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- 2021-06-16 发布
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第一章单元质量评估(二)
时间:120 分钟 总分:150 分
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.从 5 人中选 3 人参加迎新春座谈会,不同的选法有( C )
A.60 种 B.36 种
C.10 种 D.6 种
解析:完成这件事只要把人选出即可,是组合问题,有 C35=10(种)
不同的选法.
2.一天有 6 节课,安排 6 门不同的学科,这一天不同的课表排
法有( B )
A.66 种 B.A 66种
C.36 种 D.12 种
解析:学科不同,每节课也不同,是排列问题,有 A 66种不同的
排法.
3.从 4 双不同的鞋中任取 4 只,结果都不成双的取法有( B )
A.24 B.16
C.44 D.24×16
解析:24=16.
4.若复数 a+bi 的 a,b 可取 0,1,2,…,9 这 10 个数字中的任
意一个,则可组成不同虚数的个数为( C )
A.46 B.81
C.90 D.100
解析:因为是组成虚数,所以 b≠0,则 b 的选法有 C 19种,a 的
选法有 C 110种,故可组成 C19·C110=90(个)不同的虚数.
5.从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3
个班担任班主任(每班 1 位班主任),要求这 3 位班主任中男女教师都
有,则不同的选派方案共有( B )
A.210 B.420
C.630 D.840
解析:选法分两步进行,选择老师的方法有 C15C24+C25C14=30+
40=70(种),将三人安排到三个班级有 A33=6(种),所以共有 70×6=
420(种).
6.若( x+2
x2)n 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展
开式的常数项是( B )
A.360 B.180
C.90 D.45
解析:展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式总共
11 项 , 所 以 n = 10 , 通 项 公 式 为
,所以 r=2 时,常数项为 180.
7.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且
从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三
种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一
周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( D )
A.50 种 B.51 种
C.140 种 D.141 种
解析:因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以“多一个”或
“少一个”的天数必须相同,都是 0、1、2、3,共 4 种情况,所以
共有 C06+C16C15+C26C24+C36C33=141(种)不同的选择方案.故选 D.
8.若 C2n+620 =Cn+220 (n∈N+),且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
则 a0-a1+a2-…+(-1)nan 等于( A )
A.81 B.27
C.243 D.729
解析:由 C2n+620 =Cn+220 ,得 2n+6=n+2 或 2n+6=18-n,又 n
∈N+,所以 n=4.令 x=-1,得 a0-a1+a2-…+(-1)nan=3n=34=
81.
9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两
端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法的种数是
( B )
A.360 B.288
C.216 D.96
解析:先排三个男生有 A33=6(种)不同的方法,然后再从 3 名女
生中任取 2 人“捆”在一起记作 A,(A 共有 C23A22=6(种)不同排法),
剩下一名女生记作 B,让 A,B 插入男生旁边 4 个位置的两个位置有
A24=12(种)排法,此时共有 6×6×12=432(种)排法,又男生甲不在两
端,其中甲在两端的情况有:2A22×6×A23=144(种)不同的排法,所
以共有 432-144=288(种)不同排法.
10.世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,
决出 16 强(各组的前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行
淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚军和第三名、第四
名,则比赛进行的总场数为( A )
A.64 B.72
C.60 D.56
解析:先进行单循环赛,有 8C24=48(场),再进行第一轮淘汰赛,
16 个队打 8 场,再决出 4 强,打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,
两胜者打 1 场决出冠、亚军,两负者打 1 场决出三、四名,共举行:
48+8+4+2+1+1=64(场).
11.2019 年春节放假安排:正月初一至初七放假,共 7 天.某
单位安排 7 位员工值班,每人值班 1 天,每天安排 1 人.若甲不在初
一值班,乙
不在初二值班,且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案
共有( D )
A.1 440 种 B.1 360 种
C.1 282 种 D.1 128 种
解析:将甲、丙进行捆绑,如果不考虑限制条件,则安排方案有
A66·A22=1 440(种).如果乙在初二值班,且丙、甲相邻,则安排方案
有 C11·C14·A22·A44=192(种);如果甲在初一,丙在初二值班,则安排方
案有A55=120(种).故不同的安排方案有1 440-192-120=1 128(种).
12.如图,用五种不同的颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六
个不同的点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端
点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有( C )
A.1 240 种 B.360 种
C.1 920 种 D.264 种
解析:由于 A 和 E 或 F 可以同色、B 和 D 或 F 可以同色、C 和
D 或 E 可以同色,所以当五种颜色都选择时,选法有 C13C12A 55种;当
五种颜色选择四种时,选法有 C45C13×3×A 44种;当五种颜色选择三种
时,选法有 C 35 ×2×A 33 种,所以不同的涂色方法共 C 13 C 12 A 55 +
C45C13×3×A44+C35×2×A33=1 920.故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.(x2-4x+4)5 的展开式中 x 的系数是-5_120.
解析:由(x2-4x+4)5=(x-2)10,得二项展开式的通项公式为 Tr
+1=Cr10x10-r(-2)r,所以 x 的系数为(-2)9C910=-5 120.
14.从 1~9 这 9 个数字中任取 5 个数组成无重复数字的五位数,
且个位、百位、万位上的数字必须是奇数的五位数的个数是 1_800.
解析:先排个位、百位、万位上的数字有 A 35种排法,再排另两
位,有 A 26种排法,所以共可组成 A35·A26=1 800(个)五位数.
15.把座位编号为 1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、
丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,
那么不同的分法种数为 96.(用数字作答)
解析:根据题意,先将票分为符合题意要求的 4 份;可以转化为
将 1,2,3,4,5 这 5 个数字用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号
的问题,用插空法易得其情况数目,再将分好的 4 份对应到 4 个人,
由排列知识可得其情况数目,由分步乘法计数原理,计算可得答案.先
将票分为符合条件的 4 份,由题意,4 人分 5 张票,且每人至少一张,
至多两张,则 3 人 1 张,1 人 2 张,且分得的票必须是连号,相当于
将 1,2,3,4,5 这五个数用 3 个板子隔开,分为四部分且不存在三连号,
易得在 4 个空位插 3 个板子,共有 C34=4(种)情况,再对应到 4 个人,
有 A44=24(种)情况,则共有 4×24=96(种)情况.
16.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个
位置的螺丝,第一阶段,随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离
它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线
上螺丝,第五个和第六个依此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶
段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的 2 个螺丝,则不同的固定
方式有 2_880 种.
解析:第一阶段:先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有
C 16种方法;再随意拧第三个螺丝和其对角线上的,有 C 14种方法;然
后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有 C 12种方法.第二阶段:先
随意拧一个螺丝,有 C 16种方法,再随意拧不相邻的,若拧的是对角
线上的,则有 4 种方法;若拧的是不相邻斜对角线上的,则有 6 种方
法,故共有 C16C14C12C16(4+6)=2 880(种)固定方式.
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70
分)
17.(10 分)已知在 x-3
x n 的展开式中,第 4 项为常数项.
(1)求 n 的值;
(2)求展开式中含 x3 的项的系数.
18.(12 分)二项式 x-2
x n 的展开式中:
(1)若 n=6,求倒数第二项;
(2)若第 5 项与第 3 项的系数比为 56 3,求各项的二项式系数和.
解:(1)二项式 x-2
x n 的通项是 Tr+1=Crn( x)n-r -2
x r,当 n=6
时,倒数第二项是 T6=C56( x)6-5 -2
x 5= .
(2)二项式 x-2
x n 的通项是 Tr+1=Crn( x)n-r -2
x r,则第 5 项与
第 3 项分别为 T5=C4n( x)n-4 -2
x 4 和 T3=C2n( x)n-2 -2
x 2,所以它们的
系数分别为 16C 4n和 4C2n.
由于第 5 项与第 3 项的系数比为 56∶3,则 16C4n∶4C2n=56∶3,
解得 n=10,所以各项的二项式系数和为 C010+C110+…+C1010=210=1
024.
19.(12 分)某兴趣小组有 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,从
男、女生中各指定一名队长,现从中选出 5 人到野外考察,求在下列
条件下各有多少种选法:
(1)至少有一名队长参加;
(2)既有队长参加,又有女生参加.
解:(1)方法 1:至少有一名队长参加,即有一名队长参加或两名
队长参加,所以有 C12·C411+C22·C311=825(种)不同的选法.
方法 2:从 13 人中选 5 人有 C 513种不同的选法,其中不符合条件
的选法有 C 511种,所以有 C513-C511=825(种)不同的选法.
(2)女队长参加,有 C 412种不同的选法;女队长不参加,有 C14·C37+
C24·C27+C34·C17+C 44种不同的选法.
所以共有 C412+C14·C37+C24·C27+C34·C17+C44=790(种)不同的选法.
20.(12 分)某节目的现场观众来自四个不同的单位,分别在如图
中的 A,B,C,D 四个区域落座.
现有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同色服装,且
相邻区域不能同色,不相邻区域是否同色不受限制,则不同的着装方
法共有多少种?
解:当 A,B,C,D 四个区域的观众服装颜色全不相同时,有
4×3×2×1=24(种)不同的方法;
当 A 区与 C 区同色,B 区和 D 区不同色且不与 A,C 同色时,或
B 区,D 区同色,A 区,C 区不同色且不与 B,D 同色时,有 2×4×3×2
=48(种)不同的方法;
当 A 区与 C 区同色,B 区与 D 区也同色且不与 A,C 同色时,有
4×3=12(种)不同的方法.
由分类加法计数原理知共有 24+48+12=84(种)不同的着装方
法.
21.(12 分)已知集合 A={x|10.
若 a>0,c<0,则有 C13·C11·C 13种选法;
若 a<0,c>0,则有 C11·C13·C 13种选法.
所以,共有 2×C13·C13=18(个)满足条件的二次函数.
(2)在 x 轴的负半轴上至少有一个零点的二次函数,可分以下 3
类.
第 1 类,在 x 轴的正、负半轴上各有一个零点,由(1)知有 18 个;
第 2 类,在 x 轴的负半轴上有一个零点,另一个零点为 0,此时
c=0,且-b
a<0,即 ab>0,有 A 23种,即对应的二次函数有 A23=6(个);
第 3 类,两个零点(包括二重零点)都在 x 轴的负半轴上,这时 a,
b,c 应满足的关系为 b2-4ac≥0 且-b
a<0,c
a>0,则 b=3,且 a,c
∈{1,2},此时有 A 22种选法,对应的二次函数有 A22=2(个).
所以,满足条件的二次函数共有 18+6+2=26(个).
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