安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com ‎2020届模拟07‎ 理科数学 测试范围：学科内综合.共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，，则的子集有（ ）‎ A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，，从而求出，进而求出，由此能求出的子集个数．‎ ‎【详解】解：集合，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 则， ‎ 共有个子集．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查补集、交集的子集个数的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2.已知是虚数单位，则 （ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 21 -‎ 由题意可得： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ ‎ ，解得： ，则该双曲线方程为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得，该几何体是半圆柱，其中底面半径为 ，圆柱的高为 ，‎ 该几何体的表面积为： .‎ 本题选择D选项.‎ - 21 -‎ 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．‎ ‎5.2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ）‎ A. 6种 B. 24种 C. 36种 D. 42种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛，即前两个频道没转播，第三个在转播的情况，采用分步原理再排列问题得以解决．‎ ‎【详解】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有种，再把2个报道的频道选1个有种，‎ 根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有种．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最最基本的指导思想，属于中档题．‎ ‎6.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足成等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的公差为，且，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．‎ - 21 -‎ ‎【详解】解：设的公差为，且，‎ 因，，成等比数列，可得，‎ 即，‎ 整理可得，‎ 故．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎7.要得到函数的图象，只需把的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向上平移1个单位 D. 向上平移2个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得： ，‎ 据此可知：要得到函数的图象，只需把的图象向右平移个单位.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．‎ ‎8.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）‎ - 21 -‎ A. 12 B. 10 C. 9 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 列表得出S，k的值如下：‎ S ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎13‎ ‎40‎ ‎121‎ ‎364‎ ‎1093‎ ‎3280‎ k ‎1‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎27‎ ‎81‎ ‎243‎ ‎729‎ ‎2187‎ ‎6561‎ 据此可得：输出值为： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎9.已知某函数在上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性及特殊值，用排除法直接求解．‎ ‎【详解】解：易知，选项，均为偶函数，其图象应关于轴对称，不符合题意，故排除 - 21 -‎ ‎；‎ 又由图可知，当时，函数值大于0，而选项，当时，，故排除．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查由函数图象确定解析式，考查排除法的运用，属于基础题．‎ ‎10.若不等式组表示的平面区域为，当点在内(包括边界)时，的最大值和最小值之和为（ ）‎ A. B. C. 38 D. 26‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．‎ ‎【详解】解：当点在内时，有，即，画出不等式组表示的平面区域如图所示.‎ 其中点，，，则在点处取得最小值，在点处取得最大值，故最大值与最小值之和为.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ ‎11.如图，在四棱锥中，平面，且 - 21 -‎ ‎，异面直线与所成角为，点都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由条件可知 ，所以， 为异面直线 与 所成角，故 ，而，故 ，在直角梯形 中，易得 ，以 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 即为所求的球的半径，由 ，故 .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎12.已知定义在上的偶函数满足：时，，且，若方程恰好有12个实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. (5，6) B. (6，8) C. (7，8) D. (10，12)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 时，， ,故 在[0,1]上单调递增，且 ，由 可知函数 是周期为2的周期函数，而函数 与 - 21 -‎ ‎ 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在 有6个不同交点，‎ 显然 ，结合图象可得 ，即 ，故 .‎ 本题选择B选项.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若是定义在上且最小正周期为1的函数，当时，，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解．‎ ‎【详解】解：由函数的最小正周期为1可得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．‎ ‎14.已知点在圆上，点的坐标为，点为坐标原点，则的最大值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 设点的坐标为，由题意知，利用基本不等式计算的最大值即可．‎ ‎【详解】解：设点的坐标为，则，‎ 所以；‎ 设，则 ‎，‎ 当且仅当时取等号；‎ 所以，‎ 所以的最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积与利用基本不等式求最值问题，属于中档题．‎ ‎15.已知，则的最大值为_________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，不妨设，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.‎ ‎【详解】设，不妨设，‎ 则，故，所以，‎ 可设，，则 ‎，当且仅当时取等号 即的最大值为8.‎ - 21 -‎ 故答案为：.‎ 点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎16.过抛物线的焦点作直线与，若直线与抛物线交于，直线与抛物线交于，且的中点为的中点为，则直线与轴的交点坐标为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可知两条直线都过焦点，则直线，直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到点的坐标为，同理可得点的坐标为，，进而求出直线的方程，令即可得到直线与轴的交点坐标．‎ ‎【详解】解：由条件可知两条直线都过焦点，则直线，直线，‎ 由 可得，‎ 设，，，则，，‎ 则点的坐标为，‎ 同理可得点的坐标为，‎ 则直线的方程为，令可得，‎ 即直线与轴的交点为，‎ - 21 -‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在中，三内角的对边分别为，若，且的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得，再由三角形的面积公式，可得的值；‎ ‎（2）求得，的值，由余弦定理计算即可得到所求的值．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 即，‎ 可得，，‎ ‎，‎ 由的面积为，‎ 可得，‎ 解得；‎ ‎（2），且，‎ 解得，，‎ 则，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查两角和的正弦公式、同角的基本关系式和正弦定理、余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ - 21 -‎ ‎18.如图，四边形是矩形，平面平面，且，为中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）135°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，，，推导出，平面，由此能证明．‎ ‎（2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，，，‎ ‎，为中点，，‎ 又平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，由可得 - 21 -‎ ‎，令可得.‎ 同理可得平面的一个法向量为..‎ 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19.2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：‎ 男 女 合计 喜欢吃月饼人数(单位：万人)‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎90‎ 不喜欢吃月饼人数(单位：万人)‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎80‎ ‎60‎ ‎140‎ 为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：‎ 已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.‎ - 21 -‎ ‎（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？‎ ‎（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求的分布列与期望值.‎ ‎【答案】（1）（吨）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：，进而得出人均消费月饼的数量及其喜欢吃月饼的人数所占比例，看作概率，即可得出该厂生产的月饼数量．‎ ‎（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人．则的可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：‎ ‎，‎ 则人均消费月饼数量为：（克），‎ 喜欢吃月饼的人数所占比例为：，‎ 根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：‎ ‎(克)(吨).‎ ‎（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则的可能取值为0，1，2，‎ 且，‎ 则的分布列为 - 21 -‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的期望值为：.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、随机变量的概率分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形与四边形的面积之和为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点，(其中为坐标原点)，当取得最小值时，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得，解得，，，进而得出椭圆的方程．‎ ‎（2）设，，，联立直线与椭圆的方程得，由韦达定理可得，，，因为 - 21 -‎ ‎，所以，解得，当时，有最小值，再分析三角形面积即可．‎ ‎【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，则四边形与四边形的面积之和 为：，‎ 由椭圆的离心率为可得，结合可得，‎ ‎，解得，则，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由可得，‎ 设点，则，‎ 即，，‎ 则，‎ 由可得，即，‎ ‎，即，‎ 整理可得，代入可得，该不等式恒成立.‎ ‎，‎ 当时，取得最小值，此时，则，‎ 原点到直线的距离 - 21 -‎ ‎，‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程的计算，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题．‎ ‎21.已知函数(其中为常数).‎ ‎（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，结合导数与单调性的关系可转化为在上恒成立，分离参数后转化为求解函数的最值问题；‎ ‎（2）结合导数与单调性的关系对进行分类讨论，进而可求函数的最大值，结合已知最值即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）由可得，‎ 由在上单调递增可得在上恒成立，‎ 即，，，‎ 故只需，∴，即实数的取值范围是.‎ ‎（2），.‎ ‎①当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，‎ 则在上的最大值为，故，不满足；‎ - 21 -‎ ‎②当，即时，在上恒成立，故在上单调递减，‎ 则在上的最大值为，故，不满足，舍去；‎ ‎③当，即时，由可得.时，；‎ 当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，‎ ‎，即，所以，.‎ ‎，，，符合条件.‎ 综上可知，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.‎ 直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).‎ ‎（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意得到关于实数m的不等式，求解不等式即可求得实数m的取值范围是 ；‎ ‎(2)由题意结合极坐标方程可得 .‎ - 21 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，‎ 即，‎ 由点在曲线的内部可得，解之得，‎ 即实数m的取值范围是.‎ ‎（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得 ‎，‎ 设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.‎ 则直线l与曲线截得的弦长为 ‎，,‎ 即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.‎ ‎23.选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可得 ，零点分段可得不等式的解集为 ；‎ ‎(2)由题意结合不等式的性质可得实数m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由可得，故.‎ 由可得.‎ - 21 -‎ ‎①当时，不等式可变为，解之得, ；‎ ‎②当时，不等式可变为，即, ；‎ ‎③当时，不等式可变为，解之得, .‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质可得，‎ 当且仅当时等号成立，故的最小值为.‎ 故只需，即，‎ 故，即，即实数m的取值范围是.‎ - 21 -‎ - 21 -‎