检测 1】【2017 课标 3，文 21】已知函数 （1）讨论 的单调性；（2）当 a﹤0 时，证明 ． 【反馈检测 2】（2016 年全国高考 III 卷）设函数 ． （I）讨论 的单调性；（II）证明当 时， ； （III）设 ，证明当 时， . 方法二 构造函数求最值 使用情景 恒成立或 恒成立 解题步骤 转化成证明 【例 3】已知 是自然对数的底数, . （1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）当 时, 求证： . （2）设 ,则 .设 , 则 在 内单调递 增, 当 时, . 即 , 时, . 当 时, 在 内单调递增. 当 , 时, , 即 【点评】（1）本题第 2 问证明 ，不能理解为左边函数的最小值不大于右边函 数的最大值，因为不等式两边的自变量都是 ，所以它表示当两个函数取相同的自变量时， 总是有 .(2)这种问题，只好构造函数 ，求函数的单调性， 求函数 的最小值，再证明 . (3)在本质上，这种方法和第一种方法是一样 的，都是转化成函数的最值. 【反馈检测 3】已知函数 ，其中 为常数. （1）讨论函数 的单调性； （ 2 ） 若 存 在 两 个 极 值 点 ， 求 证 ： 无 论 实 数 取 什 么 值 都 有 . 【反馈检测 4】已知函数 . （Ⅰ）讨论 的单调性；（Ⅱ）设 ，证明：当 时， ； （Ⅲ）设 是 的两个零点，证明 . 方法三 构造函数不等式 使用情景 一般与数列求和和数列不等式证明有关. 解题步骤 一般先观察证明的不等式和已知或前面的结论，构造一个函数不等式，再给 赋值，得到一个与 有关的不等式，再把这个不等式作为通项，对不等式求和， 再分析解答. 【例 4】已知函数 . （1）讨论 的单调性与极值点；（2）若 ，证明：当 时， 的 图 象 恒 在 的 图 象 上 方 ； （ 3 ） 证 明 ： . 【解析】（1） ， 当 时， 在 上恒成立， 所以 在 单调递增，此时 无极值点. 当 时， ， 在 上的变化情况如下表： 1 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 为极大值点， 为极小值点. （3）由（2）知 ，即 ，∵ ，∴ ， 令 ，则 ，∴ ∴ ∴不等式成立. 【点评】(1)本题如果利用第二种方法，构造函数求最值，比较困难，不是很适宜，因为 这个函数很复杂. （2）注意观察左边函数是数列的求和，只能把左边数列的通项先进行放 缩，才能求和. 怎么放缩，只能利用前面的条件构造一个恰当的不等式 ，再给 赋值 把数列的通项进行放缩，再对不等式求和，从而达到解题目标. 【反馈检测 5】设 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂 直. （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范 围； （Ⅲ）求证： ． 【反馈检测 6】已知函数 （1）当 时，求 的单调递减区间；（2）若当 时， 恒成立，求 的 取值范围； （3）求证： 方法四 比较两边函数的最值 使用情景 或 ，但是不宜按照方法二构造函数求最值. 解题步骤 证明 【例 5】已知函数 ． （1）判断函数 的单调性； （2）求证：当 时， ． 【解析】（1）由题得， ． 令 ，则 ． 当 时， ， 在区间 上单调递增； 当 时， ， 在区间 上单调递减． ∴ 在 处取得唯一的极小值，即为最小值．即 ，∴ ， ∵ ，∴ ．∴ ，即 在区间 上是减函数． ∴ 时， ． ∴ ，即 ． 【点评】本题就是证明 ，因为证明 比较困难.到 底选方法二还是方法四，需要大家自己去观察分析，熟练生巧. 【反馈检测 7】已知 . （Ⅰ）对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）当 时，求函数 在区间 上的最值； （Ⅲ）证明：对一切 ，都有 成立. 高考数学热点难点突破技巧第 04 讲： 导数中不等式的证明问题的处理参考答案 【反馈检测 1 答案】（1）当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递增，在 单调递减；（2）详见解析. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ， 当 a ＜ 0 时 ， 在 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 . 所以 等价于 ，即 设 ，则 当 x∈（0,1）时， ；当 x∈（1，+ ）时， .所以 在（0,1）单调 递增，在（1，+ ）单调递减.故当 x=1 时， 取得最大值，最大值为 g（1）=0.所以当 x＞0 时， ≤0,.从而当 a＜0 时， ，即 . 【反馈检测 2 答案】（I）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【反馈检测 2 详细解析】（1）由题设， 的定义域为 ， 令 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. (2)由（1）知， 在 处取得最大值，最大值为 . 所以当 时， . 故当 （ 3 ） 由 题 设 , 设 , 则 . 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 由（2）知， ，故 ，又 ，故当 时， . 所以当 时， . 【反馈检测 3 详细解析】（1）函数的定义域为 . 记 ，判别式 . ①当 即 时， 恒成立， ，所以 在区间 上单调递增. ② 当 时 ， 方 程 有 两 个 不 同 的 实 数 根 ， 记 ， ，显然 . （ⅰ）若 ， 图象的对称轴 ， . 两根 在区间 上，可知当 时函数 单调递增， ，所 以 ，所以 在区间 上递增. （ⅱ）若 ，则 图象的对称轴 ， .， 所以 ，当 时， ，所以 ，所以 在 上单 调递减.当 或 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增. 综上，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 , 上单调递增. （2）由（1）知当 时， 没有极值点，当 时， 有两个极值点 ， 且 , 记 所以 在 时单调递增， 所以 ，所以 . 【反馈检测 4 详细解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， 求导数，得 ， 若 ，则 ，此时 在 上单调递增， 若 ，则由 得 ，当 时， ，当 时， ， 此时 在 上单调递减，在 上单调递增. （Ⅱ）令 ，则 . 求导数，得 ， 当时 ， ， 在 上是减函数. 而 ， ， 故当 时， 由（Ⅱ）得 ，从而 ，于是 ， 由（Ⅰ）知， . 【反馈检测 5 答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）详见解析. 【反馈检测 5 详细解析】 （Ⅰ） 由题设 ，∴ . （Ⅱ） , ， ，即 设 ，即 . ①若 ， ，这与题设 矛盾 ②若 当 , 单调递增， ，与题 设矛盾. ③若 当 ， 单调递减， ，即不等式成立 综上所述， . （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时, 时, 成立. 不妨令 所以 ， ………… 累加可得 【反馈检测 6 答案】（1） ， （2） （3）详见解析. （3）由（2）知 ， 取 得 ，即 即 . 【 反 馈 检 测 7 答 案 】（ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ） 时 ， ， 当 时 ， ；（Ⅲ）证明见解析. 【反馈检测 7 详细解析】 （Ⅰ）对一切 恒成立，即 恒成立. 也就是 在 上恒成立.令 ，则 . 时， ， 时， . 因此 在 处取极小值，也是最小值，即 ，所以 . 当 时， ，因此 在 上单调递增，故 ， . （ Ⅲ ） 问 题 等 价 于 证 明 ， . 由 （ Ⅱ ） 知 时 ， 的 最 小 值 是 ， 当 且 仅 当 时 取 等 号 . 设 ，则 ，易知 ，当且仅当 时 取到. 从而可知对一切 ，都有 .