浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第6节幂函数指数函数对数函数含解析 16页

第 6 节 幂函数、指数函数、对数函数 考试要求 1.了解幂函数的概念，掌握幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1 x ，y＝x 1 2的图象和性 质；2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用；3.理解对数函数的概念， 掌握对数函数的图象、性质及应用. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R， a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 00 时，y>1； 当 x<0 时，01； 当 x>0 时，00，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 01 时，y>0； 当 01 时，y<0； 当 00 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象 关于直线 y＝x 对称. [常用结论与易错提醒] 1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为 1.类似地指数函数、 对数函数也分别满足三个条件. 2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线 x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大； (2)指数函数图象的分布规律：作一直线 x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大； (3)对数函数图象的分布规律：作一直线 y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)幂函数 y＝x0 与常值函数 y＝1 图象相同.( ) (2)函数 y＝2x 1 3是幂函数.( ) (3)y＝2x－1 是指数函数，y＝loga(x2＋1)(a>0，且 a≠1)是对数函数.( ) (4)函数 y＝ln x＋1 x－1 与 y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.( ) 解析 (1)错误，y＝1 的图象去掉点(0，1)才是 y＝x0 的图象； (2)错误，因为 x 1 3的系数不是 1； (3)错误，y＝2x－1＝1 2 ·2x，2x 前面的系数不为 1， y＝loga(x2＋1)(a>0 且 a≠1)，真数为 x2＋1 而不是单自变量 x. (4)错误，y＝ln x＋1 x－1 的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 而 y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)， 故函数的定义域不同. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y＝1 ax，y＝loga x＋1 2 (a>0，且 a≠1)的图象可 能是( ) 解析 当 01 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增， 于是函数 y＝1 ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，函数 y＝loga x＋1 2 的图象过定点 1 2 ，0 ，在 －1 2 ，＋∞ 上单调递增. 显然 A，B，C，D 四个选项都不符合. 故选 D. 答案 D 3.(一题多解)已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，且 a≠1)的图象如图，则下列 结论成立的是( ) A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即 logac>0，所以 00，且 a≠1 时，函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点________，其值域为________. 解析 函数 f(x)＝ax－3－2 的图象是将函数 y＝ax 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个 单位得到的.故函数 f(x)＝ax－3－2 必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞). 答案 (3，－1) (－2，＋∞) 考点一 幂函数 【例 1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈ －2，－1，－1 2 ，1 2 ，1，2，3 .若幂函数 f(x)＝xα为奇 函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. (2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函 数，则 n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2 D.1 或 2 解析 (1)由 f(x)为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1. (2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴ n2＋2n－2＝1， n2－3n<0， ∴n＝1， 又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1. 答案 (1)－1 (2)B 规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较， 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点 1 2 ， 2 2 ，则 k＋α＝( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 (2)已知 a＝2 4 3，b＝3 2 3，c＝25 1 3，则( ) A.b(m2＋m－1) 1 2，则实数 m 的取值范围是( ) A. －∞，－ 5－1 2 B. 5－1 2 ，＋∞ C.(－1，2) D. 5－1 2 ，2 解析 (1)由幂函数的定义知 k＝1.又 f 1 2 ＝ 2 2 ， 所以 1 2 α ＝ 2 2 ，解得α＝1 2 ，从而 k＋α＝3 2 . (2)因为 a＝2 4 3＝4 2 3，b＝3 2 3，c＝5 2 3，又 y＝x 2 3在(0，＋∞)上是增函数，所以 c>a>b. (3)因为函数 y＝x 1 2的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于 2m＋1≥0， m2＋m－1≥0， 2m＋1>m2＋m－1. 解得 m≥－1 2 ， m≤－ 5－1 2 或 m≥ 5－1 2 ， －1＜m＜2， 即 5－1 2 ≤m<2. 答案 (1)C (2)A (3)D 考点二 指数函数 【例 2】 已知函数 f(x)＝ 1 3 ax2－4x＋3 . (1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值. 解 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 1 3 －x2－4x＋3 ， 令 u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7. 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝ 1 3 u 在 R 上单调递减，所以 f(x) 在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是(－2，＋ ∞)，递减区间是(－∞，－2). (2)令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝ 1 3 h（x） ，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1， 因此必有 a>0， 12a－16 4a ＝－1，解得 a＝1， 即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由 f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3 的值域为 R，则必有 a＝0. 规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、 单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都 要借助“同增异减”这一性质分析判断. (2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数 a 与“1”的大小关系不 确定时，要分类讨论. 【训练 2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知 0(1－a)b B.(1－a)b>(1－a) b 2 C.(1＋a)a>(1＋b)b D.(1－a)a>(1－b)b (2)设函数 f(x)＝ x 1 3，x≥8， 2ex－8，x<8， 则使得 f(x)≤3 成立的 x 的取值范围是________. (3)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________. 解析 (1)因为 0(1－a)b>(1－b)b，故选 D. (2)当 x≥8 时，f(x)＝x 1 3≤3，∴x≤27，即 8≤x≤27； 当 x<8 时，f(x)＝2ex－8≤3 恒成立，故 x<8. 综上，x∈(－∞，27]. (3)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]. 答案 (1)D (2)(－∞，27] (3)[－1，1] 考点三 对数函数 【例 3】 已知函数 f(x)＝loga(ax2－x). (1)若 a＝1 2 ，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a＝1 2 时，f(x)＝log1 2 1 2 x2－x ， 由 1 2 x2－x>0，得 x2－2x>0，解得 x<0 或 x>2， 所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)， 单调递增区间为(－∞，0). (2)令 g(x)＝ax2－x， 则函数 g(x)的图象为开口向上、对称轴为 x＝ 1 2a 的抛物线， ①当 00， 即 1 2a ≥4， g（4）＝16a－4>0， 此不等式组无解. ②当 a>1 时，要使函数 f(x)在区间[2，4]上是增函数， 则 g(x)＝ax2－x 在[2，4]上单调递增，且 g(x)min>0， 即 1 2a ≤2， g（2）＝4a－2>0， 解得 a>1 2 ， 又 a>1，所以 a>1，综上可得 a>1. 实数 a 的取值范围为(1，＋∞). 规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性 来求解.在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件. 【训练 3】 (1)(2019·天津卷)已知 a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则 a，b，c 的大小关 系为( ) A.alog0.50.5＝1.因为 y＝0.5x 是减函数，所以 0.5＝0.511 时，不符合题意，舍去. 所以实数 a 的取值范围是 2 2 ，1 . 法二 ∵当 0＜x≤1 2 时，1＜4x≤2，要使 4x＜logax， 必须 2＜logax， ∴ 0＜a＜1， logaa2＜logax， 即 0＜a＜1， a2＞x 对 0＜x≤1 2 恒成立， ∴ 0＜a＜1， a2＞1 2 ， 解得 2 2 ＜a＜1. (3)由题意知函数 f(x)的图象关于直线 x＝10 对称，且 x1＋x4＝x2＋x3＝2×10，ln x1＝－ln x2， ln(20－x3)＝－ln(20－x4)，所以 x1＋x2＋x3＋x4＝40，x1＝1 x2 ，20－x3＝ 1 20－x4 ，化简得 x1x2＝1， x3x4－20(x3＋x4)＋399＝0，故选 C. 答案 (1)A (2)B (3)C 基础巩固题组 一、选择题 1.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y＝xα的值域为 R，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析 因为函数 y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又 y＝x－1 的值域为{y|y≠0}，函 数 y＝x，y＝x3 的值域都为 R.所以符合要求的α的值为 1，3. 答案 A 2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，若 a＞b＞1，则一定有( ) A.logax＞logby B.sinax＞sinby C.ay＞bx D.ax＞by 解析 当 x＞y＞0，a＞b＞1 时，由指数函数的性质易得 ax＞ay＞by，故选 D. 答案 D 3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若 a>b，则( ) A.ln(a－b)>0 B.3a<3b C.a3－b3>0 D.|a|>|b| 解析 法一 由函数 y＝ln x 的图象(图略)知，当 0b 时，3a>3b，故 B 不正确；因为函数 y＝x3 在 R 上 单调递增，所以当 a>b 时，a3>b3，即 a3－b3>0，故 C 正确；当 b3b，|a|<|b|，故排除 A，B，D.故选 C. 答案 C 4.(2019·诸暨期末)若函数 f(x)满足 f(x)≤x2 且 f(x)≤2x(x∈R)，则( ) A.若 f(a)≤b2，则 a≥b B.若 f(a)≤2b，则 a≤b C.若 f(a)≥b2，则 a≤b D.若 f(a)≥2b，则 a≥b 解析 若 f(a)≥2b，则由 f(x)≤2x 得 f(a)≤2a，则 2b≤2a，则 a≥b，故选 D. 答案 D 5.若函数 f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a，2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值为( ) A.1 4 B. 2 2 C. 2 4 D.1 2 解析 因为 0＜a＜1，所以 f(x)在[a，2a]上是减函数.所以 f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min ＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，由题意知 1＝3(1＋loga2)，即 loga2＝－2 3 ， 所以 a＝ 2 4 . 答案 C 6.若 a－2>a2(a>0，且 a≠1)，则函数 f(x)＝loga(x－1)的图象大致是( ) 解析 因为 a－2>a2(a>0 且 a≠1)，所以 00 时，f(x)>0， 从而 g(x)＝xf(x)是 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又 4<5.1<8，则 2b>0 B.若 ln a－ln b＝a－3b，则 0b>0 D.若 ln a－ln b＝3b－a，则 00，b>0，所以 ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设 f(x)＝ ln x＋x，则易得函数 f(x)＝ln x＋x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 a>b>0，C 正确，故选 C. 答案 C 二、填空题 10.(2018·上海卷)设常数 a∈R，函数 f(x)＝log2(x＋a).若 f(x)的反函数的图像经过点(3， 1)，则 a＝________. 解析 由题意可知 f(x)经过(1，3)，log2(1＋a)＝3，a＝7. 答案 7 11.方程 2x＝2－x 的解的个数是________. 解析 方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象 (如图). 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 1 12.已知 max{a，b}表示 a，b 两数中的最大值.若 f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则 f(x)的最小值为 ________. 解析 f(x)＝ ex，x≥1， e|x－2|，x<1. 当 x≥1 时，f(x)＝ex≥e(x＝1 时，取等号)， 当 x<1 时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e， 因此 x＝1 时，f(x)有最小值 f(1)＝e. 答案 e 13.设 f(x)＝lg 2 1－x ＋a 是奇函数，则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 解析 由 f(x)是奇函数可得 a＝－1， ∴f(x)＝lg1＋x 1－x ，定义域为(－1，1). 由 f(x)<0，可得 0<1＋x 1－x <1，∴－12 C.1 x1 ＋1 x2 <2 D.1 x1 ＋1 x2 >2 解析 根据题意不妨设 02 x1x2，所以1 x1 ＋1 x2 ＝x1＋x2 x1x2 > 2 x1x2 >2， 故选 D. 答案 D 18.已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1，2]上恒成立，则实数 a 的取值范围是________. 解析 当 a>1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由 f(x)>1 在区间[1，2]上恒成立， 则 f(x)min＝loga(8－2a)>1， 解之得 11 在区间[1，2]上恒成立， 则 f(x)min＝loga(8－a)>1，且 8－2a>0. ∴a>4，且 a<4，故 a 不存在. 综上可知实数 a 的取值范围是 1，8 3 . 答案 1，8 3 19.(2018·上海卷)已知常数 a＞0，函数 f(x)＝ 2x 2x＋ax 的图象经过点 P p，6 5 、Q q，－1 5 ，若 2p＋q＝36pq，则 a＝________. 解析 由题意知 2p 2p＋ap ＋ 2q 2q＋aq ＝1，∴2p＋q＝a2pq＝36pq，∴a＝6. 答案 6 20.若 f(x)＝a（2x＋1）－2 2x＋1 是 R 上的奇函数，则实数 a 的值为________，f(x)的值域为 ________. 解析 ∵函数 f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴2a－2 2 ＝0，解得 a＝1，f(x)＝2x－1 2x＋1 ＝1－ 2 2x＋1 . ∵2x＋1>1，∴0< 2 2x＋1 <2，∴－1<1－ 2 2x＋1 <1， ∴f(x)的值域为(－1，1). 答案 1 (－1，1)