2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7节抛物线课件新人教A版 47页

第 7 节　抛物线 考试要求　 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 知 识 梳 理 1. 抛物线的定义 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l ) 的距离 _______ 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 _______ . (2) 其数学表达式： { M || MF | ＝ d }( d 为点 M 到准线 l 的距离 ). 相等 准线 2. 抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (5) 过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x 2 ＝－ 2 ay ( a >0) 的通径长为 2 a .( 　　 ) 解析 　 (1) 当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线 . (3) 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 . (4) 一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 2. ( 老教材选修 2 － 1P72A1 改编 ) 顶点在原点，且过点 P ( － 2 ， 3) 的抛物线的标准方程是 ________________. 3. ( 老教材选修 2 － 1P67A3 改编 ) 抛物线 y 2 ＝ 8 x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为 ________. 答案　 2 A.2 B.3 C.4 D.8 答案　 D 5. (2020· 河南中原名校联考 ) 已知 F 是抛物线 y 2 ＝ x 的焦点， A ， B 是抛物线上的两点，且 | AF | ＋ | BF | ＝ 3 ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ( 　　 ) 答案　 C 6. (2019· 昆明诊断 ) 已知抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x ，若过点 Q ( － 2 ， 0) 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ________. 解析　 由题意知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时，显然满足题意；当 k ≠ 0 时， Δ ＝ (4 k 2 － 8) 2 － 4 k 2 ·4 k 2 ＝ 64(1 － k 2 ) ≥ 0 ，解得－ 1 ≤ k ＜ 0 或 0 ＜ k ≤ 1 ，因此 k 的取值范围是 [ － 1 ， 1]. 答案　 [ － 1 ， 1] 考点一　抛物线的定义、标准方程及其性质 【例 1 】 (1) 已知抛物线 C 与双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是 ( 　　 ) (3) 动圆过点 (1 ， 0) ，且与直线 x ＝－ 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 __________. (3) 设动圆的圆心坐标为 ( x ， y ) ，则圆心到点 (1 ， 0) 的距离与到直线 x ＝－ 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y 2 ＝ 4 x . 答案　 (1)D 　 (2)B 　 (3) y 2 ＝ 4 x 规律方法　 1. 应用抛物线定义的两个关键点 (1) 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化 .(2) 抛物线焦点到准线的距离为 p . 2. 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . 3. 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 . 【训练 1 】 (1) 设抛物线 y 2 ＝ 2 px 的焦点在直线 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 上，则该抛物线的准线方程为 ( 　　 ) 解析　 (1) 直线 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 与 x 轴的交点为 (4 ， 0) ， ∴ 抛物线 y 2 ＝ 2 px 的焦点为 (4 ， 0) ， ∴ 准线方程为 x ＝－ 4. 考点二　与抛物线有关的最值问题　 多维探究 角度 1 　到焦点与定点距离之和 ( 差 ) 最值问题 【例 2 － 1 】 点 P 为抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的动点，点 A (2 ， 1) 为平面内定点， F 为抛物线焦点，则： (1)| PA | ＋ | PF | 的最小值为 ________ ； (2) ( 多填题 ) | PA | － | PF | 的最小值为 ________ ，最大值为 ________. 解析　 (1) 如图 1 ，由抛物线定义可知， | PF | ＝ | PH | ， | PA | ＋ | PF | ＝ | PA | ＋ | PH | ，从而最小值为 A 到准线的距离为 3. 规律方法　 1. 解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题 . 2. 到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值 . 角度 2 　到点与准线的距离之和最值问题 【例 2 － 2 】 设 P 是抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的一个动点，则点 P 到点 A ( － 1 ， 1) 的距离与点 P 到直线 x ＝－ 1 的距离之和的最小值为 ________. 规律方法　 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出 “ 两点之间线段最短 ” ，使问题得解 . 角度 3 　动弦中点到坐标轴距离最短问题 【例 2 － 3 】 已知抛物线 x 2 ＝ 4 y 上有一条长为 6 的动弦 AB ，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为 ( 　　 ) 答案　 D 规律方法　 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解 . 角度 4 　焦点弦中距离之和最小问题 【例 2 － 4 】 已知抛物线 y 2 ＝ 4 x ，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A ， B 两点，过 A ， B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 C ， D ，则 | AC | ＋ | BD | 的最小值为 ________. 解析　 由题意知 F (1 ， 0) ， | AC | ＋ | BD | ＝ | AF | ＋ | FB | － 2 ＝ | AB | － 2 ，即 | AC | ＋ | BD | 取得最小值时当且仅当 | AB | 取得最小值 . 依抛物线定义知，当 | AB | 为通径，即 | AB | ＝ 2 p ＝ 4 时为最小值，所以 | AC | ＋ | BD | 的最小值为 2. 答案　 2 规律方法　 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值 . 角度 5 　到定直线的距离最小问题 【例 2 － 5 】 ( 一题多解 ) 抛物线 y ＝－ x 2 上的点到直线 4 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 距离的最小值是 ________. 规律方法　 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值 . 【训练 2 】 (1) 若在抛物线 y 2 ＝－ 4 x 上存在一点 P ，使其到焦点 F 的距离与到 A ( － 2 ， 1) 的距离之和最小，则该点的坐标为 ( 　　 ) 规律方法　 1. 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 . 2. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点 . 若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 . 3. 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ” 、 “ 整体代入 ” 等解法 . 提醒　 涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解 . 【训练 3 】 如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P (1 ， 2) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 均在抛物线上 . (1) 写出该抛物线的方程及其准线方程； (2) 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y 1 ＋ y 2 的值及直线 AB 的斜率 . 解　 (1) 由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0). ∵ 点 P (1 ， 2) 在抛物线上， ∴ 2 2 ＝ 2 p × 1 ，解得 p ＝ 2. 故所求抛物线的方程是 y 2 ＝ 4 x ，准线方程是 x ＝－ 1. (2) 设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB ， 数学抽象 —— 活用抛物线焦点弦的四个结论 1. 数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题 . 本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一 . 2. 设 AB 是过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 焦点 F 的弦，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 【例 1 】 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ， B 两点，若 | AF | ＝ 2| BF | ，则 | AB | 等于 ( 　　 ) [ 应用结论 ] 法一　 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A ， B 在准线上的射影分别为 D ， C ，作 BE ⊥ AD 于 E ， 设 | BF | ＝ m ，直线 l 的倾斜角为 θ ， 则 | AB | ＝ 3 m ， 由抛物线的定义知 | AD | ＝ | AF | ＝ 2 m ， | BC | ＝ | BF | ＝ m ， 答案　 B 【例 2 】 设 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 3 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则 △ OAB 的面积为 ( 　　 ) 答案　 D 【例 3 】 如图，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ， B ，交其准线 l 于点 C ，若 F 是 AC 的中点，且 | AF | ＝ 4 ，则线段 AB 的长为 ( 　　 ) [ 一般解法 ] 如图，设 l 与 x 轴交于点 M ，过点 A 作 AD ⊥ l 交 l 于点 D ，由抛物线的定义知， | AD | ＝ | AF | ＝ 4 ，由 F 是 AC 的中点，知 | AD | ＝ 2| MF | ＝ 2 p ，所以 2 p ＝ 4 ，解得 p ＝ 2 ，所以抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x . 答案　 C