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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年人教B版数学选修2-3课时作业:第一章 计数原理 单元质量评估2

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第一章单元质量评估(二) 时间:120 分钟 总分:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.从 5 人中选 3 人参加迎新春座谈会,不同的选法有( C ) A.60 种 B.36 种 C.10 种 D.6 种 解析:完成这件事只要把人选出即可,是组合问题,有 C35=10(种) 不同的选法. 2.一天有 6 节课,安排 6 门不同的学科,这一天不同的课表排 法有( B ) A.66 种 B.A 66种 C.36 种 D.12 种 解析:学科不同,每节课也不同,是排列问题,有 A 66种不同的 排法. 3.从 4 双不同的鞋中任取 4 只,结果都不成双的取法有( B ) A.24 B.16 C.44 D.24×16 解析:24=16. 4.若复数 a+bi 的 a,b 可取 0,1,2,…,9 这 10 个数字中的任 意一个,则可组成不同虚数的个数为( C ) A.46 B.81 C.90 D.100 解析:因为是组成虚数,所以 b≠0,则 b 的选法有 C 19种,a 的 选法有 C 110种,故可组成 C19·C110=90(个)不同的虚数. 5.从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任),要求这 3 位班主任中男女教师都 有,则不同的选派方案共有( B ) A.210 B.420 C.630 D.840 解析:选法分两步进行,选择老师的方法有 C15C24+C25C14=30+ 40=70(种),将三人安排到三个班级有 A33=6(种),所以共有 70×6= 420(种). 6.若( x+2 x2)n 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展 开式的常数项是( B ) A.360 B.180 C.90 D.45 解析:展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式总共 11 项 , 所 以 n = 10 , 通 项 公 式 为 ,所以 r=2 时,常数项为 180. 7.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且 从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三 种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一 周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( D ) A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 解析:因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以“多一个”或 “少一个”的天数必须相同,都是 0、1、2、3,共 4 种情况,所以 共有 C06+C16C15+C26C24+C36C33=141(种)不同的选择方案.故选 D. 8.若 C2n+620 =Cn+220 (n∈N+),且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 则 a0-a1+a2-…+(-1)nan 等于( A ) A.81 B.27 C.243 D.729 解析:由 C2n+620 =Cn+220 ,得 2n+6=n+2 或 2n+6=18-n,又 n ∈N+,所以 n=4.令 x=-1,得 a0-a1+a2-…+(-1)nan=3n=34= 81. 9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两 端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法的种数是 ( B ) A.360 B.288 C.216 D.96 解析:先排三个男生有 A33=6(种)不同的方法,然后再从 3 名女 生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C23A22=6(种)不同排法), 剩下一名女生记作 B,让 A,B 插入男生旁边 4 个位置的两个位置有 A24=12(种)排法,此时共有 6×6×12=432(种)排法,又男生甲不在两 端,其中甲在两端的情况有:2A22×6×A23=144(种)不同的排法,所 以共有 432-144=288(种)不同排法. 10.世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛, 决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行 淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚军和第三名、第四 名,则比赛进行的总场数为( A ) A.64 B.72 C.60 D.56 解析:先进行单循环赛,有 8C24=48(场),再进行第一轮淘汰赛, 16 个队打 8 场,再决出 4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负, 两胜者打 1 场决出冠、亚军,两负者打 1 场决出三、四名,共举行: 48+8+4+2+1+1=64(场). 11.2019 年春节放假安排:正月初一至初七放假,共 7 天.某 单位安排 7 位员工值班,每人值班 1 天,每天安排 1 人.若甲不在初 一值班,乙 不在初二值班,且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案 共有( D ) A.1 440 种 B.1 360 种 C.1 282 种 D.1 128 种 解析:将甲、丙进行捆绑,如果不考虑限制条件,则安排方案有 A66·A22=1 440(种).如果乙在初二值班,且丙、甲相邻,则安排方案 有 C11·C14·A22·A44=192(种);如果甲在初一,丙在初二值班,则安排方 案有A55=120(种).故不同的安排方案有1 440-192-120=1 128(种). 12.如图,用五种不同的颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六 个不同的点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端 点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有( C ) A.1 240 种 B.360 种 C.1 920 种 D.264 种 解析:由于 A 和 E 或 F 可以同色、B 和 D 或 F 可以同色、C 和 D 或 E 可以同色,所以当五种颜色都选择时,选法有 C13C12A 55种;当 五种颜色选择四种时,选法有 C45C13×3×A 44种;当五种颜色选择三种 时,选法有 C 35 ×2×A 33 种,所以不同的涂色方法共 C 13 C 12 A 55 + C45C13×3×A44+C35×2×A33=1 920.故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.(x2-4x+4)5 的展开式中 x 的系数是-5_120. 解析:由(x2-4x+4)5=(x-2)10,得二项展开式的通项公式为 Tr +1=Cr10x10-r(-2)r,所以 x 的系数为(-2)9C910=-5 120. 14.从 1~9 这 9 个数字中任取 5 个数组成无重复数字的五位数, 且个位、百位、万位上的数字必须是奇数的五位数的个数是 1_800. 解析:先排个位、百位、万位上的数字有 A 35种排法,再排另两 位,有 A 26种排法,所以共可组成 A35·A26=1 800(个)五位数. 15.把座位编号为 1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、 丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号, 那么不同的分法种数为 96.(用数字作答) 解析:根据题意,先将票分为符合题意要求的 4 份;可以转化为 将 1,2,3,4,5 这 5 个数字用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号 的问题,用插空法易得其情况数目,再将分好的 4 份对应到 4 个人, 由排列知识可得其情况数目,由分步乘法计数原理,计算可得答案.先 将票分为符合条件的 4 份,由题意,4 人分 5 张票,且每人至少一张, 至多两张,则 3 人 1 张,1 人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于 将 1,2,3,4,5 这五个数用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号, 易得在 4 个空位插 3 个板子,共有 C34=4(种)情况,再对应到 4 个人, 有 A44=24(种)情况,则共有 4×24=96(种)情况. 16.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个 位置的螺丝,第一阶段,随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离 它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线 上螺丝,第五个和第六个依此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶 段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的 2 个螺丝,则不同的固定 方式有 2_880 种. 解析:第一阶段:先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有 C 16种方法;再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有 C 14种方法;然 后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有 C 12种方法.第二阶段:先 随意拧一个螺丝,有 C 16种方法,再随意拧不相邻的,若拧的是对角 线上的,则有 4 种方法;若拧的是不相邻斜对角线上的,则有 6 种方 法,故共有 C16C14C12C16(4+6)=2 880(种)固定方式. 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分) 17.(10 分)已知在 x-3 x n 的展开式中,第 4 项为常数项. (1)求 n 的值; (2)求展开式中含 x3 的项的系数. 18.(12 分)二项式 x-2 x n 的展开式中: (1)若 n=6,求倒数第二项; (2)若第 5 项与第 3 项的系数比为 56 3,求各项的二项式系数和. 解:(1)二项式 x-2 x n 的通项是 Tr+1=Crn( x)n-r -2 x r,当 n=6 时,倒数第二项是 T6=C56( x)6-5 -2 x 5= . (2)二项式 x-2 x n 的通项是 Tr+1=Crn( x)n-r -2 x r,则第 5 项与 第 3 项分别为 T5=C4n( x)n-4 -2 x 4 和 T3=C2n( x)n-2 -2 x 2,所以它们的 系数分别为 16C 4n和 4C2n. 由于第 5 项与第 3 项的系数比为 56∶3,则 16C4n∶4C2n=56∶3, 解得 n=10,所以各项的二项式系数和为 C010+C110+…+C1010=210=1 024. 19.(12 分)某兴趣小组有 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,从 男、女生中各指定一名队长,现从中选出 5 人到野外考察,求在下列 条件下各有多少种选法: (1)至少有一名队长参加; (2)既有队长参加,又有女生参加. 解:(1)方法 1:至少有一名队长参加,即有一名队长参加或两名 队长参加,所以有 C12·C411+C22·C311=825(种)不同的选法. 方法 2:从 13 人中选 5 人有 C 513种不同的选法,其中不符合条件 的选法有 C 511种,所以有 C513-C511=825(种)不同的选法. (2)女队长参加,有 C 412种不同的选法;女队长不参加,有 C14·C37+ C24·C27+C34·C17+C 44种不同的选法. 所以共有 C412+C14·C37+C24·C27+C34·C17+C44=790(种)不同的选法. 20.(12 分)某节目的现场观众来自四个不同的单位,分别在如图 中的 A,B,C,D 四个区域落座. 现有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同色服装,且 相邻区域不能同色,不相邻区域是否同色不受限制,则不同的着装方 法共有多少种? 解:当 A,B,C,D 四个区域的观众服装颜色全不相同时,有 4×3×2×1=24(种)不同的方法; 当 A 区与 C 区同色,B 区和 D 区不同色且不与 A,C 同色时,或 B 区,D 区同色,A 区,C 区不同色且不与 B,D 同色时,有 2×4×3×2 =48(种)不同的方法; 当 A 区与 C 区同色,B 区与 D 区也同色且不与 A,C 同色时,有 4×3=12(种)不同的方法. 由分类加法计数原理知共有 24+48+12=84(种)不同的着装方 法. 21.(12 分)已知集合 A={x|10. 若 a>0,c<0,则有 C13·C11·C 13种选法; 若 a<0,c>0,则有 C11·C13·C 13种选法. 所以,共有 2×C13·C13=18(个)满足条件的二次函数. (2)在 x 轴的负半轴上至少有一个零点的二次函数,可分以下 3 类. 第 1 类,在 x 轴的正、负半轴上各有一个零点,由(1)知有 18 个; 第 2 类,在 x 轴的负半轴上有一个零点,另一个零点为 0,此时 c=0,且-b a<0,即 ab>0,有 A 23种,即对应的二次函数有 A23=6(个); 第 3 类,两个零点(包括二重零点)都在 x 轴的负半轴上,这时 a, b,c 应满足的关系为 b2-4ac≥0 且-b a<0,c a>0,则 b=3,且 a,c ∈{1,2},此时有 A 22种选法,对应的二次函数有 A22=2(个). 所以,满足条件的二次函数共有 18+6+2=26(个).